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1. 개요
항등원(恒等元, identity element)은 임의의 원소(실수, 다항식, 행렬, 벡터 등)에 특정 연산을 했을 때 재귀시키는 원소를 말하며, 역원(逆元, inverse element)은 연산 결과 항등원이 나오게 하는 원소를 말한다.2. 정의
집합 [math( S )]와 이 집합 위에서 정의된 이항연산 [math( *:S \times S \to S )]가 있을 때, 어떤 [math( e \in S )]가 다음을 만족한다고 하자.- 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( e*x = x )]
- 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( x*e = x )]
또한 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( x*a = e )]을 만족하는 [math(a)]를 역원이라고 한다. 보통 [math(a=x^{-1})]로 표기한다.
항등원은 보통 [math(e)]로 쓰며, 독일어로 einheit(단위)를 나타내는 단어에서 유래되었다. 표기가 같은 자연로그의 밑과 혼동에 주의.
항등원이 존재할 경우, 항등원은 유일하다. [math(e_1)]과 [math(e_2)]가 항등원이라 하면 [math(e_1 = e_1 * e_2 = e_2)]가 되기 때문이다.
2.1. 수에서의 항등원과 역원
- 덧셈에서의 항등원은 0이다. 덧셈의 항등원은 달리 영원이라고도 한다.
- 곱셈에서의 항등원은 1이다. 곱셈의 항등원은 달리 일원이라고도 한다.
- 덧셈의 역원은 부호가 반대인 수(반수)이다. ([math(a + (-a) =0)])
- 곱셈의 역원은 지수의 부호가 반대인 수(역수)이다. ([math(a \cdot a^{-1} =1)])
- 0은 뺄셈의 우항등원, 1은 나눗셈의 우항등원이다.
한편, 항등원은 존재하지만 역원이 존재하지 않는 군은 모노이드라고 한다. 대표적으로 0을 포함하는 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]이 있다.
2.2. 멱등원
동일한 연산(대부분 거듭제곱)을 행한 원소가 원래의 원소와 동일한 경우, 그 원소를 멱등원(冪等元, idempotent element)이라고 한다. 보통 [math(S^2 = S)]로 표기한다.위의 덧셈의 항등원 0, 곱셈의 항등원 1 모두 멱등원이며, 이외에도 멱등행렬, 멱등함수 등이 있다.
이를 통해 알 수 있는 사실은, 멱등원은 제곱해도 그 값이 변하지 않는다는 것이다.
그리고 항등원과 멱등원이 동일한 경우도 있으나, 그렇지 않은 경우도 많다. 가령 곱셈에 대해 예를 들자면, 0을 곱한 횟수에 상관없이 결과값이 0으로 동일하므로 0은 멱등원에 속한다.
2000년대 KTF의 광고 '쇼 곱하기 쇼는 쇼'(쇼 x 쇼 = 쇼)가 적절한 예시이다. 다항식 '쇼n = 쇼'처럼 거듭제곱을 몇 번이나 해도 결과가 같다. 쇼의 값은 0 또는 1인 셈인데, 공교롭게도 두 숫자는 이진법에서 쓰인다.
3. 예시
| [math( S )] | [math( *:S \times S \to S )] | [math( e \in S )] | [math( S^{-1} )] | [math(S^2=S)] |
| 행렬의 집합 | 덧셈 | 영행렬 | 부호가 반대인 행렬 | 영행렬 |
| [math( n \times n )] 행렬의 집합 | 행렬곱 | [math( n \times n )] 단위행렬 | 역행렬[1] | 멱등행렬 |
| 함수의 집합 | 함수의 합성 | 항등함수 | 역함수[2] | 멱등함수 |