#!if 문서명2 != null
, [[]]#!if 문서명3 != null
, [[]]#!if 문서명4 != null
, [[]]#!if 문서명5 != null
, [[]]#!if 문서명6 != null
, [[]]#!if 문서명7 != null
, [[]]#!if 문서명2 != null
, [[]]#!if 문서명3 != null
, [[]]#!if 문서명4 != null
, [[]]#!if 문서명5 != null
, [[]]#!if 문서명6 != null
, [[]]| 📊 중학교 수학 용어📐 | ||
| {{{#!wiki style="margin: -0px -10px -5px; min-height: 26px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -2px -12px" | <colbgcolor=#2667a9><colcolor=white> ㄱ | <colbgcolor=#fff,#191919>각뿔대 · 거듭제곱 · 결합법칙 · 계급 · 계급의 크기 · 계수 · 교각 · 교선 · 교점 · 교환법칙 · 그래프 · 근 · 근의 공식 · 근호 · 기울기 · 꼬인 위치 · 꼭짓점 |
| ㄴ | 내각 · 내심 · 내접 · 내접원 | |
| ㄷ | 다면체 · 다항식 · 단항식 · 닮음 · 닮음비 · 대각 · 대변 · 대입 · 대푯값 · 도수 · 도수분포다각형 · 도수분포표 · 동류항 · 동위각 · 두 점 사이의 거리 · 등식 | |
| ㅁ | 맞꼭지각 · 무게중심 · 무리수 · 무한소수 · 미지수 · 밑 | |
| ㅂ | 반비례 · 방정식 · 변량 · 변수 · 부등식 · 부채꼴 · 분모의 유리화 · 분배법칙 · 분산 | |
| ㅅ | 사건 · 사분위수 · 사인 · 산점도 · 산포도 · 삼각비 · 삼각형의 닮음 조건 · 삼각형의 합동 조건 · 상관관계 · 상대도수 · 상수항 · 상자그림 · 서로소 · 소수 · 소인수 · 소인수분해 · 수선의 발 · 수직선 · 수직이등분선 · 순서쌍 · 순환마디 · 순환소수 · 실수 | |
| ㅇ | 양수 · 양의 유리수 · 양의 정수 · 엇각 · 역수 · 연립방정식 · 완전제곱식 · 외각 · 외심 · 외접 · 외접원 · 원뿔대 · 원점 · 원주각 · 유리수 · 유한소수 · 음수 · 음의 유리수 · 음의 정수 · 이차방정식 · 이차함수 · 이항 · 인수 · 인수분해 · 일차방정식 · 일차부등식 · 일차식 · 일차함수 | |
| ㅈ | 작도 · 전개 · 절댓값 · 접선 · 접점 · 정다면체 · 정비례 · 정수 · 제1사분면 · 제2사분면 · 제3사분면 · 제4사분면 · 제곱근 · 좌표 · 좌표축 · 좌표평면 · 줄기와 잎 그림 · 중근 · 중선 · 중심각 · 중앙값 · 중점 · 증명 · 지수 · 직교 · 직선의 방정식 | |
| ㅊ | 차수 · 최댓값 · 최빈값 · 최솟값 · 축 | |
| ㅋ | 코사인 | |
| ㅌ | 탄젠트 | |
| ㅍ | 편차 · 평각 · 평행이동 · 포물선 · 표준편차 · 피타고라스 정리 | |
| ㅎ | 할선 · 함수 · 함숫값 · 합성수 · 항 · 항등식 · 해 · 현 · 호 · 확률 · 활꼴 · 회전체 · 회전축 · 히스토그램 | |
| 기타 | x좌표 · y좌표 · x축 · y축 · x절편 · y절편 |
1. 개요
방정식의 풀이법에 대한 문서다.2. 일원방정식
2.1. 일차방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[일차방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[일차방정식#|]] 부분을2.2. 이차방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[이차방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[이차방정식#|]] 부분을2.3. 삼차방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[삼차방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[삼차방정식#|]] 부분을2.4. 사차방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[사차방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[사차방정식#|]] 부분을2.5. 오차 이상의 방정식
결론부터 말하면 5차 이상의 방정식의 '일반적인' 대수적 근의 공식은 없다.그러나, 착각하지 말아야 할 것은 대수적인 해가 없는 것뿐이지 타원곡선, 브링 근호, 초기하함수 등을 이용하면 일반적인 해를 구할 수 있다는 점이다. 예를 들어 이 사이트에서 “Solutions for the variable x:”를 보면 방정식 [math(x^5+x+a=0)]의 일반해 다섯 개를 초기하함수로 나타낸 식이 적혀 있다. 애당초 일반적으로 말하는 근의 공식은 사칙연산과 거듭제곱근 연산만을 토대로 만들어진 식의 유무를 물어보는 것뿐이지, 초월함수 등을 이용한 대수적 범위를 벗어난 공식의 유무까지 부정하는 것은 아니다.
