항등원과 역원

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1. 개요2. 정의

2.1. 수에서의 항등원과 역원2.2. 멱등원

3. 예시4. 중등교육과정5. 수학 교과에서의 유용성

1. 개요

항등원(恒等元, identity element)은 임의의 원소(실수, 다항식, 행렬, 벡터 등)에 특정 연산을 했을 때 재귀시키는 원소를 말하며, 역원(逆元, inverse element)은 연산 결과 항등원이 나오게 하는 원소를 말한다.

2. 정의

집합 [math(S)]와 이 집합 위에서 정의된 이항연산 [math(* : S \times S \to S)]가 있을 때, 어떤 [math(e \in S)]가 다음을 만족한다고 하자.

임의의 [math(x(\in S))]에 대해, [math(e * x = x)]이다.
임의의 [math(x(\in S))]에 대해, [math(x * e = x)]이다.

[math(e)]가 조건 1을 만족하는 경우에는 이를 좌항등원(left identity)이라고 하고, 조건 2를 만족하는 경우에는 이를 우항등원(right identity)이라고 한다. [math(e)]가 두 조건을 모두 만족하면 이를 양쪽 항등원(two-sided identity) 또는 그냥 항등원이라 한다.[1]

또한 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( x*a = e )]을 만족하는 [math(a)]를 역원이라고 한다. 보통 [math(a=x^{-1})]로 표기한다.

항등원은 보통 [math(e)]로 쓰며, 독일어로 einheit(단위)를 나타내는 단어에서 유래되었다. 표기가 같은 자연로그의 밑과 혼동에 주의.

항등원이 존재할 경우, 항등원은 유일하다. [math(e_1)]과 [math(e_2)]가 항등원이라 하면 [math(e_1 = e_1 * e_2 = e_2)]가 되기 때문이다.

2.1. 수에서의 항등원과 역원

덧셈에서의 항등원은 0이다. 덧셈의 항등원은 달리 영원이라고도 한다.
곱셈에서의 항등원은 1이다. 곱셈의 항등원은 달리 일원이라고도 한다.
덧셈의 역원은 부호가 반대인 수(반수)이다. ([math(a + (-a) =0)])
곱셈의 역원은 지수의 부호가 반대인 수(역수)이다. ([math(a \cdot a^{-1} =1)])
0은 뺄셈의 우항등원, 1은 나눗셈의 우항등원이다.

한편, 항등원은 존재하지만 역원이 존재하지 않는 군은 모노이드라고 한다. 대표적으로 0을 포함하는 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]이 있다.

2.2. 멱등원

동일한 연산(대부분 거듭제곱)을 행한 원소가 원래의 원소와 동일한 경우, 그 원소를 멱등원(冪等元, idempotent element)이라고 한다. 보통 [math(S^2 = S)]로 표기한다. 위의 덧셈의 항등원 0, 곱셈의 항등원 1 모두 멱등원이며, 이외에도 멱등행렬, 멱등함수 등이 있다. 이를 통해 알 수 있는 사실은, 멱등원은 제곱해도 그 값이 변하지 않는다는 것이다.

어떤 연산의 항등원은 정의에 의해 해당 연산의 멱등원이지만, 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, [math(0)]은 [math(0 \cdot 0 = 0)]에서 곱셈에 대한 멱등원이지만, 곱셈에 대한 항등원은 아니다.

2000년대 KTF의 광고 '쇼 곱하기 쇼는 쇼'(쇼 x 쇼 = 쇼)가 적절한 예시이다. 다항식 '쇼ⁿ = 쇼'처럼 거듭제곱을 몇 번이나 해도 결과가 같다. 쇼의 값은 0 또는 1인 셈인데, 공교롭게도 두 숫자는 이진법에서 쓰인다.

3. 예시

[math( S )]	[math( *:S \times S \to S )]	[math( e \in S )]	[math( S^{-1} )]	[math(S^2=S)]
행렬의 집합	덧셈	영행렬	부호가 반대인 행렬	영행렬
[math( n \times n )] 행렬의 집합	행렬곱	[math( n \times n )] 단위행렬	역행렬 [2]	멱등행렬
함수의 집합	함수의 합성	항등함수	역함수 [3]	멱등함수

4. 중등교육과정

2007 개정 교육과정까지 '집합과 수 체계' 단원에 포함되어 있었다. 당시 고등학생들이 실수의 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원의 성질을 보고 '에이 쉽네'하다가 모든 실수 [math(c)]에 대해서 [math(c \cdot 0 = 0)]이 성립함을 증명하라는 과정에서 대거 탈탈 털리는 것은 예사였다.

2009 개정 교육과정에서 행렬이 탈락되면서 함께 삭제되었다. 2022 개정 교육과정의 공통수학1에 행렬은 다시 편제되었으나 항등원과 역원은 재포함되지 않았다.

