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1. 개요
실해석학(實解析學, Real Analysis)은 해석학의 하위 학문으로, 실수와 이를 집합으로 갖는 함수의 구조를 연구하는 학문이다.2. 설명
한국에서 교과목으로 실해석학이라고 하면 보통 해석학 개론을 이수한 후에 배우는, 측도론/함수공간 등을 다루는 후수과목을 의미한다.집합에서 구간의 길이를 따지는 것을 측도론(measure theory)이라고 한다. 예컨대 일반적인 구간의 측도는 양 끝 점의 차이로 구할 수 있다. 단일 실수의 길이는 0이다. 이것은 측도의 정의를 사용해서 증명할 수 있다. 점이 유한 개가 아닌 무한 개라도 길이가 0일 수 있는데, 유리수의 집합이 대표적인 예이다. 무리수 집합은 실수와 길이가 같다. 무리수는 셀 수 없는 무한 집합이고 유리수는 셀 수 있는[1] 무한 집합이다. 이렇게 보면 셀 수 없는 무한집합은 길이가 항상 있을 것으로 보이지만, 칸토어 집합 같이 셀 수 없는[2] 무한 집합이지만 길이가 0인 특별한 케이스도 있다. 이 모든 것을 논리적으로 판단하는 개념이 측도론이다.
그냥 구간 길이 정도로 파악하면 되는 측도론을 굳이 배우는 중요한 이유는 어찌 보면 실수의 모든 부분 집합이 측도 값을 가지겠네 하겠지만 그것이 아니라는 반전이 있기 때문이다. 즉, 측도의 가장 실생활에 밀접한 형태인 '길이'라는 개념을 볼 때 실수의 부분집합 중에는 '길이'를 부여할 수 없는 부분집합이 존재하기 때문이다.
따라서 실수의 부분집합 중에서 측도를 부여할 수 있는 부분집합 체계를 엄밀하게 정의해야 하고, 그 측정가능한 집합(가측집합, measurable set) 상에서 정의된 함수에 한해서 적분이 잘 정의되게 된다. 이를 위해 측정가능한 집합이란 무엇이며 측도라는 것이 무엇인지 여러 가지 예시에 대한 논리적 판단의 경험을 통해 구별해야 한다. 이를 이해하는 데는 상당한 시간이 걸린다.
측도론을 공부하면 '적분이란, (구간 내 함수값)×(구간 길이)를 모두 더한 것'이란 개념에서 구간의 길이라는 것이 무엇인지 감이 잡히게 된다. 이제 구간 내 함숫값을 따져보자. 고등학교 수학에서는 구간 내 함숫값을 왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 중앙 중에서 선택하는데, 해석학에서는 이 조건을 좀 더 느슨하게 풀 수 있다. 즉, 구간의 어느 함숫값을 잡아도 구간 길이가 무한소로 가면 특정한 극한 값으로 수렴하므로 이런 느슨한 일반화를 할 수 있는 것이다. 이렇게 정의한 적분의 정의를 리만 적분이라고 한다.[3]
연속함수가 아닌 함수에 대해 리만 적분의 한계가 드러나는데, 함수가 '유리수일 때에는 1, 무리수일 때에는 0을 가지는 특이한 경우([math(\bold{1}_{\mathbb{Q}})])'일 때 구간을 어떻게 자르느냐에 따라서 다른 값으로 수렴하므로 리만적분값은 존재하지 않게 된다.[4]
또한 적분값의 수열이 수렴하지 않는 경우가 발생하는데, 이는 심각한 문제가 된다. 실수는 코시 수열의 수렴값들로 정의되므로, 만약 실수를 인정하지 않는다면 정사각형 대각선의 길이는 생각도 하지 말아야 하는 것이다. 또한 많은 수학적 정의가 수열의 극한이 존재한다는 것을 전제한 것인데, 만약 수열이 수렴하지 않으면 수학적 존재의 정의를 수열로 할 수 없게 된다. 어떤 확률의 기댓값은 적분값이지만 적분값이 수렴을 보장할 수 없다면 확률론에서 기대값의 수열의 극한으로 뭔가를 정의할 수 없게 되므로 이론적 모형으로서는 치명적이다. 게다가 물리의 양자역학은 모든 측정값은 확률의 기댓값으로 계산되므로 리만 적분의 약점은 양자역학의 이론적 도구로서의 결함을 의미한다.
