| 4차원 볼록 정다포체 4-Dimensional Regular Polychoron | |||||
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| 정백이십포체 regular hecatonicosachoron, 120-cell | |||||
| 3차원에 투영된 정백이십포체.[1] | |||||
| 슐레플리 기호 | {5,3,3} | ||||
| 대칭 | 대칭군 | [math(H_4)] | |||
| 대칭 차수 | 14400 | ||||
| 쌍대 | 정육백포체 | ||||
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| 총 길이 | [math(1200a)] | ||||
| 총 면적 | [math(180\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)][2] | ||||
| 겉부피 | [math(30(15+7\sqrt{5})a^3)][3] | ||||
| 초부피 | [math(\dfrac{15}{4}(105+47\sqrt{5})a^4)][4] | ||||
| 이포각 | [math(144\degree)] | ||||
| 반지름 | 외접초구 | [math(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}a)] | |||
| 모서리접초구 | [math(\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}a)] | ||||
| 면접초구 | [math(\dfrac{\sqrt{650+290\sqrt{5}} }{10}a)] | ||||
| 내접초구 | [math(\dfrac{7+3\sqrt{5}}{4}a)] | ||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 구성요소 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" | 차원 | 형태 | 개수 | |||
| 0 | 점(V) | 600 | ||||
| 1 | 모서리(E) | 1200 | ||||
| 2 | 면(F) | {5} (정오각형) | 720 | |||
| 3 | 셀(C) | {5,3} (정십이면체) | 120 | |||
| 다른 이름 | ||
| 도데카플렉스(dodecaplex), dodecahedral complex 하이퍼도데카헤드론(hyperdodecahedron)[5] |
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1. 개요
正百二十胞體/120-cell, regular hecatonicosachoron[6]한 개의 모서리에 세 개의 정십이면체가 만나고, 총 백스무 개의 정십이면체로 이루어진 정다포체.
한편 정백이십포체로는 5차원의 정다포체를 만들 수 없다.[7] 이포각이 144°라 한 면에 3개가 모이면 432°로 360°를 초과하기 때문이다.
2. 구조
정백이십포체의 구조를 설명한 영상
정십이면체 열 개 한 묶음씩 하나의 링이라고 했을 때, 12개의 정십이면체 링[주의사항]이 4차원 공간에서 서로 접혀져 만나는 구조이다.
6개의 링으로 된 전개도 2개가 서로 접혀져 정백이십포체를 이룰 때의 모습을 보면 듀오프리즘 모양도 나오며[9] 정백이십포체는 4차원의 120개 방향으로 대칭형이므로, 전체적인 모습은 사실 초구에 근접한다.
3. 여담
정백이십포체의 꼭짓점으로 4차원의 모든 정다포체 6개와 모든 오목 정다포체 10개를 전부 다 만들 수 있다. 정백이십포체 1개만 있어도 16개의 모든 정다포체와 오목 정다포체를 그릴 수 있는 셈이다. 당연하겠지만, 유클리드 벌집이나 쌍곡 벌집은 꼭짓점을 연결하는 방법으로 만들 수 없으며, 그 반대의 경우도 마찬가지이므로 유클리드 벌집과 쌍곡 벌집은 해당되지 않는다.기본적으로 3차원에 대응되는 도형이 정십이면체로 알려져 있지만 구면을 덮는 빽빽한 정도를 기준으로 하면 오각형 모양으로 깎은 마름모삼십면체와 비슷하다.[10]
정백이십포체는 체적도 787이 넘어가서 n차원 다포체 중에서는 희귀하게 해당 차원에서 체적이 엄청나며 한 변의 길이가 5인 정팔포체보다 체적이 더 크다. 또한 한 이포각의 크기가 144°인데, 이는 정십각형의 한 내각의 크기와 같다.
자기점을 기준으로 한 점의 거리 타입이 44개(거리값 중복 합하면 30개)나 존재하며 각 꼭짓점의 개수는 다음과 같다.
