최근 수정 시각 : 2019-10-11 11:23:37

전류

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1. 개요2. 전류의 수학적 정의3. 전자기학의 연속 방정식
3.1. 정상 전류
4. 옴의 법칙
4.1. 정전기적 평형 상태의 도체4.2. 예외
5. 정상 전류와 경계치 문제
5.1. 전류 밀도가 따르는 방정식5.2. 경계 조건5.3. 경계치 문제5.4. 관련 예제
5.4.1. 예제 1 : 균일하지 않은 매질에 파묻힌 구5.4.2. 예제 2 : 정전기학 문제와 유사성
6. Joule 발열과 일률7. 전류와 관련된 여담
7.1. 전자와 전류7.2. 전류의 종류
7.2.1. 직류7.2.2. 교류
7.2.2.1. 학습의 어려움
7.3. 감전7.4. 전류계
8. 관련 문서

1. 개요

Electric current · 電流

전하의 흐름을 뜻하며, 단위 시간동안 어떤 단면적을 통과한 전하의 양을 의미한다. 단위는 [math(\mathrm{A})](Ampere)이다.

국제적으로 본래 전류 [math(1 \,\mathrm{A})]는 이상적이고, 매우 긴 두 도선이 [math(1\, \mathrm{m})] 떨어져있을 때, [math(2\times 10^{-7}\,\mathrm{N})]의 인력 혹은 척력을 발생시키는 전류로 정의돼있었으나, 2018년 국제도량총회에 따라 전류의 정의는 아래와 같이 바뀌었다.
전자의 전하량 [math(\boldsymbol{e=1.602\,176\,634\,8 \times 10^{-19}\,\mathbf{A \cdot s}})]가 되도록 하는 전류

2. 전류의 수학적 정의

전도 매질은 전하가 자유롭게 움직일 수 있는 매질이다. 또한, 전도 매질은 많은 수의 유동 전하가 있는 매질이다. 이 유동 전하에서는 전자, 양공, 양이온 등이 포함된다. 우리는 이제부터 이러한 매질 내에서 전하 [math(Q)]를 운반하는 매질 내의 특별한 입자에 대해서만 생각해보자. 이들의 평균 유동 속도[1]는 [math(\langle \mathbf{v} \rangle)]라 가정하자. 거시적으로는 이들이 연속적이라 가정한다. 이러한 전하가 [math(dt)]라는 시간 간격 동안 [math(d \mathbf{a})]의 미소 면적을 통과한다고 가정해보자. 이때, 이러한 전자의 농도가 [math(n)]이라 가정하면, 이러한 면적을 지나간 전하의 수[2]는 농도와 부피의 곱으로 구할 수 있다. 즉,
[math(\displaystyle dQ=qn \langle \mathbf{v} \rangle \cdot d \mathbf{a}\,dt )]
라 쓸 수 있을 것이다. 이때, 전류는 단위 시간 당 단면적을 지나간 전하의 수이므로 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{dQ}{dt}=dI=qn \langle \mathbf{v} \rangle \cdot d \mathbf{a})]
이때, [math(qn =\rho)]로 전하 농도가 된다. 왜냐하면, [math(n)] 자체는 단위 부피 당 운반자의 개수를 나타내고, 여기에 전하량을 곱하는 순간, 단위 부피 당 전하가 되기 때문이다. 이것을 이용하면, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle dI=\rho \langle \mathbf{v} \rangle \cdot d \mathbf{a})]
우리는 한 운반자만을 고려하고 있지만, 매질 내에 여러 종류의 운반자가 존재할 수도 있다. 이런 경우, 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다.
[math(\displaystyle dI=\left[ \sum_{i}\rho_{i} \langle \mathbf{v}_{i} \rangle \right] \cdot d \mathbf{a})]
이제 우리는 위의 대괄호 항을 전류 밀도(Current density)라 정의할 것이다. 즉,
[math(\displaystyle \mathbf{J} \equiv \sum_{i}\rho_{i} \langle \mathbf{v}_{i} \rangle)]
따라서 우리는 전류를 다음과 같이 정의할 수 있다.
[math(\displaystyle I=\int_{S} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a})]
따라서 전류 밀도는 단위 면적을 지나는 전류라 볼 수 있을 것이며, SI 단위계에서 흔히 [math(\mathrm{A/m}^{2})]의 단위로 쓰게 된다.