이 문제를 해결하기 위해서 르베그 적분은 '(구간 내 함숫값)×(구간 길이)를 모두 더한 것'이라는, 리만 적분과는 근본적으로 다른 접근 방법을 취한다. '함숫값과 그 함숫값을 갖는 집합의 측도들의 합' 으로 접근하는 것이다. 예컨대 f(x)를 적분할 때 f(x)를 계단으로 근사한 다음 각 계단 높이, 예컨대 f(x)=0.3 이 되는 x의 집합[5]의 측도가 2 라면 0.3*2 를 취한다. 이 과정을 f(x)의 모든 계단 높이에 대해서 구한 값을 다 더하면 적분이 되는 것이다. 매끄러운 함수는 이런 근사 계단을 통해 극한으로 정의를 하고, 디리끌레 함수처럼 어디서도 불연속인 함수도 앞서 정의한 함수들의 극한으로 정의가 되니 애초에 문제가 되었던 디리끌레 함수처럼 리만적분이 불가능한 적분이라든지 적분값의 극한 문제들이 해결된다. 또한 어떤 함수 f가 어떤 구간에서 리만적분가능할 필요충분조건은 f가 그 구간의 거의 모든 점에서(almost everywhere) 연속[6]이라는 것도 알 수 있다.
르베그 적분이 되면 적분상에서 극한 표현 같은 것이 보장된다. 이는 물리학이나 공학에서 요구하는 타당한 이론적 도구임을 보장하는 것으로서, 물리학이나 공학 책에 주로 보이는 L2 공간(=힐베르트 공간)은 함수의 제곱이 르베그 적분 가능함을 보장한다는 것을 보여준다.[7]
이런 엄밀한 과정을 통해서 기존의 단점을 보완한 새로운 개념의 르베그 적분을 도입하였지만 실용적으로 계산할 때는 르베그 적분이나 리만적분이나 방법이 차이가 나지 않는다. 따라서 해석학 책의 다음 부분은 리만적분과 대부분은 같다는 전개이다. 이 때문에 물리학과에서는 그냥 르베그 적분을 몰라도 공부하는 데는 지장 없다. 어차피 디리클레 함수 같은 특이한 함수는 물리학에서 거의 사용하지 않기 때문이다.
다만 다중적분의 적분 순서가 바뀌는 문제는 순수 수학이나 경제학에서는 문제가 된다. 적분은 본질적으로 극한이고, 극한이란 건 특별한 조건이 붙어있지 않는 한 순서를 바꾸었을 때의 결과가 원래의 결과와 같다는 보장이 없기 때문이다. 실제로도 일반위상적으로 특이한 조건 하에서는 르베그 적분에서 적분 순서를 바꿀 수 없다. 하지만 그런 아주 특수한 조건을 제외하면 항상 바꿀 수 있으므로 공대와 물리학과에서 다루는 평이한 공간에서는 그냥 생각없이 적분 순서를 바꿀 수 있는 것이다.[8]
그런 다음 해석학에서는 함수공간을 다룬다. 르베그 적분 가능한 함수들의 집합들을 마치 실수 공간처럼 접근한다. 그 이유는 이들 집합에 완비성을 부여하면 훨씬 더 다양하고 일반적인 대상을 실수처럼 자유자재로 다룰 수 있기 때문이다. 예컨대 미분방정식 해의 존재성을 증명하는 테크닉으로 함수공간의 완비성을 사용할 수 있다.
이미 해석개론에서 항이 진행될수록 두 실수 사이의 거리가 점차 가까워져 한 점으로 수렴하는 수열을 '코시 수열(Cauchy sequence)'이라고 정의한 바 있으며, 이 점을 이용해 방정식의 수치해를 코시 수열의 수렴성을 이용한 알고리즘으로 설계하여 찾을 수 있다. 이를 확장해서, 특정 함수를 함수공간의 한 점으로 보고 함수열을 세운 뒤 함수 사이의 거리를 정의하고 이들 사이의 거리가 점점 가까워져 수렴하는 함수열도 실수 집합처럼 '코시 수열'로 취급할 수 있다. 코시 수열의 대표적인 의의는 특정 극한값을 모르더라도 극한의 존재성만큼은 증명할 수 있다는 것인데, 미분방정식은 일반 대수 방정식과 다르게 해를 구하는 것이 몹시 까다롭기 때문에 수치해를 구하는 것도 감지덕지인 상황이다. 여기서 함수공간이 코시 수열과 같은 성질을 지닌다는 게 확인되면, 함수열 극한의 존재성이 곧 미분방정식 해의 존재성을 증명하는 것과 같고, 이를 통해 대수 방정식의 수치해를 구하듯이 미분방정식의 수치해를 구할 수 있게 된다. 이렇게 실수 집합에서 정의된 완비성을 함수공간에도 적용하면서 함수해석학으로 자연스럽게 이행할 수 있는 토대를 마련하게 된다.
