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1. 개요
微分幾何學 / Differential Geometry미적분학, 벡터해석학, 미분방정식 등의 해석학의 툴을 이용하여 기하학적 대상을 연구하는 기하학의 분야이며, 현대 기하학 하면 가장 먼저 연상이 되는 분야이다. 미적분이 발달하면서 해석기하학의 좌표와 함수의 미적분적 접근과 18,19세기에서의 3차원 유클리드 공간에서의 평면, 곡면 그리고 곡선에 대한 이론들이 발전하면서 만들어졌고, 미분다양체 이론의 발전으로 현재에는 임의의 n차원 다양체에 대한 논의가 가능해 졌으며, 더 나아가 주어진 다양체를 탐구하는 여러가지 방법에 대해 연구를 하는 학문이다.
개념이 어렵고 선수과목도 많아서 공부할 것이 많은데다가 계산까지 더럽기 때문에[1] 수학과와 수학교육과 학생들에게 가장 어려운 과목을 꼽아보라고 하면 위상수학, 현대대수학과 함께 자주 지목되는 과목이다. 미분방정식과 함께 학부 과목 중 계산이 가장 많은 과목이기도 하다.[2]
중등교원임용경쟁시험 수학에서는 열률, 비틀림률, 꼬임률과 관련된 곡선에서 하나, 법곡률이나 측지곡률, 가우스 곡률이나 가우스-보네 정리와 관련되어서 곡면에서 하나, 보통 두 문제가 나온다.
물리학에서는 일반 상대성 이론을 다룰 때 등장한다.
2. 교육
2.1. 학부
보통 모든 이공계생들이 1~2학년 즈음 배우는 다변수 미적분 수업의 스토크스 정리에서 아직까진 존재를 모른채 접하게되며, 수학과/수학교육과 학생들이 3학년 즈음에 본격적으로 배우기 시작한다. 우선 대체로 벡터장과 벡터 다발을 다룬 뒤 곡선, 곡면을 직교좌표계에서 순수 미적분 등으로 다루는 법을 보통 선수코스인 다변수 해석학[3]에서 배우고, 곡선, 곡면 등 임의의 미분다양체를 정의하기 위해 좌표계[4]를 다루는 법을 배운 뒤 좌표계 그 자체를 정의하며, 시간에 따른 벡터의 변화를 좌표계로 나타내는 법[5], 출발점이 다른 두 벡터의 합성[6] 같은 기초적인 개념부터 미적분과 선형대수[7] 등의 복잡한 계산을 필요로 하기 때문에 미적분학과 선형대수학 책을 옆에 두고 계속해서 연습해야 한다. 벡터미적분에서도 경험했듯 편미분방정식과도 자웅을 겨룰만큼 방대한 양의 계산이 필요한지라 위상수학, 현대대수학과는 다른 의미의 어려움을 느낄 수 있으며 추상수학에 익숙한 학생들이 특히 싫어하는 경우가 많다. 그렇다고 추상적인 개념이 미분기하 공부에선 안 필요하냐? 천만의 말씀. 진도를 조금만 빼더라도 해석학, 미분방정식은 물론 위상수학 관련 지식도 요구되는 순간이 온다. 간혹 사영평면, 아핀평면 같은 토픽을 학부 미분기하 시간에 다룰 수도 있는데, 이건 기하학의 시선에서 바라볼 수도 있지만 대수학의 시선에서 바라볼 수도 있는 주제라서 대수기하학의 곁다리를 맛보는 대수기하 체험판 수업이 될 수도 있다. 시험문제도 수학과 과목들 중에선 계산문제가 상당히 많이 출제되는 과목에 꼽힌다. 물론 계산만 있고 증명 문제는 없다는 건 아니다. 증명에도 계산 노가다가 필요하다.이렇게 사전 지식으로 요구되는 과목만 최소한 3개 이상이고 난이도 자체도 엄청 어려운지라, 배워야 할 학생은 물론 이 과목을 해석학과 선형대수나 겨우 처음 배운 3학년생들한테 가르쳐야 하는 교수들에게도 난감한 과목이다. 그러나 반대로 말하면, 워낙 중요한 과목이라서 학부 1~2학년 때부터 제대로 공부해야만 제대로 끝장을 볼 수 있는, 수학과 학부 교육과정의 꽃이다.
