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1. 개요
system of quadratic equations · 聯立二次方程式연립방정식에 이차식이 포함된 방정식 혹은 여러 개의 이차방정식이 연립된 방정식.
여기서는 이원 연립이차방정식만 다뤘다.
2. 형태
[math(x)], [math(y)]에 대한 이차식 또는 일차식 [math(f(x,\,y))], [math(g(x,\,y))]를 고려하자. 이때, 연립이차방정식은 다음과 같은 형태를 띈다.[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} f(x,\,y)&=p \\ g(x,\,y)&=q \end{aligned} \\
\end{cases} )]
다음은 두 가지 형태의 예이다.
- 이차식과 일차식이 혼용된 연립이차방정식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} x^2-xy+y^2&=5 \\ x+y&=2 \end{aligned} \\
\end{cases} )]}}}
- 이차식만으로 구성된 연립이차방정식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} x^2-xy+y^2&=5 \\ 2x^2+3xy+y^2&=3 \end{aligned} \\
\end{cases} )]}}}
위 형태는 모두 이차형식(quadratic form)의 영점을 기술하는 식이 되므로, 최종적으로는 아래와 같은 꼴로 일반화할 수 있다. [math(\ast)]는 수반 연산자를 뜻한다.
[math({{\bf x}^{\ast} \boldsymbol{\mathsf{A}} {\bf x}} + {{\bf b}^{\ast} {\bf x} }+{\bf c} = {\bf 0} \quad ({\boldsymbol{\mathsf{A}}^{\ast}} {\boldsymbol{\mathsf{A}} } \neq 0))]
3. 해법
- 이차식과 일차식이 혼용된 연립이차방정식
- 일차식 부분에 대하여 한 문자에 대하여 정리한다.
- 그것을 이차식에 대입한 뒤 이차방정식을 풀고, 다른 미지수에 대한 해를 찾는다.
- 이차식만으로 구성된 연립이차방정식
- 인수분해가 되는 이차식이 하나라도 있으면 그걸 인수분해해서 이차식과 일차식 꼴로 바꾸어 푼다.
- 인수분해가 되는 게 없으면 두 식에 적당한 수를 곱하거나 나누어서 서로 더했을 때 서로 다른 문자로 구성된 이차항이 소거되는지 확인한다. 만약 가능하다면 위 1번의 인수분해가 되는 꼴로 바뀐다.
- 그래도 안 되면 상수항을 적당히 소거할 수 있는지 확인한다. 만약 가능하다면 위 1번의 인수분해가 되는 꼴로 바뀐다.
- 그래도 안 되면 근의 공식을 사용한다.
- 일반적인 해법