1. 개요
1. 개요
에르고딕 이론(에르고딕 理論, Ergodic Theory)는 결정론적 동적계의 통계적 속성을 연구하는 수학의 한 분야로, 에르고딕성(ergodicity)을 연구하는 학문이다. 이 맥락에서 "통계적 속성"이란 동적계의 궤적을 따라 다양한 함수의 시간 평균의 거동을 통해 표현되는 속성을 의미한다. 결정론적 동적계라는 개념은 동역학을 결정하는 방정식에 임의의 섭동, 잡음 등이 포함되지 않는다고 가정한다. 따라서 우리가 다루는 통계는 동역학의 속성이다.확률론과 마찬가지로 에르고딕 이론은 측도 이론의 일반적인 개념에 기반한다. 에르고딕 이론의 초기 발전은 통계물리학의 문제에서 비롯되었다.
에르고딕 이론의 핵심 관심사는 장시간 동안 작동할 때 동적계의 거동이다. 이러한 관점에서 첫 번째 결과는 푸앵카레 회귀 정리(Poincaré recurrence theorem)로, 위상 공간의 모든 부분집합에 있는 거의 모든 점이 결국에는 그 집합을 다시 방문한다고 주장한다. 푸앵카레 회귀 정리가 성립하는 계는 보존계이다. 따라서 모든 에르고딕 계는 보존계이다.
특정 조건 하에서 함수의 시간 평균이 궤적을 따라 거의 모든 곳에 존재하며 공간 평균과 관련이 있다고 주장하는 다양한 에르고딕 정리를 통해 더욱 정확한 정보를 얻을 수 있다. 가장 중요한 두 정리는 각 궤적을 따라 시간 평균이 존재한다고 주장하는 버코프(Birkhoff, 1931)와 폰 노이만(von Neumann)의 정리이다. 특수한 에르고딕 계에서는 이 시간 평균이 거의 모든 초기점에서 동일하다. 통계적으로 말하면, 오랜 시간 동안 진화한 계는 초기 상태를 "잊는다". 혼합이나 등분포와 같은 더 강력한 속성 또한 광범위하게 연구되어 왔다.
계의 계량 분류 문제는 추상적 에르고딕 이론의 또 다른 중요한 부분이다. 에르고딕 이론과 확률 과정에 대한 응용에서 중요한 역할을 하는 것은 동적 계에 대한 다양한 엔트로피 개념이다.
에르고딕성(ergodicity)과 에르고딕 가설(ergodic hypothesis)의 개념은 에르고딕 이론의 응용에 핵심적인 역할을 한다. 에르고딕 이론을 수학의 다른 분야에 적용하는 것은 일반적으로 특수한 종류의 시스템에 대한 에르고딕성 속성을 확립하는 것을 포함한다. 기하학에서는 에르고딕 이론의 방법을 사용하여 리만 다양체의 측지선 흐름을 연구해 왔으며, 이는 에버하르트 호프(Eberhard Hopf)의 음의 곡률 리만 곡면에 대한 결과를 시작으로 한다. 마르코프 연쇄는 확률론 응용 분야에서 공통적인 맥락을 형성한다. 에르고딕 이론은 조화해석학, 리 대수(표현론, 대수군의 격자), 그리고 정수론(디오판토스 근사 이론, L-함수)과 밀접한 관련이 있습니다.