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| ▲ 중심이 [math(\bf O)]이고, 반지름이 [math(\boldsymbol{r})]인 구 |
1. 개요
구(sphere, 球)는 거리가 같은 점들의 집합을 나타내는 입체도형이다. 유클리드 공간에서 원[1], 구[2], [math(n)]-sphere[3]와 같은 이름으로 불리기도 한다.2. 상세
2.1. 구의 특징
- 구의 중심으로부터 점까지의 거리를 반지름이라 한다.
- 점들 사이의 거리의 상한을 지름(직경)이라 한다.
- 연결합(connect sum)의 항등원이다. 즉 (임의의 다양체) # 구 = (임의의 다양체)이다.[4]
유클리드 기하에서 다음이 성립함이 알려져 있다:
- 지름은 반지름의 2배이다.
- 구는 한 축을 회전축으로 하여 반원을 1회전하여 얻을 수 있는 회전체이다.
- 구는 어떤 평면으로 잘라도 그 단면이 원이다.
- 단면 중 가장 큰 원(구의 반지름을 갖는 단면)을 그 구의 대원(Great circle)이라고 한다. 대원은 구 표면에서 최단거리이다.
- 내부에서의 입체각은 [math(4\pi)]이다.
- 곡률은 구 위의 모든 점에 대해서 [math(r^{-2})]이다(전개도가 아예 존재하지 않는다).
2.2. 구의 방정식
3차원 직교 좌표계에서 중심이 [math(\mathrm{O}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]이고 반지름의 길이가 [math(r)]인 구를 생각해보자. 구 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}=(x,\,y,\,z))]라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}_{0}=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 [math(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})]를 고려할 때, 다음 식은 구를 기술하는 벡터 방정식이 된다.[math(\displaystyle |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|=r )]
양변을 제곱하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|^{2}&=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \\&=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\\ &=r^{2} \end{aligned} )]
이 되므로 구를 기술하는 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2} )]
이때, 이와 같은 꼴을 구의 방정식의 표준형이라 하며, 표준형을 전개하여 정리한 방정식은
[math(\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0 )]
꼴로 나타나고 이를 구의 방정식의 일반형이라 한다.
구의 방정식의 일반형은 아래와 같이 표준형으로 정리될 수 있다.
[math(\displaystyle \left( x-\frac{A}{2} \right)^{2}+\left( y-\frac{B}{2} \right)^{2}+\left( z-\frac{C}{2} \right)^{2}=\left[ \frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}}{2} \right]^{2} )]
즉, 중심이 [math((A/2,\,B/2,\,C/2))]이고 반지름 [math(\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}/2)]인 구의 방정식임을 알 수 있다.
2.2.1. 양함수 형태
위에서 도출된 구의 방정식은 음함수 형태이므로 이것을 양함수 [math(z=f(x,\,y))]의 형태로 다시 쓰면 아래와 같다.[math(\displaystyle f(x,\,y)=\pm \sqrt{r^2-[(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2]}+z_{0} )]
이것은 구가 하나의 양함수로 표현되지 못하고, 두 개의 양함수로 표현됨을 알 수 있다.
부호가 양인 것은 평면 [math(z=z_{0})]를 기준으로 [math( z_{0} \leq z \leq z_{0}+r)]의 영역에 나타나는 상반구(아래의 그림에서 적색 영역), 부호가 음인 것은 동일한 평면을 기준으로 [math(z_{0}-r\leq z < z_{0})]에 나타내는 하반구(아래의 그림에서 청색 영역)이다.
원의 방정식과 마찬가지로 [math(f(x,\,y,\,z) = (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-r^{2})] 꼴로 바꿀 수 있으며, 이 함수가 그리는 그래프는 높이가 무한대이고 밑면이 구인 구 초기둥(Spherinder)이다.
