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1. 개요2. 정의3. 예시4. 관련 문서

1. 개요

逆元 / inverse element

이항연산을 소거할 수 있도록 하는 원소를 말한다.

2. 정의

집합 [math(S)]와 항등원 [math(e)]를 가지는 이항연산 [math(* : S \times S \to S)] 위에서 원소 [math(x, y \in S)]가 [math(x y = e)]가 될 때, [math(x)]를 [math(y)]의 좌역원(left inverse), [math(y)]를 [math(x)]의 우역원(right inverse)이라 한다. 또한 같은 원소의 좌역원인 동시에 우역원이 되는 원소를 역원(inverse)이라고 한다.

좌역원과 우역원을 모두 가지는 원소를 가역(invertible)이라 한다.

결합법칙이 성립하는 연산에 한해 역원이 존재한다면 반드시 유일하다. [math(y, y' \in S)]가 모두 [math(x \in S)]의 역원이라고 하자. 정의에 의해 [math(y = y e = y (x y') = (y x) y' = e y' = y')]이기 때문. 대부분의 대수 구조에서 결합법칙을 기본적으로 가정하기 때문에 가역원의 역원을 유일하게 표기해도 무방하다. 흔히 [math(x)]의 역원을 [math(x^{-1})], [math(\bar x)], [math(-x)](additive 한정) 등으로 표기한다.

역원이 자기 자신인 경우는 특별히 대합(involution)이라고 한다. 0은 덧셈에 대한 대합, 1은 곱셈에 대한 대합이다. 즉, 항등원은 모두 대합이다. 하지만 대합이라고 반드시 항등원인 것은 아니다. 대표적으로 행렬의 곱셈과 함수의 합성이 있다.

3. 예시

  • 덧셈의 역원은 부호가 반대인 수(반수)이다. ([math(a + (-a) =0)])
  • 곱셈의 역원은 지수의 부호가 반대인 수(역수)이다. ([math(a \cdot a^{-1} =1)])
  • 유한체에서는 시계 산술로 인해 일반적인 수 체계와는 역원의 개념이 다르다. 특히 곱셈의 역원은 모듈러 역원이라는 이름으로 중요하게 다뤄진다.
  • 정수 곱셈 모노이드 [math((\Z, \times))]에서 가역원은 1과 -1뿐이다.
  • 자기 함수(endofunction)들의 집합에 함수의 합성을 연산으로 주었을 때 역원은 역함수가 된다. 직관적으로 보면 항등함수를 항등원으로 모노이드를 이루는데, 여기서 가역원은 전단사이다.
  • 대합은 항등원이 아니면서 자기 자신이 역원이다.
  • [math(m \times n)] 행렬들의 집합에서 행렬의 합에 대한 역원은 해당 체의 덧셈 역원으로 이루어진 행렬이 된다. 가령 실수라면 각 항의 부호를 반대로 바꾸면 된다.
  • 행렬곱에서 정방행렬의 역원을 역행렬이라고 한다.
  • 항등원의 역원은 자기 자신이고, 흡수원의 역원은 존재하지 않는다.[1]

4. 관련 문서

[1] 정확히는 원소가 하나뿐인 구조라면 항등원과 흡수원이 같아지므로 이 경우에는 가능하다. 하지만 이러면 연산으로서의 의미가 사실상 전혀 없다.


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