강의에서는 곡선이나 곡면의 국소적 성질(local property)과 대역적 성질(global property)을 다루는데, 국소적 성질은 다루는 대상의 어느 한 점의 주위에서 일어나는 현상[8], 대역적 성질은 다루는 대상의 점 전체에서 똑같이 나타나는 현상이다.
곡선론에서는 국소적으로는 프레네 틀을 이용한 곡선의 주요 불변량, 예를 들면 곡률과 꼬임률, 접평면, 곡선의 길이를 계산하는 법을 배운다[9]. 그 후 대역적인 성질로 등주부등식이나 tangent turning theorem 등을 기초적으로 다룬다.
곡면론에서는 국소적으로는 가우스 곡률 쪽 토픽을 다룬다[10]. 해당 점 근처에서 곡면이 어떻게 생겼는지 판정하기 위해 법곡률[11]과 주곡률[12]을 계산하는 법을 배운다. 이를 이용하여 점근선[13]과 곡률선[14] 같은 유용한 개념을 배운 뒤, 이를 구하는 데 쓰이는 미분방정식도 배운다[15].또한 R³ 공간 상에서 향[16]이 주어진 긴밀한[17] 곡면 위에 미분형식들에 대한 미분과 적분을 정의한다. 그리고 그에 대한 계산하는 법을 공부하고 이들을 이용하여 최종적으로는 학부 미분기하학의 목표 중 하나라고도 할 수 있는 가우스-보넷 정리를 배운다. 또한 경우에 따라서는 측지선[18]도 배운다. 이를 통해 곡면론에 대한 기초적인 아이디어를 학습하고 그 계산법과 주요 결과들을 학습한다.
이후 교수에 따라 대학원에서 학습할 걸 염두에 두고 기본적인 텐서 개념을 살짝 언급하기도 하지만, 기본적으로는 가우스 시대에 곡면을 바라보던 아이디어를 배운다고 할 수 있다. 그 개념들을 숙지했다면 기하적으로 [math({rm d}x)], [math({rm d}y)]와 같은 양들을 어떻게 벡터의 기저로 다룰 수 있는지에 대한 직관이 생기기 시작하면서, 면적소와 같은 미분 개념들을 이용한 공식을 이용하여 이전까지는 직관으로 받아들였던 기하학적인 대상을 어떻게 엄밀하게 다루는지 이해할 수 있다.
2.2. 대학원
수학과 대학원생들이 대개 석사 1년차에 미분다양체 수업으로 접하며, 이후 추가로 미분위상수학과 리대수, 호몰로지 대수 그리고 리만기하학에 대한 논의를 다루고 나면 본격적으로 전공에 입문할 수 있다.또한 물리학과에서도 이 즈음 이론입자를 전공하길 희망하는 학생들 한정으로 일반 상대성 이론, 고전역학에 쓰이는 심플렉틱 기하, 초끈이론 등에서 쏟아져 나오는 미분기하를 포함한 온갖 기하를 이해하기 위해 배우게 된다.
만약 전공으로서 뼈를 묻자하면 복소기하학, 사교기하학등의 순수 기하학과, 대역해석학(global analysis), 수리물리, 정보 이론(Information theory)등의 응용 기하학 등을 세부전공으로 다루게 된다. 분야에 따라 점점 파고들수록 기하위상, 대수기하 등 다른 분야의 손을 빌릴 때가 많기 때문에 그 쪽도 짬을 내서 배워야 한다.
3. 교재 목록
3.1. 학부
*Do Carmo - Differential Geometry of Curves and Surfaces
전세계적으로 가장 많이 쓰이는 학부 미분 기하학 교과서. 설명이 매우 직관적이고 실질적인 계산을 많이 다뤄서 미분기하를 처음에 접하는 학생들이 볼 때 좋은 책이며 정의도 매우 명확하게 제시한다. 부록에 해석학과 위상, 선형대수 내용도 소개하고 있다. 최대한 계산으로만 쉽게 접근한게 장점이자 단점으로 볼 수 있는데, 정확하게 설명해 놓은 리만 기하학이 후반부에 등장하고, 앞쪽에서 적극적으로 활용하지 않는다. 특히 몇몇 정리들의 경우 리만 기하학적인 관점에서 깔끔하게 접근하지 않고, 3차원의 구조만 이용해서 무식한 계산으로 증명한다.
