1. 개요
(Euclidean) plane · 平面3차원 상의 곡면 중 평평한 면을 평면이라 한다. 주의해야 할 것은 일상 생활의 개념과 달리 수학적인 평면은 무한한 면을 다룬다는 것이다. 즉, 직육면체의 윗면 같은 것은 평면의 일부를 도려낸 것이다.
2. 수학적 분석
2.1. 평면의 결정 조건
아래 각각의 조건에 대해, 조건에 주어진 모든 도형을 포함하는 평면은 유일하게 결정된다.- 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점이 주어질 때
- 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어질 때
- 한 점에서만 만나는 두 직선이 주어질 때
- 세 각의 합이 [math(pi)](혹은, [math(180degree)])인 삼각형이 주어질 때[1]
미분기하학에서는 아래처럼 정의한다.
2.2. 평면의 위치 관계
2.2.1. 평면과 직선
공간 상에 있는 한 평면 [math(\pi)][2]와 한 직선 [math(l)]은 아래의 그림과 같이 3가지의 위치 관계가 존재한다.- (a): 포함한다.
- (b): 한 점에서 만난다.
- (c): 평행하다. 이것을 기호로 [math(\pi \parallel l)]로 나타낸다.
위에서 (a), (b)는 평면과 직선이 직접적으로 만나지만, (c)는 만나지 않는다는 것에 유의하라.
2.2.1.1. 직선과 평면의 직교
공간 상 한 평면 [math(\pi)]와 해당 평면에 대해 한 점에서 만나는 직선 [math(l)]을 고려하자. 이때, 다음을 만족하면 평면 [math(\pi)]과 직선 [math(l)]은 직교한다고 하고, 기호로 [math(l \perp \pi)]로 나타낸다.| 직선 [math(\boldsymbol{l})]과 평면 [math(\boldsymbol{\pi})] 위의 모든 직선이 직교할 때 |
다음 그림을 참고하라:
이때, 한 직선과 한 평면이 직교하는 것은 해당 직선과 그 평면 위의 평행하지 않은 두 직선이 직교한다는 것을 보이면 된다. 이것의 증명은 아래와 같다.
평면 [math(\pi)]와 해당 평면에 한 점에서 만나는 직선 [math(l)]을 고려하고, 직선 [math(l)]과 직교하는 두 직선 [math(m)], [math(n)]을 고려해보도록 하자. 이때, 두 직선은 평행이동을 통해여 직선 [math(l)]과의 교점 [math(\mathrm{O})]에서 만나게 할 수 있다. 그러한 직선을 [math(m')], [math(n')]이라 놓고, 직선 [math(l)]에 [math(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP'}})]를 만족하게 하는 두 점 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{P'})]를 잡자. 또, 두 직선 [math(m)], [math(n)]이 아닌 평면 [math(\pi)] 위의 임의의 직선 [math(L)]을 생각하고, 이 직선 또한 [math(\mathrm{O})]를 지나도록 평행이동한 직선을 [math(L')]이라 하자. 위 그림과 같이 [math(m')], [math(L')], [math(n')]을 통과하는 직선을 놓고, 해당 직선과 세 직선과의 교점을 각각 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{Q})], [math(\mathrm{B})]라 하자. 이때, 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AP'}} \qquad \qquad \overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{BP'}} )]
이에 따라 삼각형 [math(\mathrm{APB})], [math(\mathrm{AP'B})]에서 [math(\overline{\mathrm{AB}})]는 공통임에 따라
[math( \displaystyle \triangle \mathrm{APB} \equiv \triangle \mathrm{AP'B})]
이 성립한다. 이로부터 [math(\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{QP'}})]이 성립하므로 삼각형 [math(\mathrm{PQP'})]는 이등변삼각형이 되고, [math(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP'}})]임을 고려하면,
[math( \displaystyle l \perp L' )]
을 얻는다. 이에 따라 평면 [math(\pi)] 위의 임의의 직선 [math(l)]이 수직하므로
[math( \displaystyle l \perp \pi )]
임을 얻을 수 있다.
2.2.2. 평면과 평면
공간 상에 있는 두 평면 [math(\pi)], [math(\rho)]는 아래의 그림과 같이 3가지의 위치 관계가 존재한다.- (a): 만난다. (이때, 평면과 평면이 만나는 지점에서 직선이 형성되는데 이를 교선(Intersection line)이라 한다.)
- (b): 평행하다. 이것을 기호로 [math(\pi \parallel \rho)]로 나타낸다.
