위상수학자의 사인곡선

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1. 개요2. 정의3. 개형4. 성질5. 의의

1. 개요

topologist's sine curve

위상수학자의 사인곡선이란 2차원 공간 [math(\mathbb R^2)] 위에 정의된 특수한 집합으로, 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아닌 대표적인 예시이다.

베이스 드럼의 소리 파형이 이것과 비슷하게 생겼다.

2. 정의

함수 [math(f: \mathbb R - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb R)]를

[math(f(x) = \sin \dfrac 1x)]

라고 정의하자. 이 때 [math(f)]의 그래프 [math(T \subset \mathbb R^2)]은 다음과 같다.

[math(T = \left\{ (x, f(x)) \in \mathbb R^2 | x \in (0, 1] \right\} = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \in \mathbb R^2 \ \bigg| \ x \in (0, 1] \right\})]

여기서 [math(T \subset \mathbb R^2)]의 폐포

[math(\overline T = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \bigg| \ x \in (0, 1] \right\} \bigcup \left\{ (0, y) \ | \ y \in [-1, 1] \right\} \subset \mathbb R^2)]

을 위상수학자의 사인 곡선이라고 부른다.

3. 개형

▲ 위상수학자의 사인 곡선의 개형. Wolfram Alpha

[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\sin \theta = 0 & \Leftrightarrow \theta = n \pi, & \textsf{for some }n \in \mathbb Z \\ \sin \theta = 1 & \Leftrightarrow \theta = \left(2n + \dfrac 12 \right) \pi, & \textsf{for some }n \in \mathbb Z \\ \sin \theta = -1 & \Leftrightarrow \theta = \left(2n + \dfrac 32 \right) \pi, & \textsf{for some }n \in \mathbb Z
\end{aligned} \end{cases} )]

이므로, [math(\overline T)]는 [math(\left( \dfrac 1{n \pi}, 0 \right))], [math(\left( \dfrac 1{\left(2n + 1/2 \right) \pi}, 1 \right))], [math(\left( \dfrac 1{\left(2n + 3/2 \right) \pi}, -1 \right))]([math(n \in \mathbb N)])와 같은 점을 모두 포함한다. 이때 [math(n)]이 [math(1)] 증가할 때마다, 사인 곡선 한 주기를 지나게 되므로 우리의 [math(\overline T)]는 [math(0)]으로 다가갈수록 주기가 짧아진다. 또 임의의 실수 [math(\gamma \in [-1, 1])]에 대하여 [math(\sin \phi = \gamma )]인 [math(\phi \in [0, 2 \pi])]가 존재하므로, 다음과 같은 [math(T)]의 부분집합을 생각할 수 있다.

[math(T_\gamma = \left\{ \left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right) \bigg| \ n \in \mathbb N \right\})]

[math(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac 1{2n \pi + \phi} = 0)]이므로, [math(T_\gamma )]의 폐포는 [math(\overline {T_\gamma } = T_\gamma \ \cup \ \left\{ (0, \gamma ) \right\})]이다. 따라서 [math(\lim \limits_{x \to 0+} f(x))]는 존재하지 않는다.

4. 성질

[보조정리 1]

[math(\overline T)]는 연결 공간이다.

[ 증명 ]: 우선, [math(T)]가 경로 연결 공간임을 보이자. [math(T)] 위의 임의의 두 점이 [math(\left( x, \sin \dfrac 1x \right))], [math(\left( y, \sin \dfrac 1y \right))]일 때, 경로 [math(f: I = [0, 1] \to T)]를

[math(f(t) := \left( x + t(y - x), \sin \dfrac 1{x + t(y - x)} \right))]

로 놓으면 [math(f)]가 두 점 사이의 경로를 준다.
이제 곡선 [math(T)]가 경로 연결 공간이므로, [math(T)]는 자연스럽게 연결 공간이 된다.[1] 연결 공간의 폐포도 연결 공간이므로, [math(\overline T)]는 연결 공간이다.

[보조정리 2]

[math(\overline T)]는 경로 연결 공간이 아니다.

