4차원 정다포체

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4차원 볼록 정다포체 4-Dimensional Regular Polychoron
정오포체	정팔포체	정십육포체	정이십사포체	정백이십포체	정육백포체

1. 개요2. 종류

2.1. 볼록 정다포체2.2. 오목 정다포체2.3. 오일러 지표

3. 측정4. 여담5. 연관항목

1. 개요


↑ 정오포체	↑ 정팔포체	↑ 정십육포체

↑ 정이십사포체	↑ 정백이십포체[A]	↑ 정육백포체[A]
W축으로 회전하는 4차원 정다포체들을 3차원에 투영시킨 모습

四次元正多胞體/4-Dimensional Regular Polychoron (또는 regular polychoron, regular 4-polytope)

기하학에 등장하는 4차원 도형의 일종.

4차원 다포체 중에서 모든 면이 합동인 정다면체로 이루어져 있으며, 각 선분에서 만나는 입체의 개수가 같은 다포체를 말한다.

2. 종류

여섯 개의 볼록 정다포체와 열 개의 오목 정다포체가 존재한다.

2.1. 볼록 정다포체

정오포체: 5개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개이다. 슐레플리 기호로는 {3,3,3}으로 나타내어진다.
정팔포체: 8개의 정육면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. 슐레플리 기호로는 {4,3,3}으로 나타내어진다.
정십육포체: 16개의 정팔면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 4개. 슐레플리 기호로는 {3,3,4}로 나타내어진다.
정이십사포체: 정이십사포체는 4차원 정다포체에만 있는 유일한 도형이다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. 슐레플리 기호로는 {3,4,3}으로 나타내어진다.
정백이십포체: 120개의 정십이면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. 슐레플리 기호로는 {5,3,3}으로 나타내어진다.
정육백포체: 600개의 정이십면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 5개. 슐레플리 기호로는 {3,3,5}로 나타내어진다.

2.2. 오목 정다포체

큰 거대 별모양 백이십포체 (Great Grand Stellated 120-cell): {5/2,3,3}
큰 별모양 백이십포체 (Great Stellated 120-cell): {5/2,3,5}
거대 별모양 백이십포체 (Grand Stellated 120-cell): {5/2,5,5/2}[B]
작은 별모양 백이십포체 (Small Stellated 120-cell): {5/2,5,3}
큰 이십면체 백이십포체 (Great Icosahedral 120-cell): {3,5/2,5}
거대 육백포체 (Grand 600-cell): {3,3,5/2}
정이십면체 백이십포체 (Icosahedral 120-cell): {3,5,5/2}
큰 거대 백이십포체 (Great Grand 120-cell): {5,5/2,3}
큰 백이십포체 (Great 120-cell): {5,5/2,5}[B]
거대 백이십포체 (Grand 120-cell): {5,3,5/2}

위에 있는 것은 전부 {5,3,3}정백이십포체나 {3,3,5}정육백포체를 응용해서 만들어진 것이며 반대로 쌍곡 {3,5,3}정이십면체 벌집을 응용해서 만들 수 있는 오목 정다포체 쌍곡 벌집은 존재하지 않는다. 또한 4차원 이상에서는 칠각형 이상의 n각형 계열이 전부 추상적인 논콤팩트가 된다.

2.3. 오일러 지표

볼록 정다포체의 입체의 개수를 [math(C)], 면의 개수를 [math(F)], 모서리의 개수를 [math(E)], 꼭짓점의 개수를 [math(V)]라고 할 때, 오일러 지표(Euler characteristic)는

[math(V-E+F-C)] [math(=)] [math(0)]이다.

오목 다포체 중 6개는 0이며 2개는 480, 2개는 -480이다.

