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비례·반비례

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1. 도입2. 정의
2.1. 정비례2.2. 반비례
3. 기호4. 그래프5. 물리량의 비례·반비례 관계6. 기타
6.1. 개념 혼동 사례

1. 도입

[math(x)]를 삼각형의 개수라 하고, 전체 삼각형의 꼭짓점 개수를 [math(y)]라 하자. 이때, [math(x)]와 [math(y)]의 관계를 나타내면 아래와 같다.
<colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\boldsymbol{x})] 1 2 3 4 5 [math(\cdots)]
[math(\boldsymbol{y})] 3 6 9 12 15 [math(\cdots)]
잘 살펴보면, [math(x)]가 2배, 3배, 4배, [math(\cdots)]일 때, [math(y)] 또한 2배, 3배, 4배, [math(\cdots)]가 된다. 이러한 관계를 정비례라 한다.

넓이가 60인 사각형의 가로의 길이를 [math(x)], 세로의 길이를 [math(y)]라 하자. 이때, [math(x)]와 [math(y)]의 관계를 나타내면 아래와 같다.
<colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\boldsymbol{x})] 1 2 3 4 5 [math(\cdots)]
[math(\boldsymbol{y})] 60 30 20 15 12 [math(\cdots)]
잘 살펴보면, [math(x)]가 2배, 3배, 4배, [math(\cdots)]일 때, [math(y)]는 [math(1/2)]배, [math(1/3)]배, [math(1/4)]배, [math(\cdots)]가 된다. 이러한 관계를 반비례라 한다.

2. 정의

2.1. 정비례

두 변수 [math(x)], [math(y)]가 정비례한다는 것은, 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f(x))]를 만족시킨다는 뜻이다.
임의의 [math(k)], [math(x)]에 대하여 [math(f(kx)=kf(x))]
이 정의를 통해 함수 [math(f)]를 묘사하는 식을 구해보자. [math(f(1)=a)]라 놓고, [math(x=1)]을 대입하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} f(k)=k(f(1))=ak \end{aligned} )]
따라서 이를 묘사하는 식은 다음과 같다.
[math(y=ax)]
즉, 상수항이 없는 일차함수이다. 이때, 나온 [math(a)]를 비례상수라 한다.

2.2. 반비례

두 변수 [math(x)], [math(y)]가 반비례한다는 것은, 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f(x))]를 만족시킨다는 뜻이다.
임의의 [math(k)], [math(x)]에 대하여 [math(f(kx)=\dfrac{1}{k}f(x))]
이 정의를 통해 함수 [math(f)]를 묘사하는 식을 구해보자. [math(f(1)=a)]라 놓고, [math(x=1)]을 대입하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} f(k)=\frac{1}{k}(f(1))=\frac{a}{k} \end{aligned} )]
따라서 이를 묘사하는 식은 다음과 같다.
[math(y=\dfrac{a}{x})]
즉, 상수항이 없는 분수함수이다. 이때, 나온 [math(a)]를 비례상수라 한다.

3. 기호

두 변수 [math(x)], [math(y)]가 정비례함을 다음과 같이 나타낸다.
[math(y\propto x)]
반비례함을 다음과 같이 나타낸다.
[math(y\propto \dfrac{1}{x})]

다만, [math(y \propto x)], [math(y \propto z^{-1})]일 때, [math(x \propto z^{-1})]은 성립하지 않는다.

4. 그래프

위에서 나온 함수식을 기억하면, 정비례와 반비례의 그래프는 다음과 같이 나옴을 예측할 수 있다.

파일:namu_정비례_반비례_그래프.webp
  • 정비례 관계 그래프의 특징
    • 정비례 관계 그래프는 원점을 지나는 직선이다.
    • [math(a>0)]이면 1사분면과 3사분면을 지나며, [math(a<0)]이면, 2사분면과 4사분면을 지난다.
    • [math(|a|)]값이 증가할수록 직선은 [math(y)]축에 가까워진다.
  • 반비례 관계 그래프의 특징
    • 반비례 관계 그래프는 쌍곡선이다. 이 식을 이용해 쌍곡선의 방정식으로 변형시킬 수 있다.
    • [math(a>0)]이면 1사분면과 3사분면을 지나며, [math(a<0)]이면, 2사분면과 4사분면을 지난다.
    • [math(|a|)]값이 감소할수록 곡선은 원점에 가까워진다.
    • 반비례 관계 함수를 부정적분하면 자연로그가 나오며[1], 1에서 자연로그의 밑 [math(e)]까지 정적분을 하면 1이 나온다.