[ 증명 ]: 결론을 부정하여 [math(\overline T)]가 경로 연결 공간이라고 하자. 그러면, [math(\overline T)]의 점 [math(f(0) = (0, 1))]과 [math(f(1) = (1, \sin 1))]을 잇는 경로 [math(f: I = [0, 1] \to \overline T)]가 존재한다. 경로 [math(f)]는 2차원 공간 [math(\mathbb R^2)]를 공역으로 갖는 연속함수이므로, [math(x)]축 및 [math(y)]축에 해당하는 성분함수 [math(f_1: I = [0, 1] \to \mathbb R)]와 [math(f_2: I = [0, 1] \to \mathbb R)]도 연속함수이다.

이제 [math(\overline T)]의 닫힌 부분집합 [math(\left\{ 0 \right\} \times I \subset \overline T)]를 생각하면, 역상 [math(f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I))]도 [math(I)]의 닫힌 부분집합 이어야 한다. 한편 실수의 유계이면서 닫힌 부분집합은 최댓값을 가지므로, [math(\alpha = \sup f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I))]라 놓을 때 [math(f(\alpha ) = (0, \beta ) \in \left\{ 0 \right\} \times I)]이다.

다음으로 [math(\gamma \in I - \left\{ \beta \right\})]인 [math(\gamma)]를 고르고, [math(\sin \phi = \gamma )]인 [math(\phi \in [0, 2 \pi])]를 택하자. [math(\alpha < 1)]이므로, [math(\alpha < \alpha' < 1)]인 [math(\alpha')]를 아무거나 고르자. [math(\alpha' > \alpha)]이므로 [math(f_1(\alpha') > 0)]이다. 따라서 중간값 정리에 의해 [math(f_1([\alpha, \alpha']))]은 [math(\left[ 0, f_1(\alpha') \right])]의 모든 값을 가지며, 이 중에는 특별히 [math(\dfrac 1{2n \pi + \phi})]와 같은 수들이 무수히 많이 존재한다.

따라서, [math(f([\alpha, \alpha']))]는 무수히 많은 [math(\left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right))]를 가진다. 이 집합의 극한점은 [math((0, \gamma))]인데, 구간 [math([\alpha, \alpha'])]가 닫힌 집합이므로 [math((0, \gamma) \in f([\alpha, \alpha']))]이다. 그런데 [math([\alpha, \alpha'])]의 점 중에서 [math(\alpha)]를 제외한 점들은 전부 [math(x)]좌표가 양수이므로 [math((0, \gamma))]가 될 수 있는 것은 [math(\alpha)] 뿐이다. 그러나, [math(f(\alpha ) = (0, \beta ) \neq (0, \gamma))] 이므로 모순을 얻는다.

종합하면 귀류법의 가정이 잘못되었으며, [math(\overline T)]는 경로 연결 공간이 아니라는 결론을 얻는다.

5. 의의

이 집합의 존재로 인해, 연결 공간과 경로 연결 공간은 같은 개념이 아님을 알 수 있다.

추가로 모든 경로 연결 공간이 국소 경로 연결(locally path connected)[2]이지는 않다는 것을 보일 때에도 이 곡선이 사용된다. 다만 약간 변형된 버전이 사용된다. 위 곡선에서 오른쪽의 사인곡선을 적당한 중간에서 자른 다음, 자른 지점으로부터 빙 돌아 반대쪽 수직 선분 위의 아무 점을 잇는 곡선을 하나 그리자. 이 추가로 빙 돈 경로 덕분에 이제 전체 곡선은 경로 연결 공간이 되었지만, 국소 경로 연결은 아니다.[3]

[1] 이는 단위 구간 [math(I = [0, 1])]이 연결 공간이므로 성립한다.[2] 임의의 점 [math(p)]와 [math(p)]의 임의의 열린 근방(open neighborhood)에 대하여 그 근방에 포함되는 경로 연결인 [math(p)]의 열린 근방이 존재하면, 그리고 그럴 때에만 해당 공간을 국소 경로 연결이라고 부른다. 동치인 조건으로는 그 공간의 모든 경로 연결 성분이 열린 집합인 것이다.[3] 사인곡선의 적당한 부분을 지워서 (심지어 점 하나만 지워서) 얻은 열린 집합은 원래 위상수학자의 사인곡선과 별반 다를 게 없는, 따라서 경로 연결이 아닌 열린 집합이게 된다.

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