3. 전자기학의 연속 방정식

우리는 이제부터 전하의 국소 보존에 대해 논의할 것이다. 전하는 보존되어야 하므로 임의의 부피 영역 [math(V)]에서 유출된 전하의 양은 부피 영역을 둘러싸는 폐곡면 [math(S)]을 통과하는 전하와 같아야 할 것이다. 따라서 우리는 폐곡면 [math(S)]를 통과하는 전하량을 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \oint_{S} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a})]
으로 구할 수 있다.[3][4] 따라서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \oint_{S} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}=-\frac{dq}{dt})]
이때, [math(q)]는 부피 영역 내에 있는 전하를 의미함에 유의해야 한다. 따라서 [math(q)]를 전하밀도의 항으로 쓰면,
[math(\displaystyle \oint_{S} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}=-\frac{d}{dt}\int_{V} \rho\,dV=-\int_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV)]
발산 정리를 사용하면,
[math(\displaystyle \int_{V} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} )\,dV=-\int_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV)]
따라서 다음의 연속 방정식이 도출되게 된다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0)]
즉, 어떤 부피 영역 내에서의 전하 밀도의 시간 변화율은 그 부피 영역을 둘러싸는 폐곡면을 통해 유출되는 전하 밀도와 같음을 나타낸다.

만약, 우리가 다루는 매질 영역 내에 유전체가 있다면, 전류 밀도 [math(\mathbf{J})]는 외부 전류 밀도 [math(\mathbf{J}_{f})]와 구속된 전하에 의한 전류 밀도 [math(\mathbf{J}_{p})]의 합으로 쓸 수 있을 것이다. 또한, 전하 밀도 [math(\rho)] 또한, 외부 전하 밀도 [math(\rho_{f})]와 구속된 전하에 의한 전류 밀도 [math(\rho_{p})]의 합으로 쓸 수 있을 것이다. 따라서 우리는 위에서 구해진 연속 방정식을 이용하면,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot (\mathbf{J}_{f}+\mathbf{J}_{p})+\frac{\partial }{\partial t}(\rho_{f}+\rho_{p})=0)]
그런데, [math(\mathbf{J}_{f})]는 구속된 전하들의 운동 때문에 생겨나고, 우리는 전기 변위장 문서를 통해 이들을 편극 밀도 [math(\mathbf{P})]로 취급할 수 있었음을 논의했다. 따라서 우리는
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{p}=\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t})]
으로 쓸 수 있고, 전기 변위장 문서에서 우리는
[math(\displaystyle \rho_{p}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{P})]
임을 알 수 있었다. 따라서 우리는 이 두 식을 이용하면, 아래의 두 식을 얻을 수 있음을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \rho_{f}}{\partial t}=0 \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}_{p}+\frac{\partial \rho_{p}}{\partial t}=0)]

3.1. 정상 전류

정상 전류(Steady current)는 위의 연속 방정식에 대해 다음을 만족하는 전류이다.
[math(\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}=0)]
이것은 곧, 어느 지점에서 전하가 쌓이지 않는 다는 말과 같다. 즉, 어떤 부피 영역으로 부터 전하가 유출되면, 그 유출된 전하만큼 다시 전하가 유입된다는 말이다. 따라서 우리는 정상 전류의 조건을 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}=0)]
우리가 자기장 문서 혹은 그와 관련된 문서에서 다루는 것은 정자기학이다. 이 정자기학은 정상 전류라는 가정을 깔고 시작하니, 이 점 참고한다.