[math(\left(0\right))]1개, [math(\left(1\right))]4개, [math(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right))]12개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right))]12개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}\right))]4개, [math(\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{26+10\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}\right))]32개(4개+4개+24개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{34+14\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]12개, [math(\left(\sqrt{10+4\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}\right))]28개(4개+24개), [math(\left(\sqrt{12+5\sqrt{5}}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}}{2}\right))]24개, [math(\left(3+\sqrt{5}\right))]54개(24개+6개+24개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{62+26\sqrt{5}}}{2}\right))]24개, [math(\left(\sqrt{16+7\sqrt{5}}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2}\right))]28개(4개+24개), [math(\left(2\sqrt{2}+\sqrt{10}\right))]24개, [math(\left(\sqrt{19+8\sqrt{5}}\right))]12개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{78+34\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{3\sqrt{6}+\sqrt{30}}{2}\right))]32개(4개+4개+24개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{86+38\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\sqrt{23+10\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\right))]4개, [math(\left(\dfrac{3\sqrt{7}+\sqrt{35}}{2}\right))]12개, [math(\left(\sqrt{25+11\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{106+46\sqrt{5}}}{2}\right))]12개, [math(\left(2\sqrt{3}+\sqrt{15}\right))]4개, [math(\left(3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right))]1개.
정백이십포체의 꼭지점들 간의 특징은 다음과 같다.
| 거리의 길이 | 근삿값 | 그래프상 거리값(중복 갯수) | 이포각(cos^-1) | 근삿값 | 각도 | 비고 |
| [math(\dfrac{\sqrt{0+0\sqrt{5}}}{2})] | 0 | 0(1) | [math(-1)] | -1 | 180 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{4+0\sqrt{5}}}{2})] | 1 | 1(4) | [math(\dfrac{-1-3\sqrt{5}}{8})] | -0.96353 | 164.47751 | {3,3,5}의 이포각 |
| [math(\dfrac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{2})] | 1.61803 | 2(12) | [math(\dfrac{-5-\sqrt{5}}{8})] | -0.90451 | 154.75717 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{12+4\sqrt{5}}}{2})] | 2.28825 | 3(24) | [math(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4})] | -0.80902 | 144 | {5,3,3}, {5/2,3,5}, {5,5/2,5}, {5/2,5,3}의 이포각 |
| [math(\dfrac{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}{2})] | 2.61803 | 4(12) | [math(-\dfrac{3}{4})] | -0.75 | 138.59038 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}}{2})] | 2.80252 | 5(4) | [math(\dfrac{1-3\sqrt{5}}{8})] | -0.71353 | 135.52249 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{20+8\sqrt{5}}}{2})] | 3.07768 | 4(24) | [math(\dfrac{-3-\sqrt{5}}{8})] | -0.65451 | 130.88239 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{26+10\sqrt{5}}}{2})] | 3.47709 | 5(12),5(12) | [math(-\dfrac{\sqrt{5}}{4})] | -0.55902 | 123.98784 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{28+12\sqrt{5}}}{2})] | 3.70246 | 6(4),5(24),6(4) | [math(-\dfrac{1}{2})] | -0.5 | 120 | {3,3,4}, {3,4,3}, {3,5/2,5}, {3,5,5/2}의 이포각 |
