1. 개요
[math(C^*)][1]-대수([math(C^*)]-algebra)는 대합 연산을 갖춘 바나흐 대수로서, 대합의 연산 구조가 바나흐 대수의 위상, 대수적 구조와 호환하는 대수이다. [math(C^*)]-대수는 힐베르트 공간의 유계 작용소 대수에서 추상화된 개념이다. 겔판트-나이마르크-시걸 정리에 따라 [math(C^*)]-대수는 어떤 복소 힐베르트 공간의 유계 작용소 대수의 부분 대수와 등거리 동형이다.2. 정의
2.1. 대합
복소 바나흐 대수 [math(A)]에 대하여 다음을 만족시키는 사상 [math(*:A\to A)]를 대합(involution)이라고 한다.- 모든 [math(a\in A)]에 대하여 [math((a^*)^*=a)]
- 모든 [math(a,\ b\in A)]에 대하여 [math((ab)^*=b^*a^*)]
- 모든 [math(a,\ b\in A)], [math(\alpha\in\mathbb{C})]에 대하여 [math((\alpha a+b)^*=\bar{\alpha}a^*+b^*)]
2.2. C*-대수
복소 바나흐 대수 [math(A)]가 대합 [math(*)]를 갖추고 모든 원소 [math(a\in A)]에 대하여 등식[math(\|a^* a\|=\|a\|^2)]
가 성립하면 [math(A)]를 [math(C^*)]-대수라고 한다. 이때 위 조건을 [math(C^*)]-조건이라고 한다.2.3. 각종 원소
[math(C^*)]-대수 [math(A)]의 임의의 원소 [math(a)]에 대하여 등식 [math(1_Aa=a1_A=a)]을 만족시키는 원소 [math(1_A\in A)]가 존재할 때, [math(1_A)]를 [math(A)]의 단위원(unit)이라고 한다. 바나흐 대수와 마찬가지로 [math(C^*)]-대수의 정의에서 곱셈 단위원의 존재는 필수가 아니며, 단위원이 없는 [math(C^*)]-대수는 자연스러운 단위 대수화가 가능하다.[math(C^*)]-대수에서 복소 힐베르트 공간의 유계 작용소 대수에서 정의된 각종 원소의 정의가 유지된다. [math(C^*)]-대수 [math(A)]의 원소 [math(a)]에 대하여
- [math(a^*=a)]이면 [math(a)]를 자기수반(self-adjoint) 또는 에르미트(hermitian)이라고 한다. [math(C^*)]-대수 [math(A)]의 모든 에르미트 원소의 집합을 [math(\operatorname{Re}A)]로 나타낸다.
- [math(a^*a=a^*a)]이면 [math(a)]를 정규(normal)이라고 한다.
- [math(A)]가 단위 [math(C^*)]-대수일 때, [math(a^*a=aa^*=1)]이면 [math(a)]를 유니터리(unitary)라고 한다.
- [math(a\in\operatorname{Re}A)]이고 [math(Sp(a)\subseteq[0,\ \infty))]인 [math(a)]를 양(positive)이라 하고 [math(a\ge0)]으로 나타낸다.
- 에르미트 멱등원, 즉 [math(a^*=a, a^2=a)]이면 [math(a)]를 사영(projection)이라 한다.
2.4. *-준동형사상
두 [math(C^*)]-대수 [math(A,\ B)]에 대하여 대수 준동형사상 [math(h:A\to B)]가 임의의 [math(a\in A)]에 대하여 [math(h(a^*)=h(a)^*)]를 만족시키면 [math(h)]를 [math(*)]-준동형사상이라고 한다.2.4.1. 표현
[math(C^*)]-대수 [math(A)]에서 어떤 힐베르트 공간 [math(H)]의 유계 작용소 대수 [math(B(H))]로의 [math(*)]-준동형사상 [math(\pi:A\to B(H))]에 대하여 [math((\pi,\ H))]를 [math(A)]의 표현이라고 한다. [math(\pi(A)e)]가 [math(H)]에서 조밀하도록 하는 [math(H)]의 벡터 [math(e)]가 존재할 때, [math(e)]를 표현 [math(\pi)]의 순환벡터라고 하며, 순환벡터를 갖는 표현을 순환표현이라고 한다.[math(C^*)]-대수 [math(A)]의 두 표현 [math((\pi_1,\ H_1))], [math((\pi_2,\ H_2))]에 대하여 다음을 만족시키는 유니터리 작용소 [math(u: H_1\to H_2)]가 존재하면 두 표현은 유니터리 동치라고 한다.
[math(u\pi_1(a)=\pi_2(a)u\quad\forall a\in A)]
유니터리 동치인 두 표현 [math((\pi_1,\ H_1))], [math((\pi_2,\ H_2))]을 [math((\pi_1,\ H_1)\sim_u(\pi_2,\ H_2))] 또는 [math(\pi_1\sim_u\pi_2)]로 나타낸다.3. 예시
- 복소수체 [math(\mathbb{C})]는 켤레를 대합으로 갖는 [math(C^*)]-대수이다.
