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, [[]]| 3Blue1Brown의 고계도함수 설명 영상 |
1. 개요
이계도함수(二階導函數, second order derivative)는 도함수의 도함수이다. 즉, 도함수를 한 번 더 미분한 결과이다. 주로 도함수가 어떻게 변하는지 알기 위해 사용된다. 이를 통해 가속도나 함수가 어디로 오목한지 확인할 수 있다. [math(y)], [math(f(x))], [math(f^{(2)}(x))], [math(\ddot{x})],[1] [math(\dfrac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2})] 등으로 표기한다.이계도함수도 멱 규칙을 두 번 적용하면 법칙이 성립한다.
2. 응용
2.1. 가속도
변위 함수를 미분하면 속도 함수가 나오고 이를 한 번 더 미분하면 가속도 함수가 나온다. 자세한 건 가속도 문서 참조.2.2. 이차 근사
도함수를 이용해 선형근사를 할 수 있는 것처럼 이계도함수를 이용한 이차 근사가 가능하며, 수식은 다음과 같다.[math(f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2)]
이는 도함수를 사용한 선형근사보다 더욱 정밀한 결과가 나온다. 참고로 이것보다 더 정밀하게 근사하려면 삼차항 [math(\dfrac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3)]을 추가하고, 더 정밀하게 근사하려면 비슷한 규칙으로 사차항 이상을 추가하면 된다. 바로 테일러 급수가 이러한 규칙의 부분합을 극한으로 보낸 것으로, 삼계도함수 이상 및 테일러 급수와 관련한 내용은 아래를 참고할 것.3. 고계도함수(n계도함수)
고계도함수(高階導函數) 또는 n계도함수([math(n)]th order derivative)는 이계도함수에서 다시 한 번 미분한 삼계도함수를 포함해 그 이상으로 미분한 도함수를 포괄적으로 이르는 말이다. [math(y=f(x))]이고 [math(f \in C^{\infty})](함수가 무한히 미분 가능)일 때, 고계도함수(이계도함수 포함)는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.[math(\dfrac{\mathrm{d}^{n+1} y}{\mathrm{d}x^{n+1}} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \dfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} \right))] (단, [math(n \in \mathbb{N})])
[math(f^{(n+1)}(x) = \left( f^{(n)}(x) \right)^{\prime})] (단, [math(n \in \mathbb{N})])
하단에서 함수의 위첨자에 미분한 횟수를 괄호 안에 넣어 표기하는 방법[2]은 보통 [math(n \geq 4)]일 때부터 사용되며, 삼계도함수까지는 프라임을 사용하여 [math(f^{\prime \prime \prime}(x))]와 같이 사용된다.[math(f^{(n+1)}(x) = \left( f^{(n)}(x) \right)^{\prime})] (단, [math(n \in \mathbb{N})])
아래 두 공식은 고계도함수와 관련해 자주 쓰이거나 수학적으로 중요한 공식이다.
[math(\dfrac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}x^n=n(n-1)...(n-m+1)x^{n-m})] ([math(m \in \mathbb{N}, n\in\mathbb Z)])
다항함수의 고계도함수를 구할 때, 멱함수(거듭제곱함수)의 고계도함수 공식을 이용해 한 번씩 미분하지 않고 단번에 고계도함수를 구할 수 있다.[math(\dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}e^x=e^x)] ([math(n\in\mathbb N)])
자연로그의 밑 [math(e)]를 밑으로 하는 지수함수([math(=\exp x)])는 무한 번 미분해도 자기 자신을 내놓는다. 이러한 지수함수의 성질은 미분방정식을 풀 때 아주 중요한 테크닉으로 꼽힌다. 괜히 선형 제차 상미분방정식의 해로 지수함수(혹은 복소지수함수를 조작한 삼각함수)가 대표적으로 꼽히는 것이 아니다.위 두 가지 함수들은 무한 번 미분이 가능한 함수의 대표적인 함수들이기 때문에,[3] 테일러 급수 혹은 푸리에 급수[4]와 같이 어떠한 미지의 함수를 근사해서 표현 혹은 계산해야 하는 상황이 생겼을 때 무한급수의 근간이 되는 함수로 거듭나게 되었다.
3.1. 고계도함수의 응용
3.1.1. 함수와 분포의 기하학적 형태
n계도함수로 볼록함수 여부를 판단할 수 있지만 이는 주어진 구간 내(혹은 실수 전체)에서 n번 미분 가능한 함수여야 분석이 가능하다. 사실 고계도함수로 볼록함수 여부를 판단하는 것은 주어진 개구간에서 두 번 미분 가능한 이계도함수의 부호 판별로 충분하기는 하다.이 문단의 제목에 '분포'를 덧붙인 이유는 놀랍게도 일반적인 함수의 고계도함수가 확률밀도함수의 적률생성함수의 고계도함수와 관련이 깊다는 데에 있다. 보통 연속확률분포의 기하학적 특징을 논할 때 수리통계학에서는 기댓값(평균), 분산에 더해 왜도(歪度, skewness), 첨도(尖度, kurtosis)까지 분석하는 경우가 많다. 이때 각각의 특징은 적률생성함수가 존재할 경우 각각 도함수, 이계도함수, 삼계도함수, 사계도함수를 구한 뒤 [math(t=0)]을 대입한 값과 동일하다.
