점(기하학)

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1. 개요2. 유클리드 기하학에서의 점3. 다른 분야에서의 점4. 물리학에서의 점입자5. 기타

1. 개요

點 / point

모든 도형의 궁극적 구성 요소인 가장 단순한 도형으로서 위치만 있고 넓이도 길이도 크기도 없는 것. 크기를 가지지 않고 공간을 점유하지 않지만 특정한 위치를 지정할 수 있는 가상적, 관념적 대상을 말한다. 그래서 우리가 종이에 찍은 점들은 수학적 의미로서는 점이 아니다.[1] 그런 의미에서 dot와 point를 구별해서 사용하는 수학자도 있다. 점은 두 선이 만나서 생기기도 한다.

2. 유클리드 기하학에서의 점

항목 참조.

3. 다른 분야에서의 점

사실, 현대 수학에서는 점에 대한 정의를 일반화하기 어렵다. 왜냐하면 오늘날 수학에서는 공간이라는 개념을 너무나 느슨하게 다루기 때문에 '공간의 원소' 정도인 점에 대해 딱히 어떤 정의를 붙이는 게 힘들다. 예를 들어, R^2 에 정의된 모든 일차함수의 집합을 생각해보자. 여기에 위상을 적절히 정의하면 뫼비우스의 띠와 동형인 위상'공간'이 되는데, 이 위상'공간'의 점인 일차함수는 따지고보면 '직선'이다. 즉, 이런 경우, 점이 선이 돼 버리고 마는 것이다.[2] 단, 일반적으로 0차원 도형을 점이라고 정의한다.

대수기하학에서는 3가지 서로 다른 점의 개념이 있다. 더욱 충격적인 건, 그중 어떤 개념에서는 한 점이 다른 점들을, 심지어는 부분 공간을 포함할 수도 있다는 것이다.

4. 물리학에서의 점입자

자세한 내용은 점입자 문서

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를

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의 [[점입자#s-|]]번 문단을

#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[점입자#|]][[점입자#|]] 부분을

참고하십시오.

5. 기타

과거에는 넓이도 길이도 크기도 없는 게 어떻게 모여서 길이를 가지고 넓이를 가지냐는 주장이 등장하기도 했었다.[3] 그래서 나온 것이 연속이라는 개념이다.

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[1] 우리가 찍은 점을 확대하면 실제로는 면이 된다. 선도 마찬가지이다. 거기에 우리가 사는 공간은 3차원 공간이므로 아주 엄밀하게는 입체도형이다.[2] 이처럼 공간을 점으로 갖는 공간을 모듈라이 공간(moduli space)라고 한다. 이 경우에는 직선들의 모듈라이 공간은 뫼비우스 띠와 동형이라고 이야기할 수 있겠다.[3] 실제로 유리수의 측도는 0이다.