최근 인지도 있는 학부 수학 전공서를 번역하고 있는 한빛아카데미에서 출간되었다.
- O' Neill - Elementary Differential Geometry
예전에 학부에서 꽤 쓰였던 교과서. 같이 열거된 두 책보단 추상적으로 접근하는 책인데 현재는 많은 오타 때문에 오해를 부르기 십상이라 사용빈도가 줄었다. 개정판을 냈으나 그마저도 온전치가 않아서 문제. 리만 기하학을 제대로 다루기 위해 나름대로 다양체의 내용을 써 놨지만 평균적으로 배울 때 짬에 비해 너무 추상적이라 접벡터를 제대로 다루는 방법이나 계산같은 걸 제대로 할 수가 없잖아..(...) 일단 제대로 공부하려면 미리 다변수해석학에 익숙해지거나 두 까르무나 미분기하를 잘하는 친구를 끼고 공부하던지 아니면 수업때 교수에게 적극적으로 질문 공세를 펼치는게 좋으며, 이렇게 말도 많고 탈도 많지만 어떻게든 넘기고 나면 후반부에서 빛을 발하는데, 제 1 기본형식을 이용해서 무식하게 증명할 걸 초기에 적절히 도입한 리만 기하학적인 개념들을 활용해서 주요 정리들을 깔끔하고 매끄럽게 해낸다. 특히 Gauss's theorema egregium, 가우스-보넷 정리, Poincare-hopf theorem의 증명은 아주 장관.
- Andrew Pressley - Elementary Differential Geometry
이것도 꽤 많이 쓰이는 학부 미분기하학 교과서중 하나. 특히 수학교육과에서 오닐을 대체하여 많이 본다. 이 책도 3차원 구조만 이용해서 많은 결과들을 계산으로 끌어내지만, 꽤나 많은 양을 커버하는 책이다. 책 설명자체가 매우 쉽고 정확한 편. 두 까르무와 마찬가지로 필요한 선형대수&해석학&위상의 내용을 넣어놨으며, 전체 연습문제들의 수준이 높으나 다행히 솔루션이 나와있다. 단점은 가독성에 초점을 맞추다보니 4차원 이상으로 쉽게 일반화되지 않는 계산법이나 개념들을 종종 동원하며, 이 점에 대해서 대놓고 저자가 초반에 주의를 준다. 마지막 챕터에서는 height function과 critical point를 이용한 오일러 지표 계산을 보여주는데, 이 접근은 추후 대학원 미분기하학에서 접하는 모스 이론를 이해하는데 좋은 배경과 동기를 준다.
위의 두책과는 달리 책 자체적으로 솔루션을 제공히고 있다.
이 외에도 Form을 쓰지 않는 선에서 미분기하를 설명한 책인 Millman and Parker의 Elements of differential geometry, 2차원이 아닌 임의의 n차원 초곡면에 대한 미분기하까지 설명해 놓은 Thorpe의 Elementary topics in differential geometry 등의 교재들도 있지만, 학부 교재로 가장 선호되는 교재는 위에서 언급된 3권의 교재들이다.
3.2. 대학원
3.2.1. 미분다양체
미분다양체 교재는 학부때의 3대장과는 달리, Main reference로 채택되는 책이 상당히 많다.- John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds.
초장에는 미분다양체 이론의 기초를 매우 친절하게 잘 설명해 주는 책이고, 후반부로 갈수록 미분다양체 이론이 어떤 분야에서 응용이 되는가를 설명하는 매우 좋은 저서이나 단점은 두께(728 page...)와 너무 루즈한 전개라고 볼 수 있다. 같은 저자의 Introduction to Topological Manifolds, Introduction to Riemannian Manifolds도 다양체를 공부하는 대학원생들이 많이 찾아보는 편인데 이 책들도 한 두께 한다.