2.2.2. 구의 방정식의 다른 표현
2.2.2.1. 매개변수 방정식
3차원 직교 좌표계에서 두 매개변수 [math(0 \leq \theta \leq \pi)], [math(0 \leq \phi \leq 2\pi)]에 대하여, 중심이 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]에 위치하고 반지름이 [math(r)]인 구의 방정식을 아래와 같이 매개변수로 표현할 수 있다.[math(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
x&=r\sin{\theta}\cos{\phi}+x_{0}\\
y&=r\sin{\theta}\sin{\phi}+y_{0}\\
z&=r \cos{\theta}+z_{0}
\end{aligned}
\end{matrix}\right. )]
2.2.2.2. 구면 좌표계에서의 방정식
3차원 구면 좌표계에서 원점에 중심이 위치하고 반지름이 [math(r_{0})]인 구의 방정식은[math(\displaystyle r=r_{0} )]
로 나타낼 수 있다.
2.3. 구의 겉넓이와 부피
2.3.1. 겉넓이
모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로, 반지름이 [math(r)]이고 중심이 원점인 구의 겉넓이를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 겉넓이를 구한 것이다.해당 겉넓이는 구면 좌표계의 적분을 사용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \int_0^{2\pi} \!\int_0^{\pi} r^2 \sin{\theta} \,{\rm d}\theta \,{\rm d}\phi = 4\pi r^2 )]
위의 공식을 통해 구의 겉넓이는 가운데 단면 원의 넓이의 4배임을 알 수 있다.
2.3.2. 부피
모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로, 반지름이 [math(r)]이고 중심이 원점인 구의 부피를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 부피를 구한 것이다.해당 부피는 구면 좌표계의 적분을 사용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \int_0^{2\pi} \!\int_0^\pi \!\int_0^r \rho^2 \sin{\theta} \,{\rm d}\rho \,{\rm d}\theta \,{\rm d}\phi = \frac43 \pi r^3 )]
역사적으로는 아르키메데스가 구의 부피가 지름과 높이가 동일한 원기둥의 부피의 [math(2/3)]임을 구분구적법을 통해 밝혀냈다.
[math(\dfrac23 ( 2r \cdot \pi r^2 ) =\dfrac{4}{3}\pi r^{3} )]
한편 직경 [math(D)]는 반지름의 2배(또는 반지름은 직경의 절반)이므로
[math(r = \dfrac{D}{2} )]
이고
[math(\begin{aligned} \dfrac{4}{3}\pi r^{3} &= \dfrac{4}{3}\pi \left( \dfrac{D}{2} \right)^{3} \\&= \dfrac{\pi }{6} D^3 \end{aligned})]
2.3.3. 겉넓이와 부피의 관계
구의 겉넓이는 구의 부피의 도함수이며, 구의 부피는 구의 겉넓이의 역도함수에 대응된다. 이는 모든 초구에 해당하는 성질이다.2.4. 구와 도형
2.4.1. 구와 접선
구의 외부에서 그은 구의 접선과 반지름은 직교한다. 원의 접선과 원의 중심을 모두 포함하는 한 평면을 생각했을 때 해당 평면과 구의 교선은 원이고, 원 위의 접선은 반지름과 항상 직교함을 원(도형) 문서에서 증명한 바 있으므로 그것을 생각하면 직교할 수밖에 없다는 결론을 얻는다.이상의 결과를 이용하면, 중심이 [math(\mathrm{C})]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 구 외부의 한 점 [math(\mathrm{P})]에서 접선을 그었을 때, 접선과 구의 교점이 [math(\mathrm{Q})]일 때, 삼각형 [math(\mathrm{PQC})]는 직각 삼각형이므로 구의 접선의 길이 [math(\overline{\mathrm{PQ}})]는 다음과 같이 주어짐을 쉽게 알 수 있다.
[math(\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=({\overline{\mathrm{PC} }}^{2}-r^2)^{1/2} )]
또한 점 [math(\mathrm{Q})]는 구 위의 원을 그린다. [math(\mathrm{PQC})]이 직각 삼각형이기만 하면 되기 때문에 [math(\mathrm{Q})]는 하나로 정해지지 않기 때문이다. 아래의 그림을 참조하자.
(a)는 3차원 상에서 점 [math(\mathrm{P})]에서 구 표면 위에 접선을 그었을 때 생기는 점 [math(\mathrm{Q})]의 자취를, (b)는 (a)를 2차원 상에 보기 좋게 표현한 것이다.
