| 차원 Dimension | |||||
| <colbgcolor=#efefef,#2d2f34> 구분 | 0차원 | 1차원 | 2차원 | 3차원 | [math(\boldsymbol{n})]차원(4차원 이상) |
| 위상 | 점 | 선 | 면 | 입체 | 초입체 |
| 측도 | 셈 측도 | 길이 | 넓이 | 부피 | 초부피 |
| 유클리드 공간 · 민코프스키 시공간 · 측도론 | |||||
| 4차원 볼록 정다포체 | |||||
| 정오포체 | 정팔포체 | 정십육포체 | 정이십사포체 | 정백이십포체 | 정육백포체 |
1. 개요
| ↑ 정오포체 | ↑ 정팔포체 | ↑ 정십육포체 |
| ↑ 정이십사포체 | ↑ 정백이십포체[A] | ↑ 정육백포체[A] |
| W축으로 회전하는 4차원 정다포체들을 3차원에 투영시킨 모습 | ||
기하학에 등장하는 4차원 도형의 일종.
4차원 다포체 중에서 모든 면이 합동인 정다면체로 이루어져 있으며, 각 선분에서 만나는 입체의 개수가 같은 다포체를 말한다.
2. 종류
여섯 개의 볼록 정다포체와 열 개의 오목 정다포체가 존재한다.2.1. 볼록 정다포체
- 정오포체: 5개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개이다. 슐레플리 기호로는 {3,3,3}으로 나타내어진다.
- 정팔포체: 8개의 정육면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. 슐레플리 기호로는 {4,3,3}으로 나타내어진다.
- 정십육포체: 16개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 4개. 슐레플리 기호로는 {3,3,4}로 나타내어진다.
- 정이십사포체: 24개의 정팔면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. 슐레플리 기호로는 {3,4,3}으로 나타내어진다.
- 정백이십포체: 120개의 정십이면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. 슐레플리 기호로는 {5,3,3}으로 나타내어진다.
- 정육백포체: 600개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 5개. 슐레플리 기호로는 {3,3,5}로 나타내어진다.
2.2. 오목 정다포체
- 큰 거대 별모양 백이십포체 (Great Grand Stellated 120-cell): {5/2,3,3}
- 큰 별모양 백이십포체 (Great Stellated 120-cell): {5/2,3,5}
- 거대 별모양 백이십포체 (Grand Stellated 120-cell): {5/2,5,5/2}[B]
- 작은 별모양 백이십포체 (Small Stellated 120-cell): {5/2,5,3}
- 큰 이십면체 백이십포체 (Great Icosahedral 120-cell): {3,5/2,5}
- 거대 육백포체 (Grand 600-cell): {3,3,5/2}
- 정이십면체 백이십포체 (Icosahedral 120-cell): {3,5,5/2}
- 큰 거대 백이십포체 (Great Grand 120-cell): {5,5/2,3}
- 큰 백이십포체 (Great 120-cell): {5,5/2,5}[B]
- 거대 백이십포체 (Grand 120-cell): {5,3,5/2}
위에 있는 것은 전부 {5,3,3}정백이십포체나 {3,3,5}정육백포체를 응용해서 만들어진 것이며 반대로 쌍곡 {3,5,3}정이십면체 벌집을 응용해서 만들 수 있는 오목 정다포체 쌍곡 벌집은 존재하지 않는다. 또한 4차원 이상에서는 칠각형 이상의 n각형 계열이 전부 추상적인 논콤팩트가 된다.
2.3. 입체와 면과 모서리와 꼭지점의 개수
볼록 정다포체의 입체의 개수를 [math(C)], 면의 개수를 [math(F)], 모서리의 개수를 [math(E)], 꼭지점의 개수를 [math(V)]라고 할 때,[math(V-E+F-C)][5] [math(=)] [math(0)]이다.