- 당연한 얘기지만, 인수분해가 되면 인수분해해서 다른 방정식과 같은 방법으로 해를 구하면 된다. 그중에서도 차수가 홀수인 경우 최소한 한 개의 실근이 존재[1]한다는 것을 이용해 인수 정리를 이용해 인수분해할 수 있다.
- 복삼차식이나 복사차식, 삼복이차식, 복복이차식,... 등도 근의 공식으로 해를 구할 수 있으며 최대 4차까지로 인수분해 가능한 형태이면 근의 공식으로 풀 수 있다. 당장 3차방정식, 4차방정식 근의 공식 유도 과정중에 이러한 과정이 나온다.
- 수학자 아벨이, [math(n\ge5)][2]일 때, [math(n)]차방정식은 주어진 식에서(유리수든 실수든 복소수든 관계없다.) 유한 번의 제곱근 처리 및 사칙연산으로 답을 구할 수 있는 일반화된 해법이 존재하지 않는다는 사실을 증명했다.
- 수학자인 갈루아는 '오차 이상의 대수방정식이 해법이 구해질 수 있는 조건'에 대해 논문을 썼다. 뭔가를 밝혀냈다는 말 없이 논문[3]을 썼다는 것 하나로 서술이 끝났다는 것에서 감이 잡힐 듯 싶다.
- 브링 근호(Bring radical)를 사용하면 임의의 5차방정식의 해를 나타낼 수 있다. 방정식 [math(x^5+x+a=0)]는 오직 하나의 실근을 가지는데, 이 근을 [math(\mathrm{BR}(a))] 또는 [math(\mathrm{ultraradical}(a))][4]로 정의하고 이것을 이용해 오차방정식의 해를 나타낸다. 모든 오차방정식은 치른하우스 변환(Tschirnhaus Transformation)을 통해 [math(x^5+x+a=0)]의 꼴로 축약할 수 있다. 브링 근호는 타원곡선, 초기하함수 등을 이용하여 나타낼 수 있다.
- 다만, 일반화된 해법이 없을 뿐이지, 모든 오차이상의 방정식을 사칙연산과 (거듭)제곱근을 유한번 이용해서 풀 수 없는 것은 아니다. 모든 Root of Unity[5]는 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 답을 낼 수 있으며,[6] [math(x^5 - 5x + 12 = 0)], [math(x^6 + x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0)] 등 특수한 5차 이상의 방정식이 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 계산이 가능하다는 것을 보여주는 Dummit[7]이나 Hagedorn 등 수학자들의 연구 또한 존재한다. 정확히는 어떤 주어진 5차 이상의 방정식으로 갈루아군을 만들었을 때, 가해군이 된다는 것을 보일 수만 있다면 그 방정식은 대수적인 풀이가 존재하게 된다. 다만 일반화된 5차 이상의 방정식의 경우, [math(\rm{S}_{5})] 이후의 갈루아군은 일반적으로 가해군이 아니기 때문에 대수적인 풀이는 존재하지 않는다.[8][9]
위 영상은 blackpenredpen이 설명하는 "드 무아브르" 형태 5차방정식의 근의 공식이다.
2.6. 분수방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[분수방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[분수방정식#|]] 부분을2.7. 무리방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[무리방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[무리방정식#|]] 부분을2.8. 상반방정식
특정항을 기준으로 계수만 뽑았을 때 대칭수가 되는 방정식이다. 이 경우 치환을 이용해서 식을 간단하게 만든 뒤 푸는 방법을 사용한다.- [예제]
- [짝수 차수]
- [math(5x^4-2x^3+7x^2-2x+5=0)]
양변을 [math(x^2)]으로 나누면
[math(5x^2-2x+7-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}=0\\5(x^2+\frac{1}{x^2})-2(x+\frac{1}{x})+7=0)]
여기서 [math(x+\frac{1}{x}=t)]로 치환하면
[math(5(t^2-2)-2t+7=0\\5t^2-2t-3=0\\(5t+3)(t-1)=0\\x+\frac{1}{x}=1\;또는\;x+\frac{1}{x}=-\frac{3}{5}\\x^2-x+1=0\;또는\;x^2+\frac{3}{5}x+1=0\\x=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}\;또는\;x=\frac{-3\pm\sqrt{91}i}{10}\therefore)]
- [홀수 차수]
- [math(x^5-7x^4+x^3+x^2-7x+1=0)]
좌변을 인수분해하면[10]
[math((x+1)(x^4-8x^3+9x^2-8x+1)=0)]
이제 [math(x^4-8x^3+9x^2-8x+1=0)]을 풀면 된다. 위의 짝수 차수 풀이법대로 풀면 다섯 개의 근은 다음과 같다.