5. 수학 교과에서의 유용성

[math(8 \times 15)]

위 두 자연수 간 곱셈식은 따로 외우지 않는 이상 하나의 논리 과정을 거쳐야 한다. 우리가 정규 교육과정에서 암기하고 있는 부분은 (한 자리 수)×(한 자리 수)의 곱셈이기 때문이다.

[math(8 {\color{Blue} \div 2} \times 15 {\color{Blue} \times 2})]

이때 [math(8)]을 [math(2)] 나눠주고 [math(15)]엔 [math(2)]를 곱하여 [math({\color{Blue} 4} \times {\color{Blue} 30}=120)]으로 쉽게 계산이 가능해진다.[4]

[math(8 \times 15 ~~{\color{Blue} \div 2 \times 2}~~)]

이는 같은 수끼리 곱하고 나누어도 어차피 1이 되어 실제 결과와는 달라지지 않기 때문이다. 이를 굳이 명시지화한 것은 '곱셈에 대한 역원'이다.

이러한 액션은 2007 개정 교육과정(7차 교육과정 직후 교육과정) 고1 과정에 항등원과 역원을 포함해둠으로써 직접적으로 가르쳤으나 2009 개정 교육과정 이래로 폐지되었다. 실제로도 학생들 입장에서 별 연계 효과를 느끼진 못 하였는데, 이는 연산자를 덧셈, 곱셈으로 한정한 것이 아닌 이항연산 전체로 확대했었기 때문으로 보인다.

하지만 이 같은 결정은 득보다 실인 경우가 훨씬 많았다. 차라리 '이항연산'이 문제가 되면 그것만 삭제하면 될 문제였다. 한 편 '곱셈', '덧셈'에 대한 항등원, 역원은 충분히 남겨야 할 명분이 더 컸었다. 왜냐하면 이것들은 문제를 푸는 과정(암묵지)에서 사용될 뿐만 아니라, 차후에 익힐 미분계수, 몫미분, 곱미분 등과 같은 기타 대수학 센스가 요구되는 미적분 증명 파트에서도 활용할 수 있어야 하기 때문이다. 아래 쉽고 간단한 예시 설명을 이해해보자.

만일 모든 함수에 대하여 [math(x=a+h)]일 때 함숫값에서 [math(x=a)]일 때의 함숫값을 뺀 값이 일정한 [math(k)]에 대응된다고 가정하자. 두 번째로 아래와 같은 '조건식'이 주어졌다고 가정하자.

[math(-f(a)+g(a)=0)]

이제 위 '조건식'으로

[math(f(a+h)-g(a+h))]

라는 식 i)의 값을 알아볼 것이다.

먼저 아래 식처럼 '조건식'에 식 i)를 더해준다.

[math(f(a+h)+{\color{Blue} \{-f(a)+g(a) \}}-g(a+h))]

일단 [math(-f(a)+g(a))]이 더해져도 조건식에서 그 값이 0이라고 알려줬으므로 식 전체에 전혀 영향을 주지 않는다.[5]

식을 적절하게 정리하면 아래와 같아진다.

[math({f(a+h)-f(a)}-\{ g(a+h)-g(a) \})]

초기 가정 조건에서 [math(x=a+h)]일 때 함숫값에서 [math(x=a)]일 때의 함숫값을 뺀 값이 일정한 [math(k)]에 대응된다고 하였으므로 답은 [math(k-k)]을 계산한 [math(0)]이다.

이렇듯이 항등원과 역원은 문제 학습뿐만 아니라 후속 과정의 증명 과정(몫미분, 삼각함수 항등식 등)에서도 활용되기 때문에 선택 옵션이 아니며, 학생들이 필연적으로 마주할 수밖에 없다. 그런데 대한민국 교육부는 2009 개정 교육과정에서 이를 일괄 삭제하였다.[6]

[1] 참고로 집합 [math(S)]에 좌항등원 [math(e_\mathrm{left})]와 우항등원 [math(e_\mathrm{right})]가 모두 존재한다면 [math(e_\mathrm{left} = e_\mathrm{left} * e_\mathrm{right} = e_\mathrm{right})]에서 둘은 서로 같고, 양쪽 항등원이다. 후술할 항등원의 유일성에 의해 이는 [math(S)]의 유일한 항등원이기도 하다.[2] 역행렬은 정사각행렬에서만 정의된다.[3] 역함수는 치역과 공역이 동치여야 하고 정의역과 공역이 서로 일대일 대응이 되어야 정의된다.[4] 십진법에 특화된 인류 특성상, 10의 배수로 나타내기 쉬운 숫자 하나를 10의 배수로 보정해주고, 그 보정해준 만큼 상대 수에서도 역연산을 하는 방법을 활용해본 것이다.[5] 자세하게 말하면 덧셈에 대한 항등원을 활용한 것이다.[6] 하지만 현재는 위 용어들을 대학교 1학년 미적분학에서조차 다루지 않기 때문에 실용성이 떨어진다고 본 면도 있다. 하지만 그렇게 치면 복소평면 볼때까지 몇 년 동안 나오지 않는 복소수가 남아있는 이유를 설명하기 어렵다.

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