4. 옴의 법칙

대부분의 전도체에서 매질의 두 경계면의 전위차와 이들 사이에 흐르는 전류 간에는 간단한 선형 관계가 있고, 그것을 옴의 법칙(Ohm's law)이라 한다. 옴의 법칙은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \mathbf{J}=\sigma_{c}\mathbf{E})]
즉, 전류 밀도는 전기장에 비례하고, 그 비례 상수가 전기 전도도 [math(\sigma_{c})]임을 나타낸다. 또한, 이 전기 전도도의 역수 [math( \sigma_{c}^{-1} \equiv \rho)]는 보통 비저항이라 부른다. 사실 본래 전기 전도도는 상수가 아니라, 텐서이다. 그러나 여기서는 초급적인 전자기학을 다루고 있기 때문에 전기 전도도는 상수라 취급하기로 한다. 전기 전도도의 단위는 SI 단위계에서 [math((\Omega \cdot \mathrm{m})^{-1})]이다.

만약, 전도체가 옴의 법칙을 만족하고, 전류가 상수인 단면적 [math(A)]에 흐르고, 전도체의 길이 [math(L)]이 상수라면, 매질 내에서 [math(\mathbf{J})]와 [math(\mathbf{E})]는 상수가 되고,
[math(\displaystyle I=JA)]
로 쓸 수 있다. 만약 전도체 사이의 전위차가 [math(V)]라면, 우리는 [math(E=V/L)]이다. 옴의 법칙을 쓰면, [math(J=\sigma_{c}E)]이므로 이것들을 모두 사용하면,
[math(\displaystyle I=\frac{\sigma_{c}A}{L}V)]
이때, 여기서 나온 항
[math(\displaystyle R \equiv \frac{L}{\sigma_{c}A} )]
전기 저항이라 하고, 단위는 [math(\Omega)](Ohm)이다. 더군다나, 우리는 전도도의 역수를 비저항이라 쓸 수 있었으므로 여기서 전기 저항의 관계가 나오게 된다.
[math(\displaystyle R = \rho \frac{L}{A} )]
따라서 이것을 이용하면, 우리는 옴의 법칙을 다음과 같이 쓸 수 있음을 얻는다.
[math(\displaystyle V=IR)]
이 형태가 사실은 널리 쓰이는 형태이고, 처음으로 제시된 것이 옴의 법칙에 대한 오리지널이긴 하지만, 전자기학과 관련된 전공을 하지 않는 이상은 별로 마추칠 일은 없다. 여담으로 전압계는 전류계와 옴의 법칙을 이용하면 만들 수 있다. [5]

4.1. 정전기적 평형 상태의 도체

우리는 전기장 문서에서 정전기적 평형 상태의 도체에는 내부에 전하가 존재할 수 없다고 했다. 따라서 이 문단에서는 도체 내부의 전하가 중성화 되고, 도체 표면으로 나오는데까지 걸리는 시간을 논의하고자 한다. 도체가 옴의 법칙을 만족하고, 전기 전도도가 상수라면, [math(\mathbf{J}=\sigma_{c} \mathbf{E})]를 만족할 것이다. 따라서 이때의 연속 방정식을 쓰면,
[math(\displaystyle \sigma_{c} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=-\frac{\partial \rho}{\partial t})]
그런데 우리는 정전기장 [math(\mathbf{E})]에 대해
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=-\frac{ \rho}{\epsilon_{0}})]
따라서 우리는 다음과 같은 미분 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\sigma_{c}}{\epsilon_{0}} \rho=0)]
이 방정식의 해는
[math(\displaystyle \rho(t)=\rho(0)\exp{\left( -\frac{\sigma_{c}}{\epsilon_{0}} t \right)})]
따라서 우리는 전하밀도가 초기의 [math(e^{-1})]이 되는 시간 [math(\epsilon_{0}/\sigma_{c})]임을 알 수 있고, 이 시간을 이완 시간이라 한다. 따라서 이 이완 시간을 지나게 되면, 도체 내 전하 밀도는 0으로 수렴하고, 이것은 곧 도체 내부의 전하가 존재하지 않고, 모두 표면으로 나오거나 중성화되었음을 의미한다.

4.2. 예외

바일 금속을 이용한 실험에서 옴의 법칙이 적용되지 않는 사례가 발견되어, 2017년 8월 14일에 네이처 마테리얼스(Nature materials)에 실렸다.