- 김강태, 미분다양체론
한국어로 되어 있다는 사실 하나만으로 압도적인 위엄을 자랑한다. 국내에서 독학을 하고자 하는 사람이라면 찾게 될 책. 해당 저자는 포항공과대학교의 수학과 교수로 본 책 이외에 리만기하학, 복소기하학 등 기하학을 공부하려는 학생을 위한 기하학연구서 시리즈를 저술했다.[20]
3.2.2. 리만다양체
3.2.3. 그 외
- Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry
전작 calculus 시리즈로 유명한 마이클 스피박의 미분기하 장편 교재 시리즈. 미분다양체와 리만기하학등 대학원에서 다룰 수 있는 미분기하를 늘려 쓴 백과사전쯤 되는 책으로, 초반권들은 가끔씩 학부 수준에서 미분다양체를 설명할 때 쓰이기도 한다.
[1] ![파일:1-s2.0-S0315086014000299-gr004.jpg]()
미분기하학의 창시자인 베른하르트 리만부터 이런 생노가다를 했을 정도. 이러한 이유 때문에 이 과목을 부르는 별명 중 하나가 미친기하일 정도다.[2] 특히 곡선의 길이나 가우스 사상의 계산이 깔끔하게 떨어지지 않는 경우에는 머리가 어지러워진다. 위상수학과 현대대수학이 극한의 추상화로 학생들의 추상적인 사고력이나 논리력의 극한을 시험한다면 미분기하학과 편미분방정식은 직관적인 대상을 막대한 계산을 시키며 학생들을 단련시키는 과목이라 생각하면 된다.[3] 다변수해석학을 해석학입문 2학기 후반부에서 다루는 경우도 있고, 한 학기 분량으로 별도의 강의를 편성하여 배우는 경우도 있고, 아예 미분기하학 강의 시수의 일부를 할애하여 배우는 경우도 있다. 여러 미분기하학 교과서도 독자가 다변수해석학을 얼마나 배웠을지를 달리 상정하고 저술하기도 한다.[4] 가장 유명한 좌표계의 예를 들자면, 2차원에는 극좌표계, 3차원에는 원통 좌표계, 구면 좌표계가 있다.[5] 단순히 좌표성분의 변화뿐만이 아닌, 기저 벡터의 변화까지 고려해야한다. 예를 들어 외환 시장에서 미국 달러가 강세를 보이면(즉 1달러를 얻기 위해 전보다 더 많은 원화를 소모해야 한다면) Apple의 주식이 폭락하더라도 한국의 애플 주주는 플러스 수익률을 유지할 수 있으나 애플은 한국 시장에서 아이폰을 아무리 많이 팔아봤자 미화 기준 영업이익은 신통치 않을 수 있다.[6] 각 시점에서 기저 벡터의 방향을 확인해야 한다. 비유클리드 좌표계에서는 같은 벡터라도, 벡터의 출발점이 달라지면 표현 방식이 달라진다. 예를 들어, 같은 고기 1인분이더라도, 고기집마다 1인분에 해당되는 무게가 다르다. 그러므로 서로 다른 가게에서 고기를 1인분씩 산다면, 각각의 가게에서 1인분이 몇 그램인지 고려해서 계산해야 고기의 총 무게를 알 수 있다.[7] 학부 미분기하에서 다루는 선형대수는 대부분이 2변수인 경우이다. 행렬의 고유값을 써서 행렬을 대각화할 수 있어야 한다. 그리고 1차, 2차 형식에서는 이중 선형성에 대한 이해를 요구하므로 선형대수의 고급과정 공부도 소홀히 해서는 안된다.[8] 예를 들어서 타원점이라는 개념이 있는데, 곡면의 한 점에서 접평면을 잡을 때 점의 적당한 주변에서 곡면이 접평면의 아래, 위, 왼쪽, 오른쪽 중 한 방향에만 있는 경우이다. 극소점, 극대점 같은 경우가 이에 해당하는데, 일반적으로 모든 점이 극소점이나 극대점이지 않고 안장점, 변곡점이 존재하듯 곡면 전체의 성질이라고 보기는 어렵다.