오목 다포체는 6개는 0이며 2개는 480, 2개는 -480이다.
| 정다포체 | 입체의 개수 | 면의 개수 | 모서리의 개수 | 꼭지점의 개수 | -입체+면-모서리+꼭지점 | 몇개의 초구입체를 덮는 갯수(density) |
| 정오포체{3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5 | 0 | 1 |
| 정팔포체{4,3,3} | 8 | 24 | 32 | 16 | 0 | 1 |
| 정십육포체{3,3,4} | 16 | 32 | 24 | 8 | 0 | 1 |
| 정이십사포체{3,4,3} | 24 | 96 | 96 | 24 | 0 | 1 |
| 정백이십포체{5,3,3} | 120 | 720 | 1200 | 600 | 0 | 1 |
| 정육백포체{3,3,5} | 600 | 1200 | 720 | 120 | 0 | 1 |
| {5/2,5,3} | 120 | 720 | 1200 | 120 | -480 | 4 |
| {3,5,5/2} | 120 | 1200 | 720 | 120 | 480 | 4 |
| {5,5/2,5} | 120 | 720 | 720 | 120 | 0 | 6 |
| {5/2,3,5} | 120 | 720 | 720 | 120 | 0 | 20 |
| {5,3,5/2} | 120 | 720 | 720 | 120 | 0 | 20 |
| {5/2,5,5/2} | 120 | 720 | 720 | 120 | 0 | 66 |
| {5,5/2,3} | 120 | 720 | 1200 | 120 | -480 | 76 |
| {3,5/2,5} | 120 | 1200 | 720 | 120 | 480 | 76 |
| {5/2,3,3} | 120 | 720 | 1200 | 600 | 0 | 191 |
| {3,3,5/2} | 600 | 1200 | 720 | 120 | 0 | 191 |
4차원 정다포체의 이포각은 다음과 같다.(오목 정다포체 포함)
- {3,3,3} 정오포체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{4}\right))]≈75.52249° 초부피≈0.0233a4
- {4,3,3} 정팔포체 [math(\cos^{-1}\left(0\right))]=90° 초부피=1a4
- {3,3,4} 정십육포체 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right))]=120° 초부피≈0.1667a4
- {3,4,3} 정이십사포체 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right))]=120° 초부피=2a4
- {5,3,3} 정백이십포체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}\right))]=144° 초부피≈787.8570a4
- {3,3,5} 정육백포체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-3\sqrt{5}}{8}\right))]≈164.47751° 초부피≈26.4754a4
- {3,3,5/2} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+3\sqrt{5}}{8}\right))]≈44.47751°
- {5/2,3,3} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\right))]=72°
- {3,5/2,5} [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right))]=120°
- {5,5/2,3} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\right))]=72°
- {5/2,5,5/2} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\right))]=72°
- {5,3,5/2} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\right))]=72°
- {5/2,3,5} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}\right))]=144°
- {5,5/2,5} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}\right))]=144°
- {5/2,5,3} [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}\right))]=144°
- {3,5,5/2} [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right))]=120°
위에서 보듯이 오목 정다포체는 {3,3,5/2}를 제외하면 이포각이 전부 유리수 각도가 나오며 볼록 정다포체까지 합쳐도 {3,3,3}, {3,3,5}, {3,3,5/2}를 제외한 나머지 13개가 유리수 각도이다. 이중에서 {5/2,3,5}, {5,5/2,5}, {5/2,5,3}, {5,3,3} 이렇게 4개는 144°, {3,5/2,5}, {3,5,5/2} 이렇게 2개는 120°로 {3,4,3}, {3,3,4}와도 이포각이 같으며, {5/2,3,3}, {5,5/2,3}, {5/2,5,5/2}, {5,3,5/2} 이렇게 4개는 72°로 같다. 이 {3,3,5/2}마저도 {3,3,5}의 이포각에서 120°를 뺀 것과 같으며 {3,3,3}과 {3,3,5/2}의 이포각을 합치면 120°, {3,3,3}과 {3,3,5}의 이포각을 합치면 240°, {3,3,3}, {3,3,4}, {3,3,5}의 이포각을 합치면 360°가 된다. 비슷하게 {3,3}과 {3,4}의 이포각을 합치면 180°, {3,3}, {3,4}, {3,6}의 이포각을 합치면 360°가 된다. 물론 {3,6}은 유클리드 벌집이라 이에 해당되진 않지만.
