정팔포체

정팔포체

1. 개요

1. 개요

분류

4차원 볼록 정다포체 4-Dimensional Regular Polychoron
정오포체	정팔포체	정십육포체	정이십사포체	정백이십포체	정육백포체

정팔포체 tesseract, regular octachoron, 8-cell
3차원에 투영된 정팔포체[1]
슐레플리 기호		{4,3,3}
대칭	대칭군	[math(BC_4)]
	대칭 차수	384
쌍대		정십육포체
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겉부피		[math(8a^3)]
초부피		[math(a^4)]
이포각		90°
반지름	외접초구	[math(a)]
	모서리접초구	[math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
	면접초구	[math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
	내접초구	[math(\displaystyle\frac{a}{2})]

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다른 이름
초입방체(4-hypercube) 정육면체 기둥(cube prism) 4-4 듀오프리즘(4-4 duoprism)

1. 개요

[clearfix]


정팔포체의 전개도	전개도를 접고 다시 전개하는 모습[2]

正八胞體, 8-cell, regular octachoron

4차원 초입방체(hypercube)[3]로, 테서랙트(tesseract)라고도 한다. 3차원의 입방체란 3축간에 모두 직각으로 교차하는 형상을 기본으로 하는데, 제4의 직교하는 축을 더한 4차원에서 4축 모두가 직각으로 교차한다는 의미. 물론 인간의 감각기관은 4차원 이상을 인지할 수 없기 때문에 테서랙트를 완벽히 인지할 수는 없고 3차원 공간에 투영된 형태로 (3차원 큐브를 2차원인 종이의 면 위에 투영하듯이) 인지할 수밖에 없다. 축에 직교하는 방향으로 투영하면 그냥 입방체로만 보인다. 하지만 축에 직교하지 않는 각도로 3차원 공간에 투영할 경우 온갖 이상한 모양으로 인지될 수 있다. 3차원 정육면체도 x, y, z축 방향으로 보면 2차원 정사각형으로 보이지만 조금만 각도를 틀어도 다르게 보이는 것과 마찬가지.

철사로 정육면체 틀을 만들어 비눗물에 여러 번 담갔다가 빼면 틀 내에 정육면체 비눗방울이 생길 수도 있다. 이 형태가 정팔포체를 3차원 축 방향으로 투영한 형태이다.

정팔포체 10개를 한 모서리에 3개씩 만나도록 붙이면 5차원 도형인 펜터랙트를 만들 수 있다. 한 모서리에 4개씩 만나게 하면 초입방체이므로 정사각형, 정육면체와 마찬가지로 360°를 채워서 4차원 벌집이 만들어진다. 참고로, 5차원 이상에서는 오로지 단체, 초입방체, 정축체만이 볼록 정다포체가 될 수 있는데, 이들 중에서는 오직 초입방체만이 벌집을 만들 수 있으며, 이를 입방체 벌집이라고 한다.

정팔포체의 전개도는 모두 261개가 존재하며, 그 중 볼록한 십자가 형태의 전개도(Dalí cross)가 가장 유명하다.

네이버 캐스트 4차원입체도형
네이버 캐스트 초입방체 만들기

[1] W축으로 회전하는 중이다. 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영되었다.[2] 한 면의 넓이가 커졌다 작아졌다를 반복하며 다른 포들을 둘러 싸는 것으로 보이지만, 실제 4차원에서는 넓이나 부피의 변형이 없이 W축의 방향으로 접힌다. 우리가 3차원에 살기 때문에 표현할 수 없는 것이다.[3] n차원에서 가장 적은 수의 (n-1)-폴리토프(polytope)로 이루어진 n-폴리토프를 n-단체(simplex)라고 하며, 서로 직교하거나 평행인 선분으로 이루어진 도형을 n-초입방체(hypercube), 그리고 모든 좌표축에서 원점에서 같은 거리만큼 떨어진 지점에 꼭짓점이 있는 볼록한 정다포체를 n-정축체(orthoplex)라고 한다.

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