더 깊게 나아가면 다루는 함수공간의 작용소를 배우게 되는데, 순수 수학적으로 접근하면 이때 대수학의 기법이 상당수 사용된다. 이는 함수해석학의 세부 분야인 '작용소 대수'라는 학문으로, 이 정도 수준에 도달하면 사실상 미적분학과의 연관성이 많이 상실되며 높은 추상화 단계에 이르게 된다. 유명한 수학자인 존 폰 노이만이 정의한 폰 노이만 대수의 개념도 볼 기회가 있다. 만약 여기서 더 나아간다면 비가환 기하학이라는 분야에 입문하게 될 것이다. 이쪽 분야의 창시자로 필즈상 수상자 '알랭 콘(Alain Connes)'이 있다.
함수를 측정가능한 집합에서 정의했기 때문에 이에 대한 미분 개념을 정의할 수 있다. 물론 이때는 라돈-니코딤(Radon-Nikodym) 도함수라는 추상화된 개념으로 확장된다. 미분과는 일견 전혀 관련이 없어 보이지만, 실수 집합일 경우에는 도함수의 개념으로 축소되며, 확률론의 조건부 기댓값, 확률밀도함수 역시 이 라돈-니코딤 도함수를 차용한 것이다.
함수의 정의가 집합으로 확장되었기 때문에 훨씬 다양한 환경에서 적분 이론을 사용할 수 있다. 2차원, 3차원은 말할 것도 없고 복소수 공간 뿐 아니라 꼬이고 꼬인 집합 등등, 기본 조건만 충족되면 많은 다양한 공간에서 적분 이론을 전개할 수 있게 하므로 특수한 공학적 문제에 이론적인 도구를 제공할 수 있다.
마지막으로 좀 느슨한 조건의 함수 (예: 디랙 델타 함수[분포]) 같은 것에 대해서도 엄밀한 이론적 토대를 제공하는 방법을 배우거나 푸리에 해석 같은 것을 앞서 배운 이론적 틀로 재구성해서 배운다.
위 내용을 보면 알겠지만 실해석학은 그야말로 통수의 연속이므로 수업에 임하기 위해서는 어느 정도 열린 태도를 갖고 있어야 한다.
이러한 학문적 성질 때문인지 기존 번역을 비틀어 '진정한' 해석학이라고 보는 시각도 있다. 자매 학문인 복소해석학도 기반이 되는 수의 구조를 이렇게까지 깊게 파고들지는 않기 때문이다.
3. 교재
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[1] 유한이라는 것이 아니라 자연수 집합과 일대일 대응이 되는 집합이다. '가부번 집합(Denumerable set)'이라는 명칭으로 알 수 있듯, 유리수도 자연수를 이용해 넘버링이 가능하다는 것이다.[2] 자연수 집합과 일대일 대응이 불가능하다. 이것을 이해하기 위해서는 무한 집합을 다루는 집합론을 배워야 한다.[3] 다만 일반적인 해석학 책에서는 리만 적분→측도론/르베그 적분 순으로 단원을 나열한다.[4] 이 함수는 수학자 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet)의 이름을 따 디리클레 함수라고 부른다.[5] 이 집합은 f(x)가 sin(x)같은 들쭉날쭉한 함수라면 리만 적분같은 소구간이 아니라 실수상에 퍼져있는 집합이 된다.[6] 불연속점의 르베그 측도가 0이라는 뜻.[7] 제곱을 따지는 이유는 현대 확률론을 사용하는 물리학이나 경제학에서 불확실성을 나타내려고 분산 개념을 사용하기 때문이고, 공학에서는 지수가 대부분 제곱차원이기 때문이다.[8] 수학 전공자와 물리 전공자가 여기서 차이가 나는데 수학 전공자는 조건에 대한 아무런 단서가 없다면 적분 순서 변경이 가능한지 논리적으로 따지고 간다.[분포] 정확히는 함수가 아니다. 분포 문서 참고