정다포체	입체의 개수	면의 개수	모서리의 개수	꼭짓점의 개수	-입체+면-모서리+꼭짓점	몇개의 초구입체를 덮는 갯수(density)
정오포체{3,3,3}	5	10	10	5	0	1
정팔포체{4,3,3}	8	24	32	16	0	1
정십육포체{3,3,4}	16	32	24	8	0	1
정이십사포체{3,4,3}	24	96	96	24	0	1
정백이십포체{5,3,3}	120	720	1200	600	0	1
정육백포체{3,3,5}	600	1200	720	120	0	1
{5/2,5,3}	120	720	1200	120	-480	4
{3,5,5/2}	120	1200	720	120	480	4
{5,5/2,5}	120	720	720	120	0	6
{5/2,3,5}	120	720	720	120	0	20
{5,3,5/2}	120	720	720	120	0	20
{5/2,5,5/2}	120	720	720	120	0	66
{5,5/2,3}	120	720	1200	120	-480	76
{3,5/2,5}	120	1200	720	120	480	76
{5/2,3,3}	120	720	1200	600	0	191
{3,3,5/2}	600	1200	720	120	0	191

4차원 정다포체의 이포각은 다음과 같다.(오목 정다포체 포함)

{3,3,3} 정오포체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{4}\right))]≈75.52249° 초부피≈0.0233a⁴
{4,3,3} 정팔포체 [math(\cos^{-1}\left(0\right))]=90° 초부피=1a⁴
{3,3,4} 정십육포체 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right))]=120° 초부피≈0.1667a⁴
{3,4,3} 정이십사포체 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right))]=120° 초부피=2a⁴
{5,3,3} 정백이십포체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}\right))]=144° 초부피≈787.8570a⁴
{3,3,5} 정육백포체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-3\sqrt{5}}{8}\right))]≈164.47751° 초부피≈26.4754a⁴
{3,3,5/2} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+3\sqrt{5}}{8}\right))]≈44.47751°
{5/2,3,3} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\right))]=72°
{3,5/2,5} [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right))]=120°
{5,5/2,3} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\right))]=72°
{5/2,5,5/2} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\right))]=72°
{5,3,5/2} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\right))]=72°
{5/2,3,5} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}\right))]=144°
{5,5/2,5} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}\right))]=144°
{5/2,5,3} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}\right))]=144°
{3,5,5/2} [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right))]=120°

위에서 보듯이 오목 정다포체는 {3,3,5/2}를 제외하면 이포각이 전부 유리수로 나오며 볼록 정다포체까지 합쳐도 {3,3,3}, {3,3,5}, {3,3,5/2}를 제외한 나머지 13개가 유리수 각도이다. 이중에서 {5/2,3,5}, {5,5/2,5}, {5/2,5,3}, {5,3,3} 이렇게 4개는 144°, {3,5/2,5}, {3,5,5/2} 이렇게 2개는 120°로 {3,4,3}, {3,3,4}와도 이포각이 같으며, {5/2,3,3}, {5,5/2,3}, {5/2,5,5/2}, {5,3,5/2} 이렇게 4개는 72°로 같다. 이 {3,3,5/2}마저도 {3,3,5}의 이포각에서 120°를 뺀 것과 같으며 {3,3,3}과 {3,3,5/2}의 이포각을 합치면 120°, {3,3,3}과 {3,3,5}의 이포각을 합치면 240°, {3,3,3}, {3,3,4}, {3,3,5}의 이포각을 합치면 360°가 된다. 비슷하게 {3,3}과 {3,4}의 이포각을 합치면 180°, {3,3}, {3,4}, {3,6}의 이포각을 합치면 360°가 된다. 물론 {3,6}은 유클리드 벌집이라 이에 해당되진 않지만.