- (c): 일치한다. 이것을 기호로 [math(\pi = \rho )]로 나타낸다.
따라서 두 평면이 만나지 않으면 두 평면은 평행하다.
2.3. 삼수선의 정리
평면 [math(\pi)] 위에 있지 않은 한 점 [math(\mathrm{P})]와 평면 [math(\pi)] 위의 직선 [math(l)] 위의 한 점 [math(\mathrm{H})], 직선 [math(l)] 위에 있지 않은 점 [math(\mathrm{O})]에 대하여 다음이 성립하는데, 이를 삼수선의 정리(Theorem of three perpendiculars)라 한다.- (a) [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \pi)], [math(\overline{\mathrm{OH}} \perp l)]이면, [math(\overline{\mathrm{PH}} \perp l)]이다.
- (b) [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \pi)], [math(\overline{\mathrm{PH}} \perp l)]이면, [math(\overline{\mathrm{OH}} \perp l)]이다.
- (c) [math(\overline{\mathrm{PH}} \perp l)], [math(\overline{\mathrm{OH}} \perp l)], [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}})]이면, [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \pi)]이다.
이를 그림으로 나타내면, 아래와 같다.
| |
여담으로, 평면 기하학에 피타고라스 정리가 있다면, 공간 기하학에는 삼수선의 정리가 있다는 말이 있을 정도로 공간 기하학에서 자주 써먹는 정리이다. 즉, 공간 기하학을 학습하면서 이 부분을 제대로 학습하지 않고, 넘어가봤자 연습문제의 난이도가 조금만 어려워져도 손도 못대는 자신을 발견할 수 있다는 뜻이다.
2.3.1. 증명
(a)위에서
[math( \displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \pi \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathrm{PO}} \perp l )]
또한, [math(\overline{\mathrm{OH}} \perp l )]이므로 평면 [math(\mathrm{PHO})]는 [math(l)]과 직교함을 알 수 있다. 이에 [math(\mathrm{PHO})] 위의 모든 직선은 [math(l)]과 직교하므로
[math( \displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp l )]
(b)
위에서
[math( \displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \pi \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathrm{PO}} \perp l )]
또한, [math(\overline{\mathrm{PH}} \perp l )]이므로 평면 [math(\mathrm{PHO})]는 [math(l)]과 직교함을 알 수 있다. 이에 [math(\mathrm{PHO})] 위의 모든 직선은 [math(l)]과 직교하므로
[math( \displaystyle \overline{\mathrm{OH}} \perp l )]
(c)
위에서
[math( \displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp l , \, \overline{\mathrm{OH}} \perp l \quad \Leftrightarrow \quad l \perp \text{plane} \, \mathrm{PHO} )]
이에 따라 [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp l)], [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}})]가 성립하므로 [math(\overline{\mathrm{PO}} )]는 평면 [math(\pi)]위의 임의의 두 직선과 직교함에 따라
[math( \displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \pi )]
2.4. 이면각
이제부터는 두 평면이 이루는 각에 대해 알아볼 것이다. 위 그림과 같이 한 교선을 가지는 반평면 [math(\pi)], [math(\rho)]를 고려하자. 이때, 각각의 평면 위에 있는 점 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{Q})]로 부터 내린 교선 위의 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하자. 이때, 두 평면이 이루는 각은 해당 수선이 이루는 각 중 작은 각 [math(\angle \mathrm{PHQ} = \theta)]로 정의한다.
또한, 두 평면이 이루는 각을 이면각(dihedral angle)이라 한다.
2.5. 평면의 방정식
이제부터 공간좌표 상 평면을 기술하는 방정식을 찾기 위하여 우리는 어떤 평면에 수직한 벡터 [math(\mathbf{n})]을 고려해보도록 한다. 이것의 해당 평면의 법선 벡터(Normal vector)라 하는 것도 참고하자. 이때,[math( \displaystyle \mathbf{n}=(a,\,b,\,c) )]
라 놓자. 여기서 [math(a \sim c)]는 상수이다. 또한 평면이 점 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]를 지난다고 했을 때, 평면 위의 임의의 점 [math((x,\,y,\,z))]을 종점, [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]를 시점으로 하는 벡터
[math( \displaystyle \mathbf{p}=(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}) )]
라 놓을 수 있다. 이때, [math(\mathbf{n})]이 평면에 수직하기 때문에 평면 위에 있는 임의의 벡터 또한 이에 수직하다. 따라서 이들의 내적의 값은 0이 됨에 따라
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p} &= (a,\,b,\,c) \boldsymbol{\cdot}(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}) \\ &=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) \\&=0 \end{aligned} )]
즉, 법선 벡터가 [math((a,\,b,\,c))]이고, 점 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]를 지나는 평면의 방정식은
[math( \displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) =0 )]
이다. 일반적인 형태로는
[math( \displaystyle Ax+By+Cz+D=0 )]
의 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 [math(A \sim D)]는 상수이다.