[9] 곡선을 표현하기 위해 매개변수를 어떻게 설정하여 계산하든지 곡률, 꼬임률 등은 결과값이 똑같이 나온다는 것으로, 이후 내용에서도 굉장히 중요한 논리이다. 계속 문제를 풀고 복습을 해 주면서 체화해야 한다.[10] Minimal Surface라는 개념은 정의만 하고 자세히는 다루지 않는데, 현재에도 연구가 활발히 진행되는 토픽이라 학부 수준에서 다룰 수 있는 개념은 별로 없다.[11] Normal Curvature. 해당 점에서의 접벡터를 법벡터에 사영시켰을 때 나오는 벡터의 크기.[12] Principal Curvature. 법곡률의 최대치와 최소치이다.[13] Asymptotic line. 곡면에서 정의된 곡선으로, 접벡터의 법곡률이 항상 0인 곡선이다. 즉, 접벡터와 법벡터가 항상 수직인 곡선인데, 해당 곡선에서의 접벡터는 항상 접평면에 들어가 있다고 보면 된다. 접평면을 다룰 때 굉장히 중요한 개념.[14] Line of curvature. 법곡률이 항상 해당 점에서의 주곡률이 되는 곡선으로, 기하학이나 응용 분야에서 굉장히 유용한 개념이다.[15] 이전까지는 그냥 미적분만 할 줄 알면 되었지만, 여기부터는 선형대수학이나 미분방정식도 잘 배워 놓아야 그나마 덜 괴롭다.[16] Orientation.[17] Compact.[18] Geodesic. 곡면상에서의 두 점 사이의 최소 거리를 나타내는 곡선으로, 곡면상의 점 사이의 거리인 셈.[19] 원문에도 아래와 같은 문장이 쓰여 있다.
Warning: Many authors write [math(-\tau(s))] instead of our [math(\tau(s))].
여기서 '많은 저자들'은 북반구 교과서를 쓴 사람들을 의미하는 것으로 보인다.[20] 김강태 교수의 시리즈를 출간한 교우사에서는 김강태 교수의 3권에 이어 고려대학교 양성덕 교수의 미분기하강의 3부작으로 기하학연구서 시리즈를 이어가는데, 난감하게도 양성덕 교수의 3부작 중 1권에 해당하는 전체 시리즈의 4편만 출간이 기약없이 늦어지는 중이다. 양성덕 교수의 고대신문 2023년 신년 칼럼에 의하면 1권 후반부의 쌍곡기하학 파트를 저술하면서 어려움이 많은 모양.
미분기하학의 창시자인 베른하르트 리만부터 이런 생노가다를 했을 정도. 이러한 이유 때문에 이 과목을 부르는 별명 중 하나가 미친기하일 정도다.[2] 특히 곡선의 길이나 가우스 사상의 계산이 깔끔하게 떨어지지 않는 경우에는 머리가 어지러워진다. 위상수학과 현대대수학이 극한의 추상화로 학생들의 추상적인 사고력이나 논리력의 극한을 시험한다면 미분기하학과 편미분방정식은 직관적인 대상을 막대한 계산을 시키며 학생들을 단련시키는 과목이라 생각하면 된다.[3] 다변수해석학을 해석학입문 2학기 후반부에서 다루는 경우도 있고, 한 학기 분량으로 별도의 강의를 편성하여 배우는 경우도 있고, 아예 미분기하학 강의 시수의 일부를 할애하여 배우는 경우도 있다. 여러 미분기하학 교과서도 독자가 다변수해석학을 얼마나 배웠을지를 달리 상정하고 저술하기도 한다.[4] 가장 유명한 좌표계의 예를 들자면, 2차원에는 극좌표계, 3차원에는 원통 좌표계, 구면 좌표계가 있다.[5] 단순히 좌표성분의 변화뿐만이 아닌, 기저 벡터의 변화까지 고려해야한다. 예를 들어 외환 시장에서 미국 달러가 강세를 보이면(즉 1달러를 얻기 위해 전보다 더 많은 원화를 소모해야 한다면) Apple의 주식이 폭락하더라도 한국의 애플 주주는 플러스 수익률을 유지할 수 있으나 애플은 한국 시장에서 아이폰을 아무리 많이 팔아봤자 미화 기준 영업이익은 신통치 않을 수 있다.