볼록 정다포체로 한정하면 사용하는 입체가 {3,5}가 빠지고 꼭짓점이 되는 것으로는 {5,3}이 빠지지만, 오목 정다포체까지 합하면 사용하는 입체가 {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}, {5,5/2}, {5/2,5}, {3,5/2}, {5/2,3} 9개 모두 사용되므로 꼭짓점 도형으로도 사용된다. 참고로, 오각별 {5/2}에다 사각형, 육각형, 칠각형 등과 같이 삼각형과 오각형을 제외한 n각형을 추가하는 경우엔는 전부 만들어지지 않는 오목 벌집이 된다. {5/2,3,5/2}, {3,5/2,3}의 2가지 경우에는 사각형 계열이 아닌 나머지 7가지 정다면체를 사용한 형태지만 오목 정다포체가 만들어지지 않는다. 또한 일반적으로 오목한 n각형 계열에다 3각형과 n각형 이외의 다른 숫자가 들어가 있는 경우도 전부 추상적인 형태라서 만들 수 없다. 따라서 이들을 면이나 꼭짓점으로 삼는 5차원의 {3,5/2,3,3}, {3,3,5/2,3}, {3,5/2,3,5} {5,3,5/2,3}, {3,5/2,3,5/2}, {5/2,3,5/2,3}, {5/2,3,5/2,5}, {5,5/2,3,5/2}도 추상적인 오목 벌집이며, {5/2,3,5,3}, {3,5,3,5/2}, {5/2,5,3,5}, {5,3,5,5/2}, {5/2,5,3,3,3}, {3,3,3,5,5/2}, {5/2,5,3,3,5}, {5,3,3,5,5/2}, {5,5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2,5}, {3,5,5/2,5,3} 등처럼 쌍곡을 면이나 꼭짓점으로 가지는 경우도 존재한다. 이들도 역시 추상적인 형태라고 볼 수 있다. 그리고 오목 정다포체만을 면과 꼭짓점으로 가지는 계열 중에서 {3,3,5/2,5}, {5,5/2,3,3}, {5/2,3,3,3}, {3,3,3,5/2}, {5/2,3,3,5/2}, {5/2,5,5/2,3}, {3,5/2,5,5/2}는 이포각의 합이 360° 미만이라서 쌍곡이 되지 않으며 이 경우도 추상적인 경우라 할 수 있다.
역시 n이 7 이상의 자연수일 때, {n/k}에다 숫자를 붙이는 계열도 마찬가지이다. {m/n,k}, {k,m/n}, {m/n,k/p}, {k/p,m/n} 계열에서 [(m/n)-2][(k/p)-2]=4일 때를 만족하게 하면 실제로는 만들 수 없는 오목한 유클리드 벌집이 된다. 오목한 쌍곡 벌집 중에서는 n이 홀수일 때, {n/2,n}, {n,n/2}만 가능하다. 그러나 이들도 4차원 이상에서는 전부 추상적인 형태가 되므로 n이 7 이상의 홀수일 때, {n/2,n,3}, {3,n,n/2}, {n/2,3,n}, {n,3,n/2}, {n/2,3,3}, {3,3,n/2}, {n/2,n,n/2}, {n,n/2,n}, {n,n/2,3}, {3,n/2,n} 계열도 추상적이기에 만들 수 없게 된다.