| [math(\dfrac{\sqrt{34+14\sqrt{5}}}{2})] | 4.04057 | 6(12),6(12) | [math(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{8})] | -0.40451 | 113.86033 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{36+16\sqrt{5}}}{2})] | 4.23607 | 6(12) | [math(\dfrac{-5+\sqrt{5}}{8})] | -0.34549 | 110.21180 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{40+16\sqrt{5}}}{2})] | 4.35250 | 6(24) | [math(\dfrac{1-\sqrt{5}}{4})] | -0.30902 | 108 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{42+18\sqrt{5}}}{2})] | 4.53457 | 7(24),7(4) | [math(-\dfrac{1}{4})] | -0.25 | 104.47751 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{48+20\sqrt{5}}}{2})] | 4.81460 | 7(12),7(12) | [math(\dfrac{1-\sqrt{5}}{8})] | -0.15451 | 98.88829 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}}{2})] | 4.97980 | 7(24) | [math(\dfrac{-3+\sqrt{5}}{8})] | -0.09549 | 95.47961 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{56+24\sqrt{5}}}{2})] | 5.23607 | 8(24),8(6),8(24) | [math(0)] | 0 | 90 | {4,3,3}의 이포각 |
| [math(\dfrac{\sqrt{62+26\sqrt{5}}}{2})] | 5.48037 | 8(24) | [math(\dfrac{3-\sqrt{5}}{8})] | 0.09549 | 84.52039 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{64+28\sqrt{5}}}{2})] | 5.62605 | 9(12),9(12) | [math(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{8})] | 0.15451 | 81.11171 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{70+30\sqrt{5}}}{2})] | 5.85410 | 10(4),9(24) | [math(\dfrac{1}{4})] | 0.25 | 75.52249 | {3,3,3}의 이포각 |
| [math(\dfrac{\sqrt{72+32\sqrt{5}}}{2})] | 5.99070 | 9(24) | [math(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4})] | 0.30902 | 72 | {5/2,3,3}, {5,5/2,3}, {5/2,5,5/2}, {5,3,5/2}의 이포각 |
| [math(\dfrac{\sqrt{76+32\sqrt{5}}}{2})] | 6.07359 | 10(12) | [math(\dfrac{5-\sqrt{5}}{8})] | 0.34549 | 69.78820 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{78+34\sqrt{5}}}{2})] | 6.20537 | 10(12),10(12) | [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{8})] | 0.40451 | 66.13967 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{84+36\sqrt{5}}}{2})] | 6.41285 | 11(4),10(24),11(4) | [math(\dfrac{1}{2})] | 0.5 | 60 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{86+38\sqrt{5}}}{2})] | 6.53779 | 11(12),11(12) | [math(\dfrac{\sqrt{5}}{4})] | 0.55902 | 56.01216 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{92+40\sqrt{5}}}{2})] | 6.73503 | 11(24) | [math(\dfrac{3+\sqrt{5}}{8})] | 0.65451 | 49.11761 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{94+42\sqrt{5}}}{2})] | 6.85410 | 12(4) | [math(\dfrac{-1+3\sqrt{5}}{8})] | 0.71353 | 44.47751 | {3,3,5/2}의 이포각 |
| [math(\dfrac{\sqrt{98+42\sqrt{5}}}{2})] | 6.92667 | 12(12) | [math(\dfrac{3}{4})] | 0.75 | 41.40962 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{100+44\sqrt{5}}}{2})] | 7.04250 | 12(24) | [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4})] | 0.80902 | 36 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{106+46\sqrt{5}}}{2})] | 7.22598 | 13(12) | [math(\dfrac{5+\sqrt{5}}{8})] | 0.90451 | 25.24283 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{108+48\sqrt{5}}}{2})] | 7.33708 | 14(4) | [math(\dfrac{1+3\sqrt{5}}{8})] | 0.96353 | 15.52249 | |
| [math(\dfrac{\sqrt{112+48\sqrt{5}}}{2})] | 7.40492 | 15(1) | [math(1)] | 1 | 0 |
[1] W축으로 회전하는 중이다. 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영되었다.[2] [math( ≈ 1238.74373a^2)][3] [math( ≈ 919.57428a^3)][4] [math( ≈ 787.85698a^4)][5] 초(超)정십이면체[6] 복수는 -chora[7] 정오각형 12개로 정십이면체, 정십이면체 120개로 정백이십포체를 만든 것과 대조적.[주의사항] 3차원 평면상에 투영시켜 나타내다 보니 정십이면체 링이 마치 '외부'와 '내부'를 이루며 서로 얽혀 있는 것처럼 보이나, 실제로는 모두 4차원 초구의 '외부'에 존재하며 겉껍질을 이루는 구조이다.[9] 쌍대인 정육백포체에선 이 꼭짓점들을 응용한 grand antiprism도 있다.[10] 정오각형 12개, 육각형 30개로 이루어져 있다. 심지어 이 도형도 균일한 변의 길이를 갖는 것이 가능하지만 정다각형이 아니라 아르키메데스 다면체로 인정받지 못한다.