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1. 개요
residue · 留數복소해석학에서 선적분을 했을 때 남는 부분이다.[1]
2. 설명
2.1. 고립 특이점
[math(z=z_0)]가 함수 [math(w=f(z))]의 고립특이점이면 [math(0 < |z-z_0| < R)]인 모든 [math(z)]에 대하여 해석적이면 로랑의 정리에 의하여| <tableclass=tpc>[math(\displaystyle f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n)] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} a_n = \frac1{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \,{\rm d}z \end{aligned})] |
특히 [math(a_n)]에서 [math(n=-1)]일 때 계수
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} b_1 = a_{-1} = \frac1{2\pi i} \int_C f(z) \,{\rm d}z \end{aligned})] |
극점일 경우도 조금 계산이 귀찮아지는데, 먼저 해당 극점의 계수 [math(m)]을 알아내야 하며, 그 때는 복소해석학의 2.2.1번 문단의 내용대로 계산해야 한다.
2.2. 무한대
함수 [math(f)]가 어떤 양수 [math(R_1)]에 대하여 [math(R_1 < |z| < \infty)]의 영역의 모든 점에서 해석적이라고 하자. 그러면 이 함수 [math(f(z))]는 [math(z_0=\infty)]에서 고립특이점을 갖는다고 정의한다.그러면 어떤 양수 [math(R_1)]보다 큰 [math(R_0)]에 대하여, [math(C_0 = R_0 e^{-it})]라는 원점을 중심으로 한 반지름 [math(R_0)]의 시계방향 궤도. 즉 무한원점[2]에 대한 반시계방향의 궤도에 대하여[3], 유수의 정의에 따라 다음이 성립한다.
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = \frac1{2\pi i} \oint_{C_0} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned})] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned})] |
따라서, 위의 식을 다시 말하면 다음과 같게 된다.
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \\ &= -\sum_{k=1}^n \underset{z=z_n}{\operatorname{Res}} \,f(z) \end{aligned})] |
여기까지의 결론에서 아래의 유수 정리 항목에 있는 [math(\displaystyle \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) +\sum_{i=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0)]이 유도된다.
또한, 이 식을 대수적으로 조금 만지작거리면 다음 식이 유도된다.
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\underset{w=0}{\operatorname{Res}} \,\frac1{w^2} f \biggl(\frac1w \biggr) \end{aligned})] |
{{{#!folding [유도과정 펼치기·접기]
[math(w=\cfrac1z)]라는 새로운 매개변수를 두자.먼저 [math({\rm d}w)]를 구하자. 위의 매개식을 변환하여 [math(z=\cfrac1w)]로 바꾸고, 양변을 [math(w)]에 대하여 미분하면, [math(\cfrac{{\rm d}z}{{\rm d}w} = -\cfrac1{w^2})]
따라서 [math({\rm d}z = -\cfrac1{w^2} \,{\rm d}w)]가 된다.
이제 여기서 구한 [math({\rm d}w)]를
| <tableclass=tpc>[math(\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned})] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \\ &= \frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}} f \biggl(\frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w \end{aligned})] |
따라서
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}'} f \biggl(\frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w \end{aligned})] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}'} f \biggl(\frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w \\ &= -\underset{w=0}{\operatorname{Res}} \,\frac1{w^2} f \biggl(\frac1w \biggr) \end{aligned})] |
}}}
3. 유수 정리
함수 [math(f(z))]가 단일 닫힌곡선 [math(C)]의 내부에 있는 유한개의 고립특이점 [math(z_1, z_2, \cdots\!, z_n)]을 제외하고 [math(C)]의 내부와 위에서 해석적이라 하자. 그러면 [math(z_k)] (단, [math(k = 1, 2, \cdots\!, n)])에서 유수가 [math(\underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z))]이면 다음이 성립한다.
\int_C f(z) \,{\rm d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z)\end{aligned})]||
증명
| 각 특이점 [math(z_1, z_2, \cdots\!, z_n)]을 중심으로 하고, [math(C)]의 내부에 서로 겹치지 않는 원을 각각 [math(C_1, C_2, \cdots\!, C_n)]을 나타내고, 각 원의 방향을 [math(C)]와 같은 방향으로 하면 코시의 적분공식에 의하여 [math(\begin{aligned} \int_C f(z) \,{\rm d}z = \int_{C_1} f(z) \,{\rm d}z +\int_{C_2} f(z) \,{\rm d}z +\cdots +\int_{C_n} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned})] 이다. 여기서 [math(z=z_k)] (단, [math(k=1, 2, \cdots\!, n)])에 대한 유수의 정의를 적용하면 [math(\begin{aligned} \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) = \frac1{2\pi i} \int_{C_k} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned})] 이므로 코시 적분공식에 의하여 구해진 식을 통하여 다음의 결과가 성립한다. [math(\begin{aligned} \int_C f(z) \,{\rm d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) \end{aligned})] |
무한대에서는
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) + \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0 \end{aligned})] |
[1] 쉽게 말하면 초등학교 3학년 수학에서 나눗셈을 하면 나오는 나머지와 비슷하다.[2] 절대값이 [math(\infty)]인 모든 점을 콤팩트화한 가상의 점.[3] 원점을 중심으로 하면 시계방향은 음의 방향으로 취급하지만, 내부를 회전방향의 좌측으로 두는 관습에 따르면 무한원점을 중심으로 하는 반지름 [math(\infty)]의 원의 내부로 만드는 양의 방향은 시계방향이 된다.