1. 개요
unit group, group of units / 單元群곱셈의 항등원을 가지는 환에서 가역인 원소, 즉 역원이 존재하는 원소들을 전부 모은 군.
2. 상세
환 [math(R)]의 곱셈에 대해 역원이 존재하는 원소를 단원(unit)이라고 한다. [math(a)], [math(b)]가 단원이라면 [math(b^{-1} a^{-1})] 또한 존재하여 [math(a b)]의 역원이 되므로 군을 이룸을 알 수 있다.주로 환 [math(R)]에 대해 [math(U(R))], [math(R^\times)] 등등의 표기가 쓰인다.
3. 특징
- 단원군이 부분환인 유일한 환은 자명환뿐이다. 기본적으로 비자명환에서 덧셈의 항등원은 단원이 될 수 없으며, 모든 부분환은 항등원을 포함해야 하기 때문.
- [math(R)]이 나눗셈환인 경우 단원군은 [math(R)]에서 덧셈의 항등원을 제외한 것과 같다. 즉, [math(R \setminus \set{ 0 } = U(R))]이 성립한다.
- 불 환의 단원군은 자명군이다. [math(a a^{-1} = 1)]일 때, [math(a)]가 멱등원이므로 대입하면 [math(a = 1)]을 얻기 때문.
- [math(\mathrm{char}(R) \neq 2)]인 유한환 [math(R)]의 단원군의 모든 원소의 합은 항상 0이다. 자명환에서는 자명히 성립하며 비자명환에서는 [math(x)]가 단원이라면 [math(x = - x)]일 때 [math(2 x = 0)]이므로 [math(2 \cdot 1 = 0)]이며, 비자명환이므로 char이 2가 되어 모순된다. [math(x)]가 단원이라면 [math(-x)] 또한 단원이며, 이는 항상 [math(x)]와 다르므로 합은 항상 0이다.
- 위 결과에서, 비자명환이기까지 하면 단원군의 위수(order), [math(|U(R)|)]는 항상 짝수임을 알 수 있다.
- 위수가 2보다 큰 유한체의 단원군의 모든 원소의 합은 항상 0이다.
- 단원군이 자명군인 유한환은 불 환이다. 앞선 성질을 이용하면 유한환이 불 환일 필요충분조건은 단원군이 자명군일 것임을 알 수 있다.