- 복소 힐베르트 공간 [math(H)]에 대하여 유계 작용소 대수 [math(B(H))]는 수반을 대합으로 갖는 [math(C^*)]-대수이다.
- 컴팩트 하우스도르프 공간 [math(X)]의 연속 복소함수 공간 [math(C(X))]는 점별 켤레를 대합으로 갖는 [math(C^*)]-대수이다.
4. 성질
4.1. 대합과 원소의 성질
[math(C^*)]-대수 [math(A)]의 원소 [math(a)]에 대하여 [math(\|a\|=\|a^*\|)]이다. 즉, [math(C^*)]-대수의 원소의 수반의 크기는 원래의 원소의 크기와 같다.| 증명 [math(A)]는 바나흐 대수이므로 [math(C^*)]-조건에 바나흐 대수의 노름 부등식을 적용하면 [math(\|a\|^2=\|a^* a\|\le\|a^*\|\|a\|)]로, [math(\|a\|\le \|a^*\|)]이다. 반대로 등식 [math(\|a^*\|^2=\|aa^*\|)]에 같은 방법을 적용하면 [math(\|a^*\|\le\|a\|)]이다. 따라서 [math(\|a^*\|=\|a\|)]이다. |
4.2. 스펙트럼의 성질
단위 [math(C^*)]-대수 [math(A)]의 자기수반 원소 [math(a)]에 대하여 다음이 성립한다.- [math(\|a\|=r(a))]
- [math(\sigma_A (a)\subset\mathbb{R})]
| 증명 a. [math(a=a^*)]이므로 [math(\|a^2\|=\|aa^*\|=\|a\|^2)]이다. 따라서 임의의 양의 정수 [math(k)]에 대하여 [math(\|a^{2^k}\|=\|a\|^{2^k})]이다. 이때 [math(\displaystyle r(a)=\lim_{n\to\infty}\|a^n\|^{1/n}=\lim_{k\to\infty}\|a^{2^k}\|^{2^{-k}})] 이므로 [math(r(a)=\|a\|)]이다.b. [math(a)]로 생성된 [math(C^*)]-대수를 [math(A(a))]라 하자. 실수 [math(t\in\mathbb{R})]에 대하여 [math(u_t=\sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n}{n!}a^n)]이라 하면 [math(C^*)]-대수는 완비이고 [math(u_t)]는 절대수렴하므로 [math(u_t)]는 [math(A(a))]에서 수렴한다. 대합 [math(*)]는 연속사상이므로 [math(\displaystyle\begin{aligned} 이다. 따라서 [math(u_t^*u_t=u_{-t}u_t=u_0=1_A)]에서 [math(1=\|u_t^*u_t\|=\|u_t\|^2)]으로, [math(\|u_t\|=1)]이다.u_t^*&=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^n\frac{(it)^k}{k!}a^k \right)^*\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{(-it)^k}{k!}a^k\\ &=u_{-t} \end{aligned})] 복소 준동형사상 [math(l\in M_{A(a)})]은 연속이므로 [math(\displaystyle\begin{aligned} 이다. [math(\|l\|=1)]이므로 [math(|l(u_t)|\le\|u_t\|=1)]이고 따라서 모든 실수 [math(t)]에 대하여 [math(|e^{itl(a)}|\le 1)]이다. 즉, [math(l(a))]는 실수이고 [math(a)]의 겔판트 변환 [math(\hat{a})]은 [math(M_{A(a)})] 위의 실숫값 함수이다. [math(\sigma_{A(a)}(a)=\operatorname{ran}\hat{a}\subset\mathbb{R})]이고 [math(A(a)\subseteq A)]에서 [math(\sigma_A(a)\subseteq\sigma_{A(a)}(a))]이므로 [math(\sigma_A(a)\subset\mathbb{R})]이다.l(u_t)&=l\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(it)^n}{n!}a^n \right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(it)^n}{n!}l(a)^n\\ &=e^{itl(a)} \end{aligned})] |
4.3. 구조적 성질
4.3.1. 겔판트-나이마르크 정리
