| 4차원 볼록 정다포체 | |||||
| 정오포체 | 정팔포체 | 정십육포체 | 정이십사포체 | 정백이십포체 | 정육백포체 |
회전하는 정이십사포체의 3차원 투영 모습.[1]
1. 개요
正二十四胞體/24-cell, 또는 Regular icositetrachoron(복수는 -chora)한 개의 모서리에 세 개의 정팔면체가 만나고, 총 스물네 개의 정팔면체로 이루어진 정다포체. 또한 정십육포체의 꼭짓점을 모서리 절반까지 깎거나 정팔포체를 8개의 정육면체 초뿔[2]로 나눈 뒤 뒤집는 방법으로도 만들 수 있다.
정이십사포체를 그리려면 정팔면체를 그린 후, 안에 육팔면체를 그린 뒤 다시 육팔면체 안에 정팔면체를 하나 더 그리고, 육팔면체의 한 삼각형의 변을 안과 밖의 정팔면체의 삼각형의 꼭짓점과 이어지도록 이등변삼각형을 그리면 된다.
4차원 정다포체 중 유일하게, 대응되는 다른 차원의 볼록 정다포체가 없는 4차원 고유의 도형이다.[3][4]
초부피가 정확하게 정팔포체의 2배, 정십육포체의 12배이다. 또한 이포각이 120°라서 정십육포체, 정육각형과 같기 때문에 정규 벌집의 오른쪽에 3을 계속 붙인 {3,4,3,...,3,3}, {3,3,4,3,...,3}의 계열은 이론상 이포각이 n-6차원 단체와 같아지며, {6,3,...,3,3}, {3,6,3,...,3}의 계열은 이론상 이포각이 n-4차원 단체와 같아진다. 또한 입방체 벌집의 오른쪽에 3을 계속 붙이는 경우는 {4,3,...,3,4,3,3,...,3}이 되는데, n차원 입방체 벌집이라 할 때, 오른쪽에 붙인 3의 개수를 k개라고 한다면 k-1차원 단체와 이론상 이포각이 같아지게 되는 걸 알 수 있다. 이와 비슷하게 정십각형과 정백이십포체도 한 이포각이 144°로 같고, {5/2,3,3}과 {10/3}도 72°로 같아서 n차원 십각 입방체 {10,3,...,3,3}, {10/3,3,...,3,3} 계열도 n+2차원 오각입방체 {5,3,...,3,3}, {5/2,3,...,3,3}계열과 이론상 이포각이 같아지는 걸 알 수 있다.[5]
2. 정보
| 슐레플리 기호 | {3,4,3} r{3,3,4}[6] |
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 24개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 96개 |
| 면(face, 2차원) | 정삼각형 96개 |
| 포(cell, 3차원) | 정팔면체 24개 |
| 쌍대 | 자기자신 |
| 이포각 | 120˚ ([math(\dfrac{2\pi}{3})]) |
| 포함 관계 또는 다른 이름 | 옥타플렉스(octaplex) 또는 octahedral complex 옥타큐브(octacube) 하이퍼-다이아몬드(hyper-diamond) |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정이십사포체가 있을 때
총 모서리 길이(total edge length) = [math(96a)]
총 면적(total surface area) = [math(24\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(8\sqrt{2}a^3)]
초부피(bulk) = [math(2a^4)]
외접구의 반지름 = [math(a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
면접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{3}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
참고로 정이십사포체의 좌표를 사원수로 나타낼 시 [math(\pm1)], [math(\pm i)], [math(\pm j)], [math(\pm k)], [math(\pm\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{2}i\pm\dfrac{1}{2}j\pm\dfrac{1}{2}k)]가 나온다.
[1] 사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영된 것이다.[2] 밑포가 정육면체인 4차원 뿔이다.[3] 정이십사포체를 사용해서 만든 {3,4,3,3}과 그 쌍대인 {3,3,4,3}이 있으나, 이는 볼록 다포체가 아니라 4차원 초공간에서 표현되는 허니콤이다. 따라서 유한한 부피를 가진, 볼록 정다포체 중에는 정이십사포체에 대응되는 다른 차원의 도형은 없다.[4] 유사하게 정육면체를 사각뿔로 나눠 뒤집는 방식으로 만들 수 있고, 공간을 빈틈 없이 채울 수 있는 마름모십이면체가 있고, 정이십사포체의 단면 중 마름모십이면체가 존재하긴 한다. 그러나 이는 정다면체가 아니며, 군론의 측면에서 살펴봐도 정이십사포체는 [math(F_4)], 마름모십이면체는 [math(B_3)] 대칭에 해당하므로 서로 대응되지 않는다.[5] 여담으로, 이는 쌍곡이 된 이후로, 다시 이포각 측정이 가능해지는 7차원과 5차원에서 이포각을 소수점 아래 넷째자리까지 표현하면 55.4646이라서 순환소수처럼 보이기도 하며, {5/2,3,3,3,3}, {10/3,3,3}도 78.9898이라서 유리수 같아보이는 착각이 일어날 수 있다. 기약분수 꼴은 각각 5491/99, 7820/99[6] 즉, 절반 지점까지 깎아낸 정십육포체이다. 꼭짓점 형태가 정팔면체형이고, 포(cell)의 형태가 절반 지점을 깎으면 정팔면체가 되는 정사면체형이기 때문에 가능한 일이다.