2.4.2. 접평면의 방정식
접평면이란, 곡면에 접하는 평면을 구하는 것이다. 2차원에서 곡선에 접하는 접선을 구한 것의 3차원 버전인 셈이다.델(연산자) 문서로 부터 [math(w=f(x,\,y,\,z))]의 4차원 함수의 등위곡면 [math(k=f(x,\,y,\,z))]의 표면에 수직한 벡터는 [math(f)]의 그레이디언트임을 논의했다. 이 결과를 사용하자.
공간좌표 상 모든 구는 평행이동을 통하여 원점을 중심으로 갖는 구로 이동시킬 수 있다. 즉, 이 경우에 한해서 구하면 임의의 중심을 갖는 구에 대해서는 평행이동을 통하여 구할 수 있다.
좌표공간 상 중심이 원점이고, 반지름이 [math(r)]인 구를 고려하자. 이 구 위의 한 점 [math((x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))]위의 접평면의 법선벡터는 [math(f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2=r^{2})]로 놓음으로써
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}f(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})=(2x_{1},\,2y_{1},\,2z_{1}) )]
이상에서 이 법선 벡터를 가지고 점 [math((x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))]을 지나는 평면의 방정식이 곧 접평면이 되므로
[math(\displaystyle x_{1}(x-x_{1})+y_{1}(y-y_{1})+z_{1}(z-z_{1})=0 )]
이것을 정리하면,
[math(\displaystyle x_{1}x+y_{1}y+z_{1}z=r^{2} )]
따라서 구의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]이고, 이때, 점 [math((x_{1},\,y_{1},\,z_{1}) \to (x_{2},\,y_{2},\,z_{2}))] 위의 접평면의 방정식을 구한다면,
[math(\displaystyle (x_{2}-x_{0})(x-x_{0})+(y_{2}-y_{0})(y-y_{0})+(z_{2}-z_{0})(z-z_{0})=r^{2} )]
으로 쓸 수 있다.
2.4.3. 구와 구
2.4.3.1. 두 구의 위치 관계
좌표공간 상 중심이 각각 [math(\mathrm{O})], [math(\mathrm{O'})]이고, 반지름의 길이가 각각 [math(r)], [math(r')]([math(r \geq r')])인 두 구를 생각하자. 이때, 두 구의 중심 사이의 거리 [math(\overline{\mathrm{OO'}} \equiv d)]라 놓을 때, 다음이 성립한다.- 한 구가 다른 구의 외부에 있는 경우: [math(d >r+r')]
파일:구_위치관계_1.png
- 외접하는 경우: [math(d=r+r')]
파일:구_위치관계_2.png
- 교선이 원이 되게 만나는 경우: [math(r-r'<d<r+r')]
- 내접하는 경우: [math(d=r-r')]
파일:구_위치관계_4.png
- 한 구가 다른 구의 내부에 있는 경우: [math(0<d<r-r')]
파일:구_위치관계_5.png
- 두 구가 중심이 같은 경우: [math(0=d)]
- 두 구의 대원이 일치하는 경우: [math(0 = d=r-r' \Leftrightarrow {\rm O \cong O'})]
2.4.3.2. 두 구의 교선을 지나는 구의 방정식
좌표평면 위에서 두 구 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0)]과 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0)]을 고려해보자. 이 두 구의 교점을 [math((\alpha,\,\beta,\,\gamma))]라 놓으면, 교점에서[math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D&=0 \\ \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D'&=0 \end{aligned} )]
이 성립한다. 다음과 같은 도형
[math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 \quad )] (단, [math(k \neq 1)])
을 고려해보도록 하자. 이 도형은 이차항의 계수가 모두 같으므로 공간좌표 상 구를 기술한다고 볼 수 있다. 이 도형에 두 구의 교점을 대입하면,
[math(\displaystyle (\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D)+k(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D')=0 )]
이고, 이는 임의의 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 성립한다. 즉, 위 도형은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 구의 교점을 지남을 알 수 있다.
