1. 개요
Chain Complex위상 공간을 대수적으로 이해하기 위해 만든 범주의 일종이다. 아벨군(혹은 모듈이나 벡터공간도 된다)의 열이 어떤 사상을 통해 연결되어있는 모양을 하고 있으며, 이를 통해 호몰로지를 계산할 수 있다.
2. 정의
[math(\left(A,d\right))]가 사슬 복합체라는 것은 아벨 군 [math(\cdots,A_{-1},A_{0},A_{1},A_{2},\cdots)]과 준동형사상(homomorphism) [math(d_k:A_{k}\to A_{k-1})]가 존재하여, [math(d_k \circ d_{k+1}=0)]이 된다는 것을 의미한다. [math(d)]를 경계 사상(boundary map)이라고 부른다. 편의상 준동형사상들의 아래첨자를 생략하기도 한다. 반대로 [math(d)]의 화살표 방향을 바꾸어 index를 커지는 것으로 받아들이면 듀얼인 공사슬 복합체(cochain complex)에 대해서 생각할 수 있다.3. 사슬 사상
두 사슬 복합체 사이의 사상을 생각할 수 있는데, 이를 사슬 사상이라고 부른다. 정확히는, 사슬 사상은 각 사슬 복합체 사이의 준동형사상이면서 경계 사상과 가환이도록 하는 사상을 일컫는다. 즉, 어떤 두 사슬 복합체 [math(\left(C,d\right))]과 [math(\left(D,d'\right))]에 대해서, [math(f)]가 사슬 사상이라는 것은 [math(f_k:C_k\to D_k)]인 준동형사상들이 존재하여, [math(f_{k-1}\circ d_{k}=d'_{k}\circ f_{k})]임을 의미한다.그림으로 생각한다면, 각 복합체는 하나의 직선으로 그려지고, 둘 사이의 사상은 이를 연결하는 사다리의 모습으로 그릴 수 있다.
4. 어디에 쓰이는가?
4.1. 대수위상
사실 이렇게 정의만 봐서는 이딴 걸 왜 정의하는지 이해가 잘 안 갈 수 있는데, 이들은 위상 공간이라는 복잡한 것들을 대수적으로 이해할 수 있도록 하기 때문이다. 밑에 예를 보면 알겠지만, 위상 공간에서 사슬 복합체로 가는 함자를 잘 잡으면 위상 공간을 분류할 수 있게 된다. 예를 들어, 특이 호몰로지를 쓰면 구는 [math(R, 0, R)]이 나오는데 도넛은 [math(R, R^2, R)]이 나온다. 이것만 가지고 이 둘이 같은 호모토피 클래스에 있지 않다는 결론이 바로 나오는 것이다. 다만 이러한 함자를 잘 찾는 것이 어렵다고 할 수 있다.5. 예
5.1. 단체 사슬 복합체
위상 공간을 삼각형이나 사면체 등의 단체(simplex)로 나눈 뒤, 그것이 만들어내는 대수적 구조를 확인하는 방법이다. 정확히 정의하자면, 먼저 [math(n)]-단체는 [math(R^m \left(m>n\right))] 공간에서 [math(n+1)]개의 아핀 독립(그러니까 어떤 3개의 벡터도 일직선 위에 있지 않다는 뜻이다)인 벡터들을 꼭짓점으로 가지는 어떤 도형을 일컫는다. 꼭짓점이 [math(a_0 , a_1 , \cdots, a_n)]으로 되어있다면 이를 [math(\left(a_0 , a_1 , \cdots, a_n\right))]라고 나타낸다. 그 중에서도, 특이 [math(n)]-단체([math(\triangle ^n)])라 함은 [math(R^n)] 공간에서 [math(\left(1,0,\cdots,0\right),\left(0,1,0,\cdots,0\right),\cdots,\left(0,0,\cdots,0,1\right))]을 연결하여 만들어지는 도형을 말한다. 즉, [math(e_i=\left(0,0,\cdots,0,1,0,\cdots,0\right))]([math(i)]번째만 1인 단위벡터)라고 정의하면, [math(\triangle ^n=\left\{c_1 e_1+\cdots+c_n e_n, \forall k,c_k>0, \sum_k c_k \leq 1\right\})]이다.이제 이런 모든 특이 [math(n)]-단체에서 어떤 위상공간 [math(T)]로 가는 모든 연속함수를 생각한 뒤, 그 함수들로 자유 아벨 군(free abelian group)을 생성하자. 그러면 이것이 특이 [math(n)]-사슬 [math(C_k)]가 된다. 이제 경계 사상 [math(\partial_k : C_k \to C_{k-1})]을 만들어주면 되는데, 이는 [math(n)]-단체의 원소를 하나 제거하여 만든 [math(n-1)]-단체의 교차합(alternating sum)으로 정의된다. 즉, [math(\partial_k c_k\left(a_0, a_1,\cdots, a_n\right)=\sum_i \left(-1\right)^i c_k\left(a_0,\cdots,\hat{a_i},\cdots,a_n\right))]으로 정의된다. (hat 기호는 이 원소를 제외한다는 의미이다.)
그러면 자명(?)하게 [math(\partial_k \circ \partial_{k+1}=0)]가 0인데, 그러므로 호몰로지에 대해서 생각할 수 있다. 이를 특이 호몰로지라고 한다.
특이 호몰로지를 찾는 것은 쉽게 말해서 서로 다른 Bordism 클래스에 있으면서 닫혀있는 도형이 몇개인가를 세는 문제와 같다고 할 수 있다. 예를 들어, 구 [math(S^n \left(n>2\right))]의 경우, 이 구 위에서 그려진 임의의 원을 점으로 줄일 수 있으므로 1번째 호몰로지가 0이 된다. 또한 0번째 호몰로지의 차원은 경로 연결 성분(path-connected component)의 갯수와 같다는 사실이 알려져있다.
[math(n)]번째 특이 호몰로지의 차원 수를 베티 수(betti number)이라고 하며, 이 베티 수의 교차합을 오일러 지표(Euler characteristic)이라고 하는데, 이것이 바로 그 오일러의 다면체 정리에 나오는 [math(\chi=v-e+f)]와 같다.
6. 여담
2018년 5월 21일 트위터 실시간 트렌드에 '호몰로지'가 올라왔다.7. 관련 문서
[1] 이미지 출처: 위키피디아, https://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space