#!style
.tpc {border: 2px solid #0000; margin: auto; background: #0000 !important} 1. 개요
polar form / 極形式대수학이나 함수론에서 사용하는 표현식.
2. 복소수의 극형식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[복소평면#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[복소평면#|]] 부분을}}}임의의 복소수 [math(z)]를 고려하자. 2차원 평면을 고려할 때, 가로축을 복소수 [math(z)]의 실수부 [math(\Re(z))], 세로축을 복소수 [math(z)]의 허수부 [math(\Im(z))]로 설정하면, 복소수 [math(z)]는 점 [math(\rm P)]에 대응된다.
이때, 다음이 성립한다.
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \Re(z)&= \overline{\rm OP} \cos{\theta} \\ \Im(z)&= \overline{\rm OP} \sin{\theta} \\ \overline{\rm OP}&=|z| \\ \arg(z) &= \theta \end{aligned})] |
이상에서 복소수 [math(z)]는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있는데[1], 이것을 복소수의 극형식이라 한다. 이는 극좌표계에서 점 [math((|z|,\theta))]에 대응된다.
| <tableclass=tpc>[math(z=|z|(\cos{\theta}+i\sin{\theta}))] |
2.1. 회전 변환
우선 삼각함수의 덧셈정리에 의해 다음 식을 얻는다.| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} (\cos{\theta}+i\sin{\theta})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}) &=\cos{(\theta+\alpha)}+i\sin{(\theta+\alpha)} \end{aligned})] |
따라서 원래의 복소수가 나타내는 점을 [math(\rm P)]라 하고, 그 점을 [math(\alpha)]만큼 회전 이동시킨 점을 [math(\rm P')]라 할 때, [math(\rm P')]에 대응되는 복소수는 다음과 같다.
| <tableclass=tpc>[math(z'=z \cdot (\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}))] |
이것은 오일러 공식을 이해했다면 더 쉽게 이해 가능하다.
2.2. 여러 복소수의 곱
위 성질을 이용해 임의의 복소수 수열 [math(\{z_1,\cdots,z_n\})]의 곱을| <tableclass=tpc> [math(\displaystyle \prod_{k=1}^n z_k = \operatorname{cis} \biggl[ \sum_{k=1}^n \arg{z_k} \biggr] \prod_{k=1}^n \sqrt{z_k \overline{z_k}})] |
3. 함수의 극형식
3.1. 함수
[math(r=f(\theta))] 또는 [math(f(r,\,\theta))]로 새로운 함수를 정의해보자. [math(r=1)]이면 2차원 상의 원이 만들어진다. 삼각함수 등 여러 다른 함수를 도입하면 아름다운 미술학과 수학의 조화를 접하게 된다고 한다.3.2. 대칭성
- 그래프 위에 놓인 [math((r,\,\theta))]에 대하여 [math(\theta)]가 [math(-\theta)]로 바뀌어도 변하지 않으면 극축에 대하여 대칭이다.
- 그래프 위에 놓인 [math((r,\,\theta))]에 대하여 [math(r)]이 [math(-r)]로 바뀌거나 [math(\theta)]가 [math(\theta+\pi)]로 바뀌어도 같다면 극점에 대하여 대칭이다.
- 그래프 위에 놓인 [math((r,\,\theta))]에 대하여 [math(\theta)]가 [math(\pi-\theta)]로 바뀌어도 같다면 수직선 [math(\theta=\pi/2)]에 대하여 대칭이다.
4. 위상자(페이저)
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