| 정다면체 Regular Polyhedron | |
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| 정이십면체 regular icosahedron | |||||
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| 슐레플리 기호 | {3,5} | ||||
| 대칭 | 점군 | [math(H_3)] | |||
| 대칭 차수 | 120 | ||||
| 쌍대 | 정십이면체 | ||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 측정 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" | [math(a)] = 한 변의 길이 [math(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2})] ≈ 1.618 | ||||
| 겉넓이 | [math(5\sqrt{3} a^2)] | ||||
| 부피 | [math(\dfrac{15+5\sqrt{5}}{12}a^3)][1] | ||||
| 이면각 | [math(\displaystyle\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right))][2] | ||||
| 반지름 | 외접구 | [math(\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}} }{4}a)][3] | |||
| 중접구 | [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}a)][4] | ||||
| 내접구 | [math(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}a)][5] | ||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 구성요소 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" | 차원 | 형태 | 개수 | |||
| 0 | 점(V) | 12 | ||||
| 1 | 모서리(E) | 30 | ||||
| 2 | 면(F) | {3} (정삼각형) | 20 | |||
| 다른 이름 | ||
| 비틀어 늘린 맞붙인 오각뿔(Gyroelongated bipyramid)[6] 다듬은 사사면체(Snub Tetratetrahedron)[7] |
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1. 개요
正二十面體, Icosahedron[8]꼭짓점 하나에 정삼각형 5개가 만나고 총 스무 개 면으로 이루어진 다면체. 정다면체들 중 면이 가장 많다.
정이십면체에서 두 면이 이루는 이면각의 크기는 [math(\displaystyle\sin^{-1}\frac{-\sqrt{5}}{3}\approx138.19^\circ)]로, 3개의 정이십면체가 한 모서리에서 만난다고 가정하면 414.57°로 360°를 초과하기 때문에 4차원 볼록 정다포체를 만들 수 없다.[9]
정이십면체에서 서로 마주보는 두 오각뿔을 잘라내면 엇정오각기둥이 된다는 점을 이용하면 엇정오각기둥의 한 이면각은 정삼각형 끼리는 약 ~138.1694°, 정삼각형과 정오각형이 만나는 곳은 약 ~106.4513°라는 것을 짐작할 수 있다.
1.1. 다른 도형들과의 관계
- 정이십면체는 정십이면체와 쌍대(Dual)[10] 도형이다.[11]
- 정팔면체의 12개 모서리들을 잘 황금분할하여 서로 이으면 정이십면체가 된다.
- 정육백포체의 꼭짓점 둘레를 잘라내면 그 단면의 모양이 정이십면체이다.
- 3차원 정다면체들 중 4차원 정다포체의 구성 입체로 사용할 수 없는 도형이다.
2. 현실에서의 예시
- 수많은 바이러스
- 감마-붕소(γ-boron)[13]
- 골프공[14]
- 지오데식 돔[15]
- 정이십면체 주사위 - TRPG(특히 D&D)의 상징같은 존재. 과거에 d10 (및 d%) 주사위가 없던 시절 십진법 주사위로도 많이 쓰였는데, 11~20을 다른 색을 칠한 면의 1~0에 대응시켜 운용되었다.
- 도직
3. 창작물에서의 예시
- 고양이: 새소년의 곡. 뮤직비디오에 나온다.
- 공주는 죽어서 키운다 - 유일신의 신력
- 메이플스토리 - 얼티메이트-무빙 매터: 검은색 정이십면체가 나온다.
- 별의 커비 64 - 미라클 매터
- Cell to Singularity - Semblance
- R-TYPE 시리즈 - R-TYPE FINAL의 스테이지 6.2 "역류 공간" 및 R-TYPE TACTICS와 R-TYPE TACTICS II에서 "다리스"라는 물체들이 나오는데, 분홍색에 크기가 비교적 작고 내구력도 약한 정사면체 다리스와 파란색에 크기는 비교적 크고 튼튼한 정이십면체 다리스로 총 두 종류가 있다.
- 스페이스 해리어 2 - 10스테이지 보스 Bins Been은 회전하는 정이십면체의 모습으로 플레이어에게 돌진한다.
- 스타크래프트 1: 아비터의 정지장(스테이시스 필드) 효과가 파란색 정이십면체이다.
4. 여담
정이십면체를 각 꼭짓점에서 모서리 부분을 잘라내면 축구공 모양이 나온다.d20으로 점을 칠수 있는 Magic 8 Ball이라는 장난감이 있다.
[1] [math(= \displaystyle\frac{5\varphi^2}{6}a^3 \approx 2.1817 a^3)][2] ≈ 138.190°[3] [math(= \dfrac{5^{1/4}\varphi^{1/2}}{2}a)][4] [math(= \dfrac{\varphi}{2}a)][5] [math(= \dfrac{\sqrt{3}\varphi^2}{6}a)][6] 정이십면체는 정오각뿔, 엇정오각기둥 그리고 다시 정오각뿔을 정오각형 면끼리 순서대로 붙여 만들 수 있다.[7] 아르키메데스 다면체의 다듬기 항목 참고. 정사면체의 각 면을 띄워 놓고 각 꼭지점에 삼각형 5개를 끼워 서로 이어가면 만들어진다.[8] 복수는 Icosahedra[9] 정이십면체로 오목 정다포체는 만들 수 있다.[10] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[11] 정이십면체는 한 꼭지점에 정삼각형 다섯 개가 만나기 때문에 {3, 5} 한 꼭지점에서 정오각형이 세 개 만나는 도형인 정십이면체{5, 3}와 쌍대 도형이다.[12] 정확히는 약간 길쭉한 모양이나, 매우 유사하게 생겼다.[13] 고압 환경에서 존재하는 붕소의 동소체이다.[14] 잘 모르겠다면 골프공에 있는 딤플(골프공 표면에 존재하는 홈)을 자세히 보자. 가끔 예외인 골프공도 있을 수 있으나, 대부분의 골프공은 딤플들이 다른 딤플 6개로 둘러싸였는데, 단 12개 딤플만 다른 딤플 5개로 둘러싸였다. 이 12개 딤플을 이으면 정이십면체가 된다.[15] 골프공과 마찬가지로 반드시 정이십면체 기반으로 만들 필요는 없으나, 대부분의 지오데식 돔의 경우, 정다면체들 중에서는 정이십면체가 구와 가장 가깝기 때문에 정이십면체를 기반으로 만들어진다.