[6] 각 시점에서 기저 벡터의 방향을 확인해야 한다. 비유클리드 좌표계에서는 같은 벡터라도, 벡터의 출발점이 달라지면 표현 방식이 달라진다. 예를 들어, 같은 고기 1인분이더라도, 고기집마다 1인분에 해당되는 무게가 다르다. 그러므로 서로 다른 가게에서 고기를 1인분씩 산다면, 각각의 가게에서 1인분이 몇 그램인지 고려해서 계산해야 고기의 총 무게를 알 수 있다.[7] 학부 미분기하에서 다루는 선형대수는 대부분이 2변수인 경우이다. 행렬의 고유값을 써서 행렬을 대각화할 수 있어야 한다. 그리고 1차, 2차 형식에서는 이중 선형성에 대한 이해를 요구하므로 선형대수의 고급과정 공부도 소홀히 해서는 안된다.[8] 예를 들어서 타원점이라는 개념이 있는데, 곡면의 한 점에서 접평면을 잡을 때 점의 적당한 주변에서 곡면이 접평면의 아래, 위, 왼쪽, 오른쪽 중 한 방향에만 있는 경우이다. 극소점, 극대점 같은 경우가 이에 해당하는데, 일반적으로 모든 점이 극소점이나 극대점이지 않고 안장점, 변곡점이 존재하듯 곡면 전체의 성질이라고 보기는 어렵다.[9] 곡선을 표현하기 위해 매개변수를 어떻게 설정하여 계산하든지 곡률, 꼬임률 등은 결과값이 똑같이 나온다는 것으로, 이후 내용에서도 굉장히 중요한 논리이다. 계속 문제를 풀고 복습을 해 주면서 체화해야 한다.[10] Minimal Surface라는 개념은 정의만 하고 자세히는 다루지 않는데, 현재에도 연구가 활발히 진행되는 토픽이라 학부 수준에서 다룰 수 있는 개념은 별로 없다.[11] Normal Curvature. 해당 점에서의 접벡터를 법벡터에 사영시켰을 때 나오는 벡터의 크기.[12] Principal Curvature. 법곡률의 최대치와 최소치이다.[13] Asymptotic line. 곡면에서 정의된 곡선으로, 접벡터의 법곡률이 항상 0인 곡선이다. 즉, 접벡터와 법벡터가 항상 수직인 곡선인데, 해당 곡선에서의 접벡터는 항상 접평면에 들어가 있다고 보면 된다. 접평면을 다룰 때 굉장히 중요한 개념.[14] Line of curvature. 법곡률이 항상 해당 점에서의 주곡률이 되는 곡선으로, 기하학이나 응용 분야에서 굉장히 유용한 개념이다.[15] 이전까지는 그냥 미적분만 할 줄 알면 되었지만, 여기부터는 선형대수학이나 미분방정식도 잘 배워 놓아야 그나마 덜 괴롭다.[16] Orientation.[17] Compact.[18] Geodesic. 곡면상에서의 두 점 사이의 최소 거리를 나타내는 곡선으로, 곡면상의 점 사이의 거리인 셈.[19] 원문에도 아래와 같은 문장이 쓰여 있다.
Warning: Many authors write [math(-\tau(s))] instead of our [math(\tau(s))].
여기서 '많은 저자들'은 북반구 교과서를 쓴 사람들을 의미하는 것으로 보인다.[20] 김강태 교수의 시리즈를 출간한 교우사에서는 김강태 교수의 3권에 이어 고려대학교 양성덕 교수의 미분기하강의 3부작으로 기하학연구서 시리즈를 이어가는데, 난감하게도 양성덕 교수의 3부작 중 1권에 해당하는 전체 시리즈의 4편만 출간이 기약없이 늦어지는 중이다. 양성덕 교수의 고대신문 2023년 신년 칼럼에 의하면 1권 후반부의 쌍곡기하학 파트를 저술하면서 어려움이 많은 모양.