| 4차원 볼록 정다포체 4-Dimensional Regular Polychoron | |||||
| 정오포체 | 정팔포체 | 정십육포체 | 정이십사포체 | 정백이십포체 | 정육백포체 |
| 정팔포체 tesseract, regular octachoron, 8-cell | |||||
| 3차원에 투영된 정팔포체[1] | |||||
| 슐레플리 기호 | {4,3,3} | ||||
| 대칭 | 대칭군 | [math(BC_4)] | |||
| 대칭 차수 | 384 | ||||
| 쌍대 | 정십육포체 | ||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 측정 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" | [math(a)] = 한 변의 길이 | ||||
| 총 길이 | [math(32a)] | ||||
| 총 면적 | [math(24a^2)] | ||||
| 겉부피 | [math(8a^3)] | ||||
| 초부피 | [math(a^4)] | ||||
| 이포각 | 90° | ||||
| 반지름 | 외접초구 | [math(a)] | |||
| 모서리접초구 | [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)] | ||||
| 면접초구 | [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)] | ||||
| 내접초구 | [math(\displaystyle\frac{a}{2})] | ||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 구성요소 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" | 차원 | 형태 | 개수 | |||
| 0 | 점(V) | 16 | ||||
| 1 | 모서리(E) | 32 | ||||
| 2 | 면(F) | {4} (정사각형) | 24 | |||
| 3 | 셀(C) | {4,3} (정육면체) | 8 | |||
| 다른 이름 | |||
| 초입방체(4-hypercube) 정육면체 기둥(cube prism) 4-4 듀오프리즘(4-4 duoprism) |
1. 개요
[clearfix]
1. 개요
| | |
| 정팔포체의 전개도 | 전개도를 접고 다시 전개하는 모습[2] |
4차원 초입방체(hypercube)[3]로, 테서랙트(tesseract)라고도 한다. 3차원의 입방체란 3축간에 모두 직각으로 교차하는 형상을 기본으로 하는데, 제4의 직교하는 축을 더한 4차원에서 4축 모두가 직각으로 교차한다는 의미. 물론 인간의 감각기관은 4차원 이상을 인지할 수 없기 때문에 테서랙트를 완벽히 인지할 수는 없고 3차원 공간에 투영된 형태로 (3차원 큐브를 2차원인 종이의 면 위에 투영하듯이) 인지할 수밖에 없다. 축에 직교하는 방향으로 투영하면 그냥 입방체로만 보인다. 하지만 축에 직교하지 않는 각도로 3차원 공간에 투영할 경우 온갖 이상한 모양으로 인지될 수 있다. 3차원 정육면체도 x, y, z축 방향으로 보면 2차원 정사각형으로 보이지만 조금만 각도를 틀어도 다르게 보이는 것과 마찬가지.
철사로 정육면체 틀을 만들어 비눗물에 여러 번 담갔다가 빼면 틀 내에 정육면체 비눗방울이 생길 수도 있다. 이 형태가 정팔포체를 3차원 축 방향으로 투영한 형태이다.
정팔포체 10개를 한 모서리에 3개씩 만나도록 붙이면 5차원 도형인 펜터랙트를 만들 수 있다. 한 모서리에 4개씩 만나게 하면 초입방체이므로 정사각형, 정육면체와 마찬가지로 360°를 채워서 4차원 벌집이 만들어진다. 참고로, 5차원 이상에서는 오로지 단체, 초입방체, 정축체만이 볼록 정다포체가 될 수 있는데, 이들 중에서는 오직 초입방체만이 벌집을 만들 수 있으며, 이를 입방체 벌집이라고 한다.
정팔포체의 전개도는 모두 261개가 존재하며, 그 중 볼록한 십자가 형태의 전개도(Dalí cross)가 가장 유명하다.
네이버 캐스트 4차원입체도형
네이버 캐스트 초입방체 만들기
[1] W축으로 회전하는 중이다. 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영되었다.[2] 한 면의 넓이가 커졌다 작아졌다를 반복하며 다른 포들을 둘러 싸는 것으로 보이지만, 실제 4차원에서는 넓이나 부피의 변형이 없이 W축의 방향으로 접힌다. 우리가 3차원에 살기 때문에 표현할 수 없는 것이다.[3] n차원에서 가장 적은 수의 (n-1)-폴리토프(polytope)로 이루어진 n-폴리토프를 n-단체(simplex)라고 하며, 서로 직교하거나 평행인 선분으로 이루어진 도형을 n-초입방체(hypercube), 그리고 모든 좌표축에서 원점에서 같은 거리만큼 떨어진 지점에 꼭짓점이 있는 볼록한 정다포체를 n-정축체(orthoplex)라고 한다.