가환 단위 바나흐 대수 [math(A)]는 [math(A)]의 스펙트럼(극대 아이디얼 공간) [math(\hat{A})]위의 연속함수 대수 [math(C(\hat{A}))]와 대수 준동형이다. 가환 단위 바나흐 대수와 연속함수 대수 사이의 준동형 사상을 겔판트 변환이라고 한다. 겔판트 변환의 등거리성 또는 동형성은 일반적으로 보장되지 않으나 가환 단위 [math(C^*)]-대수의 겔판트 변환은 등거리 [math(*)]-동형사상이다.| 증명 겔판트 표현의 노름은 [math(1)]이므로 모든 [math(a\in A)]에 대하여 [math(\|\hat{a}\|_\infty\le \|a\|)]이다. [math(\|\hat{a}\|_\infty=r(a))]이므로 [math(a)]가 에르미트 원소이면 [math(\|a\|=\|\hat{a}\|_\infty)]이다. [math(a\in A)]와 [math(\chi \in \hat{A})]에 대하여 [math(a^*(\chi)=\chi(a^*)=\overline{\chi(a)}=\overline{\hat{a}(\chi)})]이므로 [math(\hat{a^*}=\overline{\hat{a}})]이다. [math(C(\hat{A}))]의 대합은 복소 켤레로 정의되므로 이는 겔판트 변환이 [math(*)]-준동형사상임을 뜻한다. 임의의 [math(a\in A)]에 대하여 [math(aa^*)]는 에르미트 원소이므로 [math(\|a\|^2=\|a^* a\|=\|\widehat{a^*a}\|_\infty=\ | (\hat{a})|^2\|_\infty=\|\hat{a}\|^2\infty)]이다. 즉, [math(\|a\|=\|\hat{a}\|_\infty)]로 겔판트 변환은 등거리 변환이다. 이때 등거리 변환은 단사이므로 겔판트 변환은 단사이다. 등거리 변환의 상은 닫혀있으므로 겔판트 변환의 전사성을 밝히기 위해 겔판트 변환 [math(\Gamma:A\to C(\hat{A}))]의 상 [math(\Gamma(A))]가 조밀함을 보인다. [math(\hat{1}=1)]이므로 [math(\Gamma(A))]는 [math(C(\hat{A}))]의 단위 부분대수이다. 또한 [math(\Gamma)]는 대합을 보존하므로 [math(\Gamma(A))]는 복소 켤레에 닫혀있다. 각 [math(\chi_1,\chi_2 \in \Gamma(A))]가 서로 다르면 [math(\chi_1(a)\ne \chi_2(a))]인 [math(a\in A)]가 존재하고 이는 [math(\hat{a}(\chi_1)\ne \hat{a}(\chi_2))]를 의미하므로 [math(\Gamma(A))]는 [math(C(\hat{A}))]의 분리 부분집합이다. 따라서 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 겔판트 변환 [math(\Gamma)]는 조밀하다. 따라서 겔판트 변환은 등거리 전사 [math(*)]-준동형사상, 즉 등거리 [math(*)]-동형사상이다. |
겔판트-나이마르크 정리를 통해 (국소적)컴팩트 하우스도르프 공간 범주와 (단위)가환 [math(C^*)]-대수 범주가 반변 동치임을 보일 수 있다. 즉, 컴팩트 하우스도르프 공간 범주 [math(\bf\rm CompHaus)]와 단위 가환 [math(C^*)]-대수 범주 [math(\bf\rm CommC^* Alg_1)]에 대하여
[math(\bf\rm CompHaus\simeq (CommC^* Alg_1)^{op})]
이다. 이는 컴팩트 하우스도르프 공간의 기하학은 단위 가환 [math(C^*)]-대수의 언어로 설명할 수 있음을 의미하며, 일반적인 비가환 [math(C^*)]-대수를 어떤 비가환 공간의 함수 대수로 보는 비가환 기하학의 동기가 됐다. | 증명 두 반변 함자 [math(C:\bf\rm CompHaus\to CommC^* Alg_1 ,)] 를 다음과 같이 정의하자.[math(\hat{\ }:\bf\rm CommC^* Alg_1\to CompHaus)]
[math((\alpha_Y \circ 1_{\rm CompHaus})(f)(x)=\chi_{f(x)},\\((\hat{\ }\circ C)\circ\alpha_X)(x)=\widehat{f^*}(\chi_x)=\chi_x \circ f^*)] 이다. 이때 임의의 [math(g \in C(Y))]에 대하여 [math(\chi_{f(x)}(g)=g(f(x)))], [math((\chi_x \circ f^*)(g)=\chi_x(g\circ f)=(g\circ f)(x)=g(f(x)))]이므로 [math(\hat{\ }\circ C)]는 [math(1_{\rm CompHaus})]과 동치이다.겔판트-나이마르크 정리에 의해 겔판트 변환 [math(\Gamma_A)]는 [math(C^*)]-동형사상이고 각 [math(C^*)]-대수 준동형사상 [math(f:A\to B)]에 대하여 [math((\Gamma_B\circ 1_{\rm CommC^*Alg_1}f)(a)=\widehat{f(a)},\\ 이다. 이때 임의의 [math(\chi \in \hat{B})]에 대하여(C(\hat{f})\circ\Gamma_A)(a)=C(\hat{f})(\hat{a})=\hat{a}\circ\hat{f})] [math(\begin{aligned}(\hat{a}\circ\hat{f})(\chi)&=\hat{a}(\hat{f}(\chi))=\hat{a}(\chi\circ f)\\ 이므로 [math(C\circ\hat{\ })]는 [math(1_{\rm CommC^*Alg_1})]와 동치이다.&=(\chi\circ f)(a)=\chi(f(a))\\ &=\widehat{f(a)}(\chi)\end{aligned})] |
4.3.2. 겔판트-나이마르크-시걸 정리
[math(C^*)]-대수는 어떤 힐베르트 공간 [math(H)]의 유계 작용소 대수 [math(\mathcal{B}(H))]의 부분 [math(C^*)]-대수와 동형이다.[1] '시스타'라고 읽는다.