1. 개요
雙曲抛物面 / hyperbolic paraboloid위의 그림과 같이 방정식이 [math(\dfrac zc=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2})] 꼴로 표현되는 이차곡면을 말한다. 곡면을 수평으로 자르면 교선이 쌍곡선으로 나오고, 곡면을 수직으로 자르면 교선이 포물선으로 나온다고 해서 쌍곡포물면이라는 이름이 붙었다. 얼핏 보면 말 안장[1]이나 프링글스 감자칩과 비슷하게 생겼다. 그래서 외국에서는 일찌감치 아래와 같이 프링글스 칩과 관련된 밈이 등장했다.
여느 이차곡면이 그렇듯이, 이 도형도 어떤 평면에 평행한 평면들로 잘랐을 때의 모든 교선들을 쌓아 올려서 그리는 형태이다. 주어진 쌍곡포물면과 평면 [math(z=k)] ([math(k)]는 상수)의 교선을 살펴보자. [math(z=k)]이면 [math(x^2-y^2=k)]인데, [math(k=0)]이면 [math(x^2-y^2=0)]에서 [math(y=\pm x)]이라는 쌍곡선의 두 점근선이 나오고, [math(k=1)]이면 [math(x^2-y^2=1)]이므로 주축이 [math(x)]축과 평행한 쌍곡선이며 [math(k=-1)]이면 [math(x^2-y^2=-1)]이므로 주축이 [math(y)]축과 평행한 쌍곡선이다. 따라서 [math(k)]의 절댓값이 커질수록 쌍곡선의 주축의 길이가 증가해 그래프가 축 방향으로 넓게 퍼지는 형태가 되는데, [math(k)]가 양수인 상태에서 계속 커지면 그래프가 [math(x)]축 방향으로 넓게 퍼지며, [math(k)]가 음수인 상태에서 계속 작아지면 그래프가 [math(y)]축 방향으로 넓게 퍼진다. 따라서 [math(k)]값에 따라 쌍곡선을 [math(z)]축 방향으로 쌓아올린다고 하면 위와 같은 쌍곡포물면 그래프가 완성된다.물론 저 그래프는 [math(x)], [math(y)]에 각각 [math(0)]을 대입했을 때 [math(z)]도 [math(0)]이 나오므로 원점을 지난다.
비유클리드 기하학 가운데 쌍곡 기하학은 이 쌍곡포물면 위에서 이루어지는 기하학적 공리를 연구하는 학문이다.