또한 양함수 형태로 쓰면,
[math( \displaystyle z=f(x,\,y)=\alpha x+\beta y+\gamma )]
꼴로 쓸 수 있다. 여기서 [math(\alpha \sim \gamma)]는 상수이다. 즉, 좌표공간 상 평면을 기술하는 것은 [math(z)]가 [math(x)], [math(y)]에 대한 일차식으로 이루어져있을 때임을 알 수 있다.
여기서 법선 벡터를 이용하여 평면의 위치 관계에 대해 더 논의할 수 있는데, 좌표공간 상 두 평면이 있고, 해당 평면의 법선 벡터를 각각 [math(\mathbf{n}_{1})], [math(\mathbf{n}_{2})]이라 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
- 평행하거나 일치: [math(\mathbf{n}_{1}=k \mathbf{n}_{2})] (단, [math(k)]는 상수.)
- 직교: [math(\mathbf{n}_{1} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n}_{2}=0)]
2.5.1. 세 점을 지나는 평면의 방정식
서로 다른 세 점 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{Q})], [math(\mathrm{R})]을 고려하자. 평면은 서로 다른 세 점이 주어지면 유일하게 결정되므로 이 세 점으로 평면의 방정식을 결정할 수 있다.가장 쉬운 방법은 외적을 이용하여 법선 벡터를 직접 구하는 것이다. 평면 위의 모든 벡터는 법선 벡터와 수직하고, 해당 세 점이 구하는 평면 위의 점이기 때문에 [math(\overrightarrow{\mathrm{PQ}})], [math(\overrightarrow{\mathrm{PR}})]을 구하고, 이 두 벡터를 외적하면 구하는 평면의 법선 벡터가 나온다. 그리고 세 점 중 하나를 이용하면 바로 구해진다.
그러나 문제는 고등학생은 이 쉬운 방법을 쓰지 못한다는 것이다. 그 이유는 고급수학을 배우지 않는 한 외적을 배우지 않기 때문이다. 그렇기 때문에 고등학교 수준에서는 구하는 평면의 방정식을 [math(Ax+By+Cz+D=0)] 꼴로 놓고, 세 점을 대입하여 세 변수를 한 변수로 표현한 뒤 해당 변수와 공통 인수를 약분하는 방법을 사용하게 된다.
2.5.2. 교선의 방정식
교선은 곧 두 평면 상에 동시에 놓인다. 따라서 해당 직선의 방향 벡터는 각각의 법선 벡터와 수직하다. 어떤 두 평면의 법선 벡터를 각각 [math(\mathbf{n}_{1})], [math(\mathbf{n}_{2})]라 하자. 교선의 방향 벡터는 이들과 각각 수직해야 하므로 외적을 이용하여 교선의 방향 벡터를[math( \displaystyle \mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2} )]
로 놓을 수 있다. 또한 두 평면의 방정식을 연립함으로써 교점의 좌표를 구할 수 있다.[3] 따라서 구한 교점의 좌표와 외적을 통해 구한 법선 벡터를 이용함으로써 교선의 방정식을 구할 수 있다.
2.5.3. 교선을 지나는 평면의 방정식
좌표평면 위의 두 평면 [math(ax+by+cz+d=0)], [math(a'x+b'y+c'z+d'=0)]를 고려하자. 이 두 평면이 일치하거나 평행하지 않은 이상, 두 평면은 교차하여 교선을 형성한다. 이 교선 위의 점을 [math((\alpha, \, \beta, \, \gamma))]라 둔다면, 이 점에서[math( \displaystyle \begin{aligned} a\alpha+b\beta+c\gamma+d&=0 \\ a'\alpha+b'\beta+c'\gamma+d'&=0 \end{aligned} )]
가 성립한다. 이때, 다음의 방정식
[math( \displaystyle ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z+d')=0 )]
을 고려하자. 여기서 [math(k)]는 상수이다. 이 방정식이 공간좌표 상 평면을 나타내는 것은 수학적으로 자명하며, 이 평면에 교선 위의 점을 대입하면,
[math( \displaystyle a\alpha+b\beta+c\gamma+d+k(a'\alpha+b'\beta+c'\gamma+d')=0 )]
이것은 [math(k)]값에 관계 없이 성립하는 항등식이므로 해당 평면은 두 평면의 교선을 지난다는 것을 알 수 있다. 다만 위 형식에서는 [math(a'x+b'y+c'z+d'=0)]가 제외되는 문제가 발생하기 때문에
[math( \displaystyle m(ax+by+cz+d)+n(a'x+b'y+c'z+d')=0 )]
의 형식으로 쓰기도 한다. [math(m)], [math(n)]은 상수이다.
