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1. 개요
Abstract Algebra / 抽象代數學대수학의 한 분류로, 수나 구체적인 계산보다는 대수 구조(Algebraic Structures) 자체를 연구하는 수학 분야이다. 흔히 현대대수학(modern algebra)이라고도 부르며, 19세기 후반에 이르러 5차 이상의 방정식 풀이 문제 등을 계기로 본격적으로 발전하기 시작했다.
2. 특징
기존의 대수학이 x,y,z와 같은 변수를 사용하여 실수나 복소수의 덧셈, 곱셈 등 구체적인 연산을 다루는 것과 달리, 추상대수학은 군, 환, 체와 같은 추상적인 구조를 핵심 연구 대상으로 삼는다. 이들 구조는 특정 공리들을 만족하는 집합과 그 위에서 정의된 연산으로 구성된다. 즉, 구체적인 원소의 성질에 얽매이지 않고, 연산이 가지는 본질적인 속성과 그 관계를 체계화하고 일반화하는 데 주력한다. 이런 추상대수의 맥락에서 '일반화'란, 개개의 구체적인 원소나 집합이 아니라 준동형 사상 및 동형 사상을 통해 연관된 모든 동일한(닮은) 대수적 구조에서 만족하는 본질적인 성질을 드러내는 것이 핵심이다.추상대수학은 수학 전반의 기초를 다지는 데 매우 중요한 역할을 수행하며, 정수론, 대수기하학, 대수위상수학 등 다양한 분야와 밀접하게 연관된다. 또한, 암호학, 대수적 부호 이론, 이론물리학 등 응용 분야에서도 핵심적인 도구로 활용된다.
대수학을 '사칙연산 놀음'으로 여기는 일반인들의 인식과는 달리, 추상대수학은 미적분학을 따위로 만들 정도로 난해한 내용으로 점철되어 있다. 일반화가 극에 달하다 보니 고차원적인 상상력을 요구하기 때문이다.
3. 핵심 대수 구조
- 군론: 가장 기본적인 대수 구조 중 하나인 군을 연구한다. 군은 집합 G와 이항연산 ∘이 주어졌을 때, 닫힘성, 결합법칙, 항등원, 역원의 네 가지 공리를 만족하는 구조이다. 주로 대칭성이나 순환성 등을 다루며, 갈루아가 방정식의 대칭성을 연구하는 과정에서 그 중요성이 부각되었다. 루빅스 큐브의 움직임이나 결정 구조의 대칭 등은 군 이론으로 설명된다.
- 환론: 두 개의 이항연산을 가지는 대수 구조이다. 덧셈에 대해서는 아벨 군의 성질을 가지며, 곱셈은 결합법칙과 덧셈에 대한 분배법칙을 만족한다. 정수 집합(Z)이나 다항식 집합이 대표적인 환의 예이다. 환론은 가환대수학을 포함하며, 정수론과 대수기하학에 깊이 응용된다.
- 체론: 환 구조에서 나눗셈까지 자유롭게 수행할 수 있도록 곱셈에 대해서도 교환법칙, 항등원, 역원이 모두 성립하는 대수 구조이다. 사칙연산이 모두 가능한 수의 집합으로 이해할 수 있다. 유리수체(Q), 실수체(R), 복소수체(C)가 대표적인 예이며, 체론은 갈루아 이론을 통해 대수학의 근본적인 문제였던 5차 이상 방정식의 풀이 가능성 여부를 완전히 규명하는 데 핵심적인 역할을 수행했다.