최근 수정 시각 : 2025-01-28 10:04:45

정사면체

정다면체
Regular Polyhedron
플라톤 다면체
(볼록 정다면체)
정사면체 · 정육면체 · 정팔면체 · 정십이면체 · 정이십면체
케플러-푸앵소 다면체
(오목 정다면체)
작은 별모양 십이면체 · 큰 별모양 십이면체 · 큰 십이면체 · 큰 이십면체

정사면체
regular tetrahedron
파일:external/upload.wikimedia.org/Tetrahedron.gif
슐레플리 기호 {3,3}
또는 {32}
대칭 점군 [math(A_3)], [3,3][Cox]또는 [math(T_d)][Scn]
대칭 차수 24
쌍대 정사면체 (자기쌍대)
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높이 [math(\dfrac{\sqrt{6}}{3} a)]
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중접구 [math(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} a)]
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1. 개요2. 꼭짓점 좌표3. 다른 도형들과의 관계4. 실생활 예시


1. 개요

正四面體/Regular tetrahedron(복수는 -hedra)

한 개의 꼭짓점에 세 개의 정삼각형이 만나고, 총 네 개의 정삼각형으로 이루어진 정다면체.

2. 꼭짓점 좌표

한 변이 [math(a)]인 정사면체에 대해,
  • 반정다면체로서의 정사면체
    [math(\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right))] 중, 모든 부호의 곱이 같은 4개의 꼭짓점[4]
  • 중심이 원점에 있고, 한 꼭짓점이 z축을 향하는 정사면체
    [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p}_1&= \left(0,0,\frac{\sqrt{6}}{4}\right) \\ \mathbf{p}_2&= \left(\frac{\sqrt{3}}{3},0,-\frac{\sqrt{6}}{12}\right) \\ \mathbf{p}_3&= \left(-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{6}}{12}\right) \\ \mathbf{p}_4&= \left(-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{6}}{12}\right) \end{aligned})]

3. 다른 도형들과의 관계

  • 쌍대(dual)[5]: 정사면체 (자기 쌍대)[6]
  • 정다면체 순환
    • 임계 절단(rectification), 정사면체 → 정팔면체
      정사면체의 꼭짓점에서 모서리들의 절반 지점에 있는 점들을 이은 4개의 면들로 잘라내면 정팔면체가 만들어진다.
    • 반감(halvation), 정육면체 → 정사면체
      정육면체의 8개 꼭지점 중에서 서로 이웃하지 않은 4개의 꼭짓점을 이은 선분으로 이루어진 도형(절반화, halvation)은 정사면체이다.
  • 정사면체를 단위로 해서 만들 수 있는 4차원 도형로 정오포체, 정십육포체, 정육백포체가 있다.

4. 실생활 예시



[Cox] 콕서터(Coxeter) 표기법[Scn] 숀플리스(Schönflies) 표기법[3] ≈ 70.53°[4] 모든 부호의 곱이 양수일 경우, 1, 3, 6, 8 팔분공간에 꼭짓점이 존재하는 정사면체가, 모든 부호의 곱이 음수일 경우 2, 4, 5, 7 팔분공간에 꼭짓점이 존재하는 정사면체가 된다. 이 두 정사면체를 서로 겹친 것이 '별모양 팔면체'(stellated octahedron, 또는 stella octangula)다.[5] 어떤 다면체의 꼭짓점을 면으로, 면을 꼭짓점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[6] 정사면체 뿐만 아니라 모든 다각뿔의 쌍대 다면체 또한 자기 자신이다.

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