2.6. 점과 평면 사이의 거리
공간좌표 상 한 평면 [math( ax+by+cz+d=0)]과 평면 외부의 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]을 고려하자. 또한 이 평면이 [math(\mathrm{Q}(x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))]을 지난다고 생각해보자.우선 주어진 평면의 법선 벡터는 [math(\mathbf{n}=(a,\,b,\,c))]가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 [math(\mathbf{p} \equiv \overrightarrow{\mathrm{PQ}})]
[math( \displaystyle \mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},\,y_{0}-y_{1},\,z_{0}-z_{1}) )]
를 고려하자.
그렇다면, 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리는 한 점에서 평면에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 [math(\mathbf{p})]의 법선 벡터 [math(\mathbf{n})] 위로의 스칼라 사영[4]이 될 것이다. 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리를 [math(s)]라 놓으면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} s&=\text{comp}_{\mathbf{n}} \, \mathbf{p} \\
&=\frac{|\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}|}{|\mathbf{n}|} \\&=\frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})+c(z_{0}-z_{1})|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\
&=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{aligned} )]
의 결과를 얻는다.
2.7. 평면이 이루는 각
2.7.1. 평면과 직선이 이루는 각
위 그림과 같이 한 평면 [math(\pi)]와 이 평면에 한 점에서 만나는 직선 [math(l)]을 고려해보자. 이 직선이 평면과 이루는 각을 [math(\theta)]라 하자. 이때, [math(\theta)]는 예각으로 잡는다. 그렇다면, 평면 [math(\pi)]의 법선 벡터 [math(\mathbf{n})]와 직선 [math(l)]의 방향 벡터 [math(\mathbf{u})]가 이루는 각은 두 종류[5] 가 가능하다: [math(\pi/2-\theta)], [math(\pi/2+\theta)] 이때,
[math( \displaystyle \left| \cos{\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)} \right|=\left| \cos{\left( \frac{\pi}{2}+\theta \right)} \right|=\sin{\theta} )]
이므로 다음을 얻는다.
[math( \displaystyle \sin{\theta}=\frac{|\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}|}{|\mathbf{n}| |\mathbf{u}|} )]
2.7.2. 이면각
위 그림과 같이 두 평면 [math(\pi)], [math(\rho)]를 고려하자. 이때, 위 그림과 같이 교선에 내린 수선이 이루는 각을 [math(\theta)]라 하자. 이때, 이 각은 곧 두 법선 벡터가 이루는 각의 크기와 같으므로 두 평면의 이면각을 [math(\theta_{0}\,(0 \leq \theta_{0} \leq \pi/2))]라 하면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} \cos{\theta_{0}}&=|\cos{\theta}\,| \\ &=\frac{|\mathbf{n}_{1} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n}_{2}|}{|\mathbf{n}_{1}| |\mathbf{n}_{2}|} \end{aligned})]
임을 알 수 있다.
2.8. 삼원일차연립방정식과 평면
다음과 같은 삼원연립일차방정식을 생각해보자.[math( \displaystyle \left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d&=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'&=0 \\ ax+by+cz+d&=0
\end{matrix}\right. )]
우리가 이 방정식을 푼다는 것은 곧 세 방정식을 동시에 만족시키는 [math(x \sim z)]를 구하는 것과 같다. 그런데 각각의 방정식은 좌표공간 상 평면을 나타내는데 좀 더 생각해보면 위 세 등식이 동시에 만족하는 점은 세 평면의 교점 뿐이다. 즉, 우리가 삼원연립일차방정식을 푼다는 것은 세 평면의 교점의 좌표를 구하는 것과 같은 과정인 것이다.