하지만 일반적인 함수에서도 오계도함수까지 존재할 경우 위와 같은 해석이 가능하다! 위 영상은 일정 구간에서 미분 가능한 삼계도함수의 기하학적 의미를 직관적으로 보여주는 영상으로, 고등학교에서 이계도함수까지 활용해 그래프를 분석할 때 도함수와 이계도함수를 같이 고려한 것처럼, 삼계도함수는 이계도함수와 함께 고려해 그래프가 왼쪽으로 쏠렸는지, 오른쪽으로 쏠렸는지의 여부가 결정된다. 해당 영상에서 좋아요를 두 번째로 많이 받은 댓글에서는 이와 비슷하게 사계도함수를 구해서 그래프의 첨도 비슷한 것을 구할 수 있고, 오계도함수는 심지어 꼬리(tail)[5]의 대칭 여부까지 파악할 수 있다고 한다.
3.1.2. 테일러 급수와 해석함수
[math(\dfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n})]에서 [math(n \rightarrow \infty)]인 함수가 존재할 때, 다시 말해 무한 번 미분 가능한 함수는 특별히 매끄럽다고 하며, 대표적으로 오일러 공식으로 서로 연결된 지수함수 [math(e^x = \exp x)]와 삼각함수(특히 [math(\sin x)]와 [math(\cos x)])가 해당된다. [math(y=f(x))]라고 하면 상기한 매끄러운 함수 3개는 임의의 점에서 테일러 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^n)]을 도출해낼 때 수렴 반경이 무한, 즉 어떠한 점에서도 테일러 급수를 구할 때 무조건 원래 함수로 수렴함이 보장된다. 이러한 함수들을 해석함수(analytic function)라고 하는데, 매끄럽다고 하더라도 테일러 급수가 원래 함수로 수렴하지 않으면[6] 유감스럽게도 해석함수가 될 수 없다.3.1.3. 가속도의 변화량 파악
변위 함수에 대해 이계도함수인 가속도 함수를 한 번 더 미분하면 가가속도(jerk) 함수가 나온다. 이를 통해 가속도의 전체적인 변화량을 확인 할 수 있다. 이는 가속도의 변화까지 신경써야 하는 철도나 자동차 관련 분야에 쓰인다. 상단의 3Blue1Brown 영상에서도 이러한 이유로 삼계도함수까지 사용해 자동차의 움직임을 설명했다.영문 명칭 'jerk'의 원 뜻은 동사로 '홱 움직이다', 명사로 '홱 움직임'이라는 뜻이라 이 단어를 채택한 것으로 보이나, 속어로 '얼간이'라는 뜻이 있기 때문에 3Blue1Brown 영상에서도 "농담하는 것 같지만"이라는 말을 덧붙였다. 참고로 가가가속도(사계도함수) 이상은 사용되는 분야가 사실상 없기 때문에 영어로는 물리학자들이 장난으로 이름을 붙인 것을 확인할 수 있다.
[1] 이 표기(diaeresis)는 뉴턴 고전역학에서 보통 시간에 대한 이계도함수를 나타낸다. 그냥 도함수는 점 하나를 찍는다.[2] 괄호가 없는 경우에도 이와 비슷한 방식으로 재귀적으로 정의가 되곤 하는데, 재귀적 합성함수로 자주 쓰이기 때문에 하단의 표기법으로 고계도함수를 표기할 시 반드시 괄호를 빼먹지 않아야 한다.[3] 다항함수의 차수를 넘겨 미분하게 되면 0이 되지만 지수함수처럼 0을 미분하면 계속 0이 나오게 되어 무한 번 미분 가능한 함수로 해석할 수 있다.[4] 푸리에 급수는 삼각함수의 합으로 나타내지만, 삼각함수는 오일러 공식을 통해 복소지수함수와 연관이 되어 있으며 [math(\sin x)]와 [math(\cos x)]는 대표적인 매끄러운 함수들이다.[5] 연속확률분포에서 보통 이상점에 해당해 그 부분 안으로 구간을 정해서 확률밀도함수를 적분하여 확률을 구할 시 낮은 값이 도출되는 구간을 의미한다. 간단한 예시로, 정규 분포나 t분포에서는 [math(x)]축이 일종의 점근선으로 기능하면서 꼬리가 [math(\pm \infty)]로 뻗어나가는 형상을 보인다.[6] 대표적인 예로 혹 함수가 있다.