볼록 정다포체로 한정하면 사용하는 입체가 {3,5}가 빠지고 꼭짓점이 되는 것으로는 {5,3}이 빠지지만, 오목 정다포체까지 합하면 사용하는 입체가 {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}, {5,5/2}, {5/2,5}, {3,5/2}, {5/2,3} 9개 모두 사용되므로 꼭짓점 도형으로도 사용된다. 참고로, 오각별 {5/2}에다 사각형, 육각형, 칠각형 등과 같이 삼각형과 오각형을 제외한 n각형을 추가하는 경우엔는 전부 만들어지지 않는 오목 벌집이 된다. {5/2,3,5/2}, {3,5/2,3}의 2가지 경우에는 사각형 계열이 아닌 나머지 7가지 정다면체를 사용한 형태지만 오목 정다포체가 만들어지지 않는다. 또한 {4,3,4}는 정규 허니컴이며 {3,5,3}, {5,3,4}, {4,3,5}, {5,3,5} 이렇게 4개는 4차원에서 콤펙트 하이퍼볼릭이다.

3. 측정

정다포체	슐레플리 기호	부피	근삿값	외접구의 반지름	근삿값
정오포체	{3,3,3}	[math(\dfrac{\sqrt5}{96}a^4)]	0.02329	[math(\dfrac{\sqrt{10}}{4}a)]	0.79057
정팔포체	{4,3,3}	[math(a^4)]	1	[math(a)]	1
정십육포체	{3,3,4}	[math(\dfrac{1}{6}a^4)]	0.16667	[math(\dfrac{\sqrt2}{2}a)]	0.70711
정이십사포체	{3,4,3}	[math(2a^4)]	2	[math(a)]	1
정백이십포체	{5,3,3}	[math(\dfrac{15}{4}(105+47\sqrt{5})a^4)]	787.85698	[math(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}a)]	3.70246
정육백포체	{3,3,5}	[math(\dfrac{25}{4}(2+\sqrt{5})a^4)]	26.47542	[math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)]	1.61803

4. 여담

단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 4차원 유클리드 공간까지만 존재한다. 즉, 5차원부터는 볼록한 정다포체가 오직 3개까지만 존재한다.[5]

정백이십포체의 모든 점들을 이으면 16가지의 모든 4차원 정다포체와 오목 정다포체를 만들 수 있다는 것이다. 정백이십포체 1개만 있어도 대각선만 적당히 이으면 모든 4차원 정다포체를 그릴 수 있는 셈. 일반적으로 볼록 정다포체인 6개만 인정하지만 오목 정다포체까지 합쳐서 16개로 보는 경우도 있다. 하지만 유클리드 벌집이나 쌍곡 벌집은 대각선을 어떻게 이어도 만들 수 없으며, 그 반대의 경우도 마찬가지이므로 해당되지 않는다.

2차원에서는 정무한대각형이 1차원 공간을 빈틈없이 채우며 3차원에서는 정삼각형, 정사각형, 정육각형이 2차원 공간을 빈틈없이 채울 수 있다. 4차원으로 넘어가면 오직 정육면체만이 3차원 공간을 빈틈없이 채울 수 있지만 5차원에서는 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체가 4차원 공간을 빈틈없이 채울 수 있다. 6차원 이상에서는 초입방체만이 5차원 이상 공간을 빈틈없이 채울 수 있다. 이 말은 6차원 이상에서는 정규 벌집이 n-1차원 입방체 벌집 밖에 없다는 뜻이다.

정육면체 벌집{4,3,4}의 경우는 초부피가 무한대로 발산한다. {4,3,4}의 입체, 면, 모서리 꼭짓점의 비율은 1:3:3:1이다. 정육면체 벌집 역시 정규 테셀레이션과 같은 이유로 4차원 정다포체의 정의에는 부합하나 일반적으로 정다포체가 아닌 것으로 간주한다.

여담으로 4차원 도형은 회전변환을 사원수로 나타낼 수 있다.

5. 연관항목

[A] 정육백포체가 숫자는 더 큰데 오히려 정백이십포체보다 작아 보이는 이유는 정백이십포체는 정십이면체로 이루어져 있지만 정육백포체는 정사면체로 이루어져 있기 때문이다.[A] [B] 이것은 자기쌍대인 4차원의 오목한 정다포체이다. 그것도 2가지나 된다.[B] [5] 각각 n차원 정(n+1)포체(= 단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2ⁿ포체(=정축체)이다.