5. 물리량의 비례·반비례 관계

과학, 특히 물리학과 화학에서 각 물리량의 관계를 식으로 나타낼 때 비례·반비례 관계가 자주 등장한다. 단순한 비례, 반비례 관계 뿐만 아니라 특정 물리량의 거듭제곱이나 거듭제곱근에 비례 또는 반비례하는 관계 역시 많다.[2]

서로 다른 두 물리량이 항상 같은 비례 관계를 가지는 것은 아니며, 특정 조건에 따라 비례와 반비례 관계가 달라지기도 한다. 가장 대표적인 예시가 전압과 전류의 관계인데, 옴의 법칙에서는 전압과 전류는 비례 관계이나, 전력 법칙에서는 반비례 관계이다. 두 물리량은 전기 저항이 일정할 때는 비례 관계이지만, 전력이 일정할 때는 반비례 관계이기 때문이다. 또한 보일 법칙과 샤를 법칙에 의하면 기체의 부피는 온도에 비례하고 압력에 반비례하지만, 단열 과정이라면 비열비와 자유도라는 개념이 등장하여 아주 복잡해진다.[3]

물리학에서 거리의 제곱에 반비례하는 물리량을 다루는 법칙이 바로 역제곱 법칙이다.

6. 기타

6.1. 개념 혼동 사례

사람들이 쉽게 혼동하는 것이, 두 변수가 증가 (또는 감소)가 동시에 일어나면 비례 관계라고 혼동하는 것이다. 예를 들어 [math(y = x^2)]의 경우, [math(x)]와 [math(y)]는 정비례 관계가 아니고, [math(x^2)]과 [math(y)]가 정비례 관계가 되는 것이다.

또한 한 변수가 커질 때 다른 변수가 작아지면 반비례 관계라고 착각하기 쉬운데 이것 또한 잘못된 생각이다. 예를 들어 [math(y=-x)]의 경우, [math(x)]가 커짐에 따라 [math(y)]는 작아지지만 이 관계는 반비례 관계가 아닌 비례 관계이다. [math(x)]가 두 배가 되면 [math(y)] 역시 두 배[4]가 되기 때문이다. 따라서 다음 설명 또한 부정확한 설명이다. "한 변수가 커짐에 따라 다른 변수도 커지고 한 변수가 작아짐에 따라 다른 변수도 작아진다고 하면 이 두 변수는 정비례 관계에 있는 것이고, 한 변수가 커지면 커질수록 다른 변수는 작아진다고 하면 이 두 변수는 반비례 관계에 있는 것이다."

결론은 커진다, 작아진다는 부정확한 표현이고, 아래와 같이 비례 관계로 정의해야 한다.
  • 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계이고
  • 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 [math(1/2)]배, [math(1/3)]배 된다면 두 변수는 반비례 관계이다.
또는
  • [math(a)]가 상수일 때 [math(y=ax)]를 만족시키는 경우 두 변수 [math(x)], [math(y)]는 정비례 관계에 있다.
  • [math(a)]가 상수일 때 [math(\displaystyle y=a/x)]를 만족시키는 경우 [math(x)], [math(y)]는 반비례 관계에 있다.
[1] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln_{}t=t^{-1})][2] 거의 대부분의 경우 네제곱 혹은 네제곱근 범위 안에서 비례·반비례가 성립하는 편이다. 물론 케플러 법칙의 제3법칙(조화 법칙)과 닮은 입체도형의 겉넓이-부피 관계처럼 제곱-세제곱 비례 관계도 존재하며, 핵력과 거리의 관계처럼 여섯제곱에 반비례하는 경우도 있다.[3] 기체의 자유도를 [math(f)]라 했을 때, 부피의 [math((f+2))]제곱과 압력의 [math(f)]제곱, 부피의 제곱과 온도의 [math(f)]제곱이 반비례 관계에 있다. 즉, 단원자 이상 기체는 부피의 5제곱이 압력의 3제곱에, 부피의 제곱이 온도의 3제곱에 반비례하고, 이원자는 부피의 7제곱이 압력의 5제곱에, 부피의 제곱이 온도의 5제곱에 반비례하며, 삼원자 이상 다원자 기체는 부피의 4제곱이 압력의 3제곱에, 부피가 온도의 3제곱에 반비례한다.[4] 음의 크기이긴 하지만

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