따라서 한차원 위인 5차원에서는 {5,3,3,5/2}, {5/2,3,3,5}, {5/2,3,5,5/2}, {5/2,5,3,5/2}, {5,5/2,5,5/2}, {5/2,5,5/2,5}, {5,5/2,3,5}, {5,3,5/2,5}, {3,5/2,5,3}, {3,5,5/2,3} 이렇게 10가지가 5차원에서 이포각이 180°가 되며 내각의 합이 360°가 되어 유클리드 벌집이 되지만 이들은 전부 만들어지지 않는 오목 벌집이다. 3차원도 이러한 예시는 무수히 많지만 4차원과 6차원 이상에서는 한 차원 내려간 차원에서의 정다포체들의 이포각이 입방체를 제외하고 전부 무리수로 나오므로 그러하는 특성을 고려하면 해당한 차원 내에서 이러한 예시가 없다.[6]
3. 여담
단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 4차원 유클리드 공간까지만 존재한다. 즉, 5차원부터는 볼록한 정다포체가 오직 3개까지만 존재한다.[7]정백이십포체의 모든 점들을 이으면 16가지의 모든 4차원 정다포체와 오목 정다포체를 만들 수 있다는 것이다. 정백이십포체 1개만 있어도 대각선만 적당히 이으면 모든 4차원 정다포체를 그릴 수 있는 셈. 일반적으로 볼록 정다포체인 6개만 인정하지만 오목 정다포체까지 합쳐서 16개로 보는 경우도 있다. 하지만 유클리드 벌집이나 쌍곡 벌집은 대각선을 어떻게 이어도 만들 수 없으며, 그 반대의 경우도 마찬가지이므로 해당되지 않는다.
2차원에서는 정무한대각형이 1차원 공간을 빈틈없이 채우며 3차원에서는 정삼각형, 정사각형, 정육각형이 2차원 공간을 빈틈없이 채울 수 있다. 4차원으로 넘어가면 오직 정육면체만이 3차원 공간을 빈틈없이 채울 수 있지만 5차원에서는 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체가 4차원 공간을 빈틈없이 채울 수 있다. 6차원 이상에서는 초입방체만이 5차원 이상 공간을 빈틈없이 채울 수 있다. 이 말은 6차원 이상에서는 정규 벌집이 n-1차원 입방체 벌집 밖에 없다는 뜻이다.
다만 정육면체 벌집의 경우도 자기쌍대이지만 정규 벌집은 꼭짓점, 모서리, 다각형 면, 다면체 셀의 개수가 무한하다. 그래서 정육면체 벌집도 자기쌍대이지만, 각 면을 분할하여 최대 몇 개의 입체를 가졌는에 대한 경우나 대각선, 전개도의 개수는 정다각형 테셀레이션과 마찬가지로 무수히 많으므로 셀 수 없어 정의되지 않는다.[8]
정육면체 벌집{4,3,4}의 경우는 초부피가 무한대로 발산한다. {4,3,4}의 입체, 면, 모서리 꼭지점의 비율은 1:3:3:1이다.
3차원 오목 다포체도 함수값을 예상 가능하듯이 4차원 오목 다포체의 density 고려하지 않은 값은 다음과 같이 볼 수 있다. 이는 만들 수 없는 오목 벌집에도 당연히 적용할 수 있으므로 {5/2,3,5/2}, {3,5/2,3}, n이 7 이상의 홀수일 때, {n/2,3,3}, {3,3,n/2}, {3,n,n,/2}, {n/2,n,3}, {n/2,n,n/2}, {n,3,n/2}, {n/2,3,n}, {n,n/2,n}, {3,n/2,n}, {n,n/2,3} 등 처럼 정다면체를 면이나 꼭짓점에 사용했지만 오목 정다포체가 만들어지지 않는 경우나 불가능한 오목 벌집[9] 을 면이나 꼭짓점으로 사용해서 만든 계열도 이론상 구해서 알아볼 순 있겠다.
| 오목 다포체 | 입체 | 면 | 모서리 | 꼭지점 |
| {5/2,5,3} | 90 | 360 | 300 | 30 |
| {3,5,5/2} | 30 | 300 | 360 | 90 |
| {5,5/2,5} | 60 | 120 | 120 | 60 |
| {5/2,3,5} | 42 | 72 | 36 | 6 |
| {5,3,5/2} | 6 | 36 | 72 | 42 |
| {5/2,5,5/2} | 60/11 | 240/11 | 240/11 | 60/11 |
| {5,5/2,3} | 90/19 | 180/19 | 300/19 | 210/19 |
| {3,5/2,5} | 210/19 | 300/19 | 180/19 | 90/19 |
| {5/2,3,3} | 840/191 | 1440/191 | 1200/191 | 600/191 |
| {3,3,5/2} | 600/191 | 1200/191 | 1440/191 | 840/191 |
density 고려한 값과의 비교이다.