더 나아가 평면의 위치 관계를 알 수 있다면 해의 개수도 정해진다. 우리가 직선 문서에서 다뤘듯, 이원일차연립방정식도 해를 갖는 경우와 불능, 부정 3개의 특성을 갖는다고 했다. 이 경우도 마찬가지다. 평면의 위치 관계에 따라 교점이 없을 수도 있고, 교점이 아닌 직선일 수도 있다. 또 세 평면이 모두 평행하여 교점이 아예 없는 경우도 있을 것이다. 즉, 삼원연립일차방정식 또한 세 평면의 위치 관계에 따라 해의 특성이 정해진다는 것을 알 수 있다.
2.9. 접평면의 방정식
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| 오목한 곡면을 가지는 다변수함수의 최솟값 접면 예 |
접평면이란, 3차원 이상의 도형에 접하는 평면이다. 즉, 2차원에서는 곡선에 접하는 직선 즉, 접선의 개념을 다뤘듯, 비슷하게 접하는 평면을 구하는 것이 이 문단의 목표인 것이다.
델(연산자) 문서의 그레이디언트 항목을 보면, 4차원 도형의 등위곡면에 수직한 벡터는 [math(f(x,\,y,\,z)=k)]에 대하여 [math(\boldsymbol{\nabla}f)]임을 알 수 있었다. 따라서 해당 등위곡면에 대한 접평면을 구하는 문제로 치환할 수 있고, 해당 곡면의 한 점 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]의 표면에 수직한 벡터는
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]
가 될 것이다. 이로써 우리는 접평면의 법선 벡터를 구한 셈이다. 그리고 해당 접평면이 점 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]을 지나야만 하는 것에서 부터 접평면의 방정식은 아래와 같이 됨을 알 수 있다.
[math( \displaystyle [\boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) ]_{x} (x-x_{0})+[\boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) ]_{y}(y-y_{0})+[\boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) ]_{z}(z-z_{0})=0 )]
이제 우리는 위의 내용을 바탕으로 3차원 공간에서 반지름 4인 구를 기술하는 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4^2)]의 한 점 [math((\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2\sqrt{3}))]의 접평면의 방정식을 구해보도록 하자. 우선적으로
[math( \displaystyle f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} )]
로 택하자. 이때,
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=(2\sqrt{2},\,2\sqrt{2}, 4\sqrt{3}))]
을 쓸 수 있다. 그러나 해당 벡터의 상수배한 [math((\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2\sqrt{3}))]를 써도 무방하다. 따라서 구하는 접평면의 방정식은
[math( \displaystyle \sqrt{2}(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(y-\sqrt{2})+2\sqrt{3}(z-2\sqrt{3})=0 )]
으로 구할 수 있다.
이상을 정리하면, 곡면 [math(f(x,\,y,\,z)=0)]위의 점의 위치 벡터 [math(\mathbf{r}_{0}=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]일 때, 이 점 위의 접평면의 방정식은 [math(\mathbf{r}=(x,\,y,\,z))]에서
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} f(\mathbf{r}_{0})\boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})=0 )]
이다.
3. 기타
- 2009 개정 교육과정에서는 중학교에서 간단히 배우고 고등학교 기하와 벡터 교과목에서 자세히 다루었다. 그러나 2015 개정 교육과정에 들며 공간벡터가 제외되면서, 좌표공간에서 평면의 방정식을 나타내는 방법이 제외되었다.
- 많은 학생들이 기하와 벡터를 배울 때 비교적 쉬웠던 원뿔곡선 파트를 넘어, 본격적으로 공간으로 넘어가면서 고전하는 파트 중 하나이다. 이 부분은 개념 이해가 필연적으로 중요하며, 개념에 대한 정확한 이해를 바탕으로 많은 문제를 풀어봐야 각종 내신이나 모의고사를 대비할 수 있다.
- 택시 기하학은 평면 위에서 전개되지만, 위의 내용이 성립하지 않는다.
4. 관련 문서
[1] 즉, 평행선 공준이 거짓일 경우 위 3개를 만족하더라도 평면이 아니다. 위 3개를 만족하는 대표적인 반례로 푸앵카레 원반이 있다.[2] plane의 p에 해당하는 그리스 문자 [math(\pi)]를 사용[3] 다만, 미지수가 3개인데 식은 2개이므로 각 미지수의 비 밖에 구하지 못한다.[4] 정사영 문서의 벡터 사영 문단 참조. 벡터 사영의 크기가 스칼라 사영이다.[5] 그림의 상황은 모든 상황을 표현하는 것이 아닌 한 상황을 묘사하는 것에 유의하라.