1. 개요
部分積分 / integration by parts두 함수의 곱으로 정의된 함수를 적분하는 기법.
미분가능한 연속함수 [math(u(x), v(x))][1]에 대해서 다음과 같이 부정적분할 수 있다. 이때 [math(u(x), v(x))]의 도함수도 각각 연속이어야 한다. 곱의 미분법에서 도출된 공식이다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int u(x)v'(x) \,{\rm d}x &= u(x)v(x) -\int u'(x)v(x) \,{\rm d}x \\ \end{aligned} )] |
혹은 간단하게
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int u \,{\rm d}v &= uv -\int v \,{\rm d}u \\ \end{aligned} )] |
로 쓰기도 한다. 두 번째 꼴을 스틸체스 적분이라고 하며, 대학교 이상에서는 이게 표준이다. 고등학교에서도 풀이 과정을 간결히 쓰기 위해서 외워두는 것이 좋다. 예시 문단의 모든 적분꼴은 스텔체스 꼴을 이용하여 표기하였다.
정적분에서는
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b u(x)v'(x) \,{\rm d}x &= [ u(x)v(x) ]_a^b -\int_a^b u'(x)v(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
가 된다.
2. 유도
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \{ u(x)v(x) \}' = u'(x)v(x) +u(x)v'(x) \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \{ u(x)v(x) \}' \,{\rm d}x &= \int u'(x)v(x) \,{\rm d}x +\int u(x)v'(x) \,{\rm d}x \\ \int_a^b \{ u(x)v(x) \}' \,{\rm d}x &= \int_a^b u'(x)v(x) \,{\rm d}x +\int_a^b u(x)v'(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \{ u(x)v(x) \}' \,{\rm d}x &= u(x)v(x) \\ \int_a^b \{ u(x)v(x) \}' \,{\rm d}x &= [ u(x)v(x) ]_a^b \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} u(x)v(x) &= \int u'(x)v(x) \,{\rm d}x +\int u(x)v'(x) \,{\rm d}x \\ [ u(x)v(x) ]_a^b &= \int_a^b u'(x)v(x) \,{\rm d}x +\int_a^b u(x)v'(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} u(x)v(x) -\int u'(x)v(x) \,{\rm d}x &= \int u(x)v'(x) \,{\rm d}x \\ [ u(x)v(x) ]_a^b -\int_a^b u'(x)v(x) \,{\rm d}x &= \int_a^b u(x)v'(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int u(x)v'(x) \,{\rm d}x &= u(x)v(x) -\int u'(x)v(x) \,{\rm d}x \\ \int_a^b u(x)v'(x) \,{\rm d}x &= [ u(x)v(x) ]_a^b -\int_a^b u'(x)v(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
3. 우선 순위: LIATE 법칙
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[부분적분/LIATE 법칙#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[부분적분/LIATE 법칙#|]] 부분을4. 도표적분법
부분적분을 빠르게 계산하는 방법이다.#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[세로셈법#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[세로셈법#도표적분법|도표적분법]] 부분을5. 예제
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[부분적분/예제#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[부분적분/예제#|]] 부분을6. 고등학교
- 6차 교육과정: <수학Ⅱ>
- 7차 교육과정: <미분과 적분>
- 2007 개정 교육과정: <수학Ⅱ>
- 2009 개정 교육과정: <미적분Ⅱ>
- 2015 개정 교육과정: <미적분>
- 2022 개정 교육과정: <미적분Ⅱ>
7. 활용
다항함수의 정적분을 편리하게 계산하는 다음의 공식 역시 부분적분을 통하여 유도된다. 자세한 내용은 다항함수/공식/넓이 참고.| [math(\begin{aligned}\left|\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^m(x-\beta)^n\;{\rm d}x\right|&=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}|a|(x-\alpha)^m(\beta-x)^n\;{\rm d}x\\&=\dfrac{|a|(m!n!)}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\end{aligned})] |
8. 관련 문서
[1] 한국에서는 이상하게 [math(f(x), g(x))]로 쓰는 것이 보편적이지만, 한국 외에서는 대부분 [math(u(x), v(x))]로 쓰는 것이 표준이다.