| {5/2,5,3} | 120 | 720 | 1200 | 120 |
| {3,5,5/2} | 120 | 1200 | 720 | 120 |
| {5,5/2,5} | 120 | 720 | 720 | 120 |
| {5/2,3,5} | 120 | 720 | 720 | 120 |
| {5,3,5/2} | 120 | 720 | 720 | 120 |
| {5/2,5,5/2} | 120 | 720 | 720 | 120 |
| {5,5/2,3} | 120 | 720 | 1200 | 120 |
| {3,5/2,5} | 120 | 1200 | 720 | 120 |
| {5/2,3,3} | 120 | 720 | 1200 | 600 |
| {3,3,5/2} | 600 | 1200 | 720 | 120 |
여담으로 정이십사포체의 좌표를 사원수로 나타낼 시 [math(\pm1)], [math(\pm i)], [math(\pm j)], [math(\pm k)], [math(\pm\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{2}i\pm\dfrac{1}{2}j\pm\dfrac{1}{2}k)]가 나온다. 정팔포체의 16개 꼭지점, 정십육포체의 8개 꼭지점도 이 좌표를 공유하며 정백이십포체의 1/25, 정육백포체의 1/5의 꼭짓점도 이 좌표를 공유한다. 정백이십포체의 꼭짓점을 통해 정오포체의 꼭짓점의 좌표를 나타낼 수 있다.
4. 연관항목
[A] 정육백포체가 숫자는 더 큰데 오히려 정백이십포체보다 작아 보이는 이유는 정백이십포체는 정십이면체로 이루어져 있지만 정육백포체는 정사면체로 이루어져 있기 때문이다.[A] [B] 이것은 자기쌍대인 4차원의 오목한 정다포체이다. 그것도 2가지나 된다.[B] [5] 오일러 지표(Euler characteristic)라고 한다.[6] 한차원 아래인 3차원과 5차원 이상에선 입방체만 유리수 각도를 가진다. 또한 거듭제곱근 꼴 형태의 근호가 없이 나타낼 수 있는 각도 중 cos값이 유리수 각인 각도는 0°, 60°, 90°, 120°, 180°, 240°, 270°, 300° 이렇게 8개 뿐이며 240°, 270°, 300°는 반바퀴 초과 돌았으며 0°, 180°는 정다포체가 결정되지 않으며 이중 이포각으로 나타낼 수 있는 각도는 60°, 90°, 120° 이렇게 3개이다 이는 각각 3각형, 4각형, 6각형으로 아이러니하게도, 단독으로 혼자서 테셀레이션을 할 수 있는 세 가지 종류 정다각형의 이포각이기도 하다.[7] 각각 n차원 정(n+1)포체(= 단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2n포체(=정축체)이다.[8] 단, 정사각형 테셀레이션, 정육면체 벌집, 정팔포체 벌집, 5-입방체 벌집 등과 같은 입방체 벌집{4,3,...,3,4}과 정무한각형도 단체와 더불어 자기쌍대이지만, 한 모서리에 이포각이 90°인 초입방체 4개를 모아 360°를 채운다는 특성상 (n-1) 차원 이하의 모든 면의 개수가 무한하기 때문에 자기쌍대라서 2등분이 더 가능해도 개수를 세는 것이 아예 불가능하다. 또한 정삼각형 테셀레이션, 정육각형 테셀레이션, 정십육포체 벌집, 정이십사포체 벌집은 자기쌍대가 아니지만 (n-1)차원 이하의 모든 면의 갯수가 무한하기에 이들도 개수를 세는 것이 불가능하다. n차원 hyperbolic 타일링이나 벌집도 자기쌍대라면 2등분이 더 가능하겠지만 이쪽은 면이나 입체, 초입체를 균일하게 만들 수 없기 때문에 논외.[9] 정다포체처럼 이포각 측정이 가능하든 유클리드 벌집처럼 이포각이 180°이며, 한 점에서의 내각의 합이 360°이든 이포각이 쌍곡과 같아지는 경우이든 상관없이 모두 해당되며, 그 자체의 ㅗ형도 이포각이 정다포체든 쌍곡이든 상관없이 모두 다 된다.