참고로 [math(k=-1)]일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 평면이 되므로 이를 제외해야 한다.[5]
2.4.3.3. 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식
교선 위의 모든 점은 두 구의 공통적인 점의 집합이므로 결국[math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]
가 두 구 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0)], [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0)]의 교점을 지나는 도형을 나타내는 방정식임을 상기하면서 [math(k=-1)]을 택하면 이차항은 모두 상쇄되어 평면의 방정식이 됨에 따라
[math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]
이 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식임을 알 수 있다. 이것을 정리하면 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle (A-A')x+(B-B')y+(C-C')z+(D-D')=0 )]
3. 확장
- [math(n text{-})]초구는 [math(n+1)]차원 유클리드 공간에서 한 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 정점들로 이루어져 있는 [math(n)]차원의 곡면이다. [math(n=2)]일 때를 특별히 "구"로 부른다.
- 차원을 헷갈리기 쉽다. 예를 들어, 3차원 공간 안에 있는 구, 다시 말해 2-구는 미지수가 세 개인 식으로 표현할 수 있다. 하지만 실제로 매개변수화를 시키면 두 개의 각을 매개변수로 하는 좌표계로 옮길 수 있음을 알 수 있다. 따라서 보다 쉽게, 2-구의 차원은 3차원이 아니라 2차원임을 알 수 있다. 이를 일반화해서, [math(n \text{-})]구의 매개변수화에서는 [math(n)]개의 매개변수가 존재하므로 차원은 [math(n)]이 된다.
- [math(n \text{-})]구의 겉넓이와 구의 부피는 아래와 같다.(단, [math(\Gamma(x))]는 감마함수이다.)
- 겉넓이: [math(\displaystyle \frac{2{\pi}^{{(n+1)}/{2}} }{\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n} )]
- 부피: [math(\displaystyle \frac{{\pi}^{(n+1)/2 }}{\dfrac{n+1}{2}\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n+1} )]
4. 기타
- 대한민국 교육과정 상 초등학교, 중학교, 고등학교에서 고루 등장하나 초중등 과정에서는 거의 부피, 겉넓이, 모양 자체에 집중하는 편이고, 고등 과정에서 기하와 벡터 교과목을 통해 해석 기하학적으로 구를 접근한다.
- 위상수학에서는 다면체와 원기둥, 원뿔을 '''구와 똑같은 것(homeomorphism)으로 취급한다. 위상수학에서는 거리라는 것이 없다고 보기 때문에 결론적으로 구와 차이가 없어진다.[6]
- 일상생활 속 흔히 볼 수 있는 도형이다. 가장 쉬운 예로 축구공이나 농구공 등 각종 구기 종목들의 공의 모양은 구인 경우가 많다. 애초에 球(구) 라는 한자가 공이라는 뜻이다.
- 구와 관련된 기묘한 정리로 바나흐-타르스키 역설이 있다. 말하자면 구 하나를 유한 개의 조각으로 쪼개어 두 개의 구로 만들 수 있으며, 이 과정에서 생기는 조각들 중 부피를 구할 수 없는 조각이 있다는 정리이다. 스메일의 역설이라는 역설도 있는데, 구를 찢지 않고 뒤집을 수 있다는 정리이다.
- 원을 경계삼은 꽉 찬 도형을 '원판(disc)'이라고 하는 것처럼, 구를 경계로 삼은 꽉 찬 도형은 '공(ball)'이라고 부른다.
- 물리학에서는 구형 동물을 언급하는 농담이 있다. 보통 가축으로 흔히 볼 수 있는 닭이나 소가 이 농담의 주인공이다. 농담의 요는 현실에서는 동물들이 복잡한 모양을 지니고 그 재질도 다양하고 계속 움직이고 성장, 노화하는 등 변수가 매우 많지만 이론 속 물리학의 세계에서는 그런 복잡한 것은 다 치우고 가장 간단한 도형인 구로 가정한 이후 이론을 만든다는 것. 여기서 더 나아가 이상기체 속이나 진공 상태에서만 적용된다던가, 아니면 강체나 흑체 소라던가, 부피가 0인 소에만 적용된다던가 하는 농담이 있다.(A farmer has some chickens who don't lay any eggs. The farmer calls a physicist to help. The physicist does some calculation and says "I have a solution but it only works for spherical chickens in a vacuum!)
- 현재까지 인류가 발견한 가장 완벽한 형태에 가까운 구는 전자이다 .