[math(x=-1\;또는\;x=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}\;또는\;x=\frac{7\pm3\sqrt{5}}{2}\therefore)]
2.9. 초월방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[초월방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[초월방정식#|]] 부분을3. 부정방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[부정방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[부정방정식#|]] 부분을3.1. 디오판토스 방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[디오판토스 방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[디오판토스 방정식#|]] 부분을4. 연립방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[연립방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[연립방정식#|]] 부분을5. 미분방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[미분방정식/풀이#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[미분방정식/풀이#|]] 부분을6. 일반적인 방정식의 해법
- 일단 기본적으로는, 치환을 한 다음 인수분해를 해서 주어진 방정식을 1차 방정식들의 곱으로 만든 다음, 그 1차 방정식들에 대해 [math(ab=0)]이면 [math(a=0)] 또는 [math(b=0)]이란 사실을 이용하여 치환된 방정식의 해를 구하고 대입법과 치환된 방정식의 해를 이용해 원래 방정식의 해를 구하면 된다.
- 함수를 이용하는 방법도 있다. 자세한 내용은 다항함수/추론 및 공식 문서로.
- 수치해석학적 알고리즘를 이용해 근사값을 구할 수도 있다. 보통 무한급수의 꼴이나 점화식으로 나타내어지는데, 원하는 오차가 아무리 작더라도 그 오차 이내의 근사값을 충분히 구할 수 있다. 뉴턴-랩슨 방법, 보간법 등을 쓰는데, 이 기법들을 이용하면 연속함수로 이루어진 방정식의 대부분의 해의 근사값을 구할 수 있다.
- 다항방정식인 경우, 유리근 정리를 이용해 해의 후보군을 뽑을 수 있다. 간단히 말하면, 최고차항 계수의 약수와 상수항의 약수의 몫 중에 근이 있을 수 있다는 것이다.
- 범위가 주어진 방정식인 경우, 그 범위 내의 양 극단을 대입한 뒤 나온 결과값에 따라 그 사이로 들어가는 테크닉이 요구된다. 어차피 범위 밖의 근은 무연근이라 따져 볼 필요가 없다. 다만, 무연근을 판별해야 하는 경우는 있을 수 있다. 제한된 범위에서의 모든 근의 합이나 곱을 구하라는 삼차, 사차방정식 문제가 이렇다.
7. 활용문제
#!if 문서명2 != null
, [[]]#!if 문서명3 != null
, [[]]#!if 문서명4 != null
, [[]]#!if 문서명5 != null
, [[]]#!if 문서명6 != null
, [[]]#!if 문서명7 != null
, [[]][1] 차수가 홀수인 함수는 1사분면과 3사분면, 또는 2사분면과 4사분면을 지나기 때문에 [math(x)]절편, 즉 방정식의 실근이 존재할 수밖에 없다.[2] n이 꼭 자연수일 필요는 없지만, 자연수라면 더 좋다.[3] 다만 EBS다큐프라임 중 '자유의 수 x'에서 그 논문은 분실했다고 언급된다.[4] 숫자 5를 닮은 모양의 특수한 근호를 쓰기도 한다.[5] 단위근, [math(x^n - 1 = 0)]([math(n)]은 자연수)의 모든 해[6] 방데르몽드가 [math(x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0)]의 해인 [math(\displaystyle 2\cos\frac{2k\pi}{11} \, (k = 1, 2, ..., 5))]를 사칙연산과 제곱근 처리 몇 번으로 해결한 적이 있으며, 가우스가 정17각형 작도 가능을 증명하면서 [math(\displaystyle \cos\frac{2\pi}{17})]의 값을 카를 프리드리히 가우스 문서에 있는 식처럼 나타낸 것도 유명하다.[7] 데이비드 더밋(David S. Dummit). 대수학/교재 문서에서 리처드 푸트(Richard M. Foote)와 공저자로 참여한 그 사람 맞다. 이 논문의 내용은 그가 집필한 대수학 저서 중 14.7절 연습문제 21번에 그대로 박아두었다.[8] 5차 방정식의 경우, 중근이 없다는 조건 하에서 실근이 셋에 허근이 2개가 존재할 경우가 가해군이 되지 않는다. 이 경우의 5개의 근으로 치환을 만들 경우 [math(\rm S_{5})]와 동형이 된다는 것이 증명되어 있다.[9] 예를 들어서 5차 방정식에서 이중근이 존재할 경우에는 다음과 같이 풀이가 간단해지는데, 바로 [math(\gcd\left(f(x), f'(x)\right))]가 최소 하나의 근을 포함하는 다항식이 되며, 일단 하나의 근이 이중근으로 알려져 있으므로 3차 방정식과 1차 방정식의 제곱의 곱으로 분해할 수 있고, 따라서 3차 방정식의 풀이 과정을 따르면 된다. 삼중근의 경우도 마찬가지로 2차 방정식과 1차 방정식의 세제곱의 곱으로 분해가 되는 식으로 특수한 꼴이 된다.[10] 모든 홀수 차수의 대칭방정식은 무조건 -1을 근으로 가진다.