그렇지만 이건 제한 적인 것으로, 이 사례에서 옴의 법칙이 적용 안되는 이유가 바로 저항이 일반적 금속에서 발생하는 값보다 상당히 낮게 발생하는 게 밝혀졌기 때문이다. 고비용과 아직 일반적인 온도에서 실현하기 힘든 초전도현상까지는 아니더라도 상당히 낮은 값의 저항값을 가진 금속으로 만들 가능성이 생겼고, 적용이 된다면 상당한 효율 상승을 기대할 수 있다. 당장은 아니더라도 저항으로 인해 효율이 낮아지는 전기 전자분야에서는 기대 할 만한 내용이다.

5. 정상 전류와 경계치 문제

이제 우리는 매질 간의 정상 전류가 흐를 때의 경계치 조건에 대해서 논의해보도록 할 것이다.

5.1. 전류 밀도가 따르는 방정식

우리는 매질 내에서 전류가 흐르던, 흐르지 않던, 매질 내 정전기장에 대해 다음이 성립함을 알고 있다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=0 )]
이제는 우리가 논의를 옴의 법칙을 만족하는 물질에 한해서 생각할 것이다. 우선 전기장의 회전은
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\mathbf{J}}{\sigma_{c}}=0 )]
으로 바뀌고, 전기장의 발산은
[math(\displaystyle \frac{1}{\sigma_{c}} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}=0 )]
이다. 우리는 전기 전도도를 상수로 취급(이것에 관해선 "옴의 법칙" 문단에서 주의를 준 바 있다.)하고 있기 때문에 전류 밀도에 대해 다음과 같이 쓸 수 있음을 얻는다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}=0 \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{J}=0 )]
적분형으로는 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.
[math(\displaystyle \oint_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a}=0 \qquad \qquad \oint_{C} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{l}=0 )]
적분영역 [math(C)], [math(S)]는 각각 어떤 면적 영역을 둘러싸는 폐곡선, 어떤 부피 영역을 둘러싸는 폐곡면을 뜻한다.

5.2. 경계 조건

파일:나무_전류밀도_경계조건-01.png

우리는 윗 문단을 통해
[math(\displaystyle \oint_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a}=0 )]
의 조건을 얻었다. 위 그림과 같이 윗면과 아랫면의 넓이가 [math(A)]이고, 높이가 [math(h)]인 원기둥에 적용하자. 이때, [math(\hat{\mathbf{n}})]은 매질 1에서 매질 2로 향한다. 우리가 만약, [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 사용하면, 옆면에 대한 기여는 없으므로 위 적분의 결과는
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}} )]
즉, 전류 밀도의 수직 성분은 경계면을 가로지를 때, 연속이 됨을 알 수 있다. 또한, 우리는 전기 퍼텐셜 문서에서 정전기학의 경계 조건을 논할 때, [math(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=0)]을 만족할 때, 전기장의 접선 성분은 경계를 가로지를 때, 연속이 된다고 했다. 즉,
[math(\displaystyle \mathbf{E}_{1} \cdot \hat{\mathbf{t}}= \mathbf{E}_{2} \cdot \hat{\mathbf{t}} )]
우리는 옴의 법칙을 만족하는 매질을 다루고 있으므로 위 조건은 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \frac{\mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{t}}}{\sigma_{1}}= \frac{\mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{t}}}{\sigma_{2}} )]
임을 나타낸다. 만약, 매질 1이 굉장히 전기 전도도가 좋다고 가정해보자. 즉, 매질 1은 도체로 볼 수 있다. 이 경우 [math(\sigma_{1} \rightarrow \infty)]이므로 위 조건에 의해
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{t}} \rightarrow 0 )]
이 되고, 우리는 옴의 법칙을 만족하는 매질을 다루고 있으므로 결국 위 식은
[math(\displaystyle \mathbf{E}_{2} \cdot \hat{\mathbf{t}} \rightarrow 0 )]
임을 나타낸 것이다. 즉, 우리가 정전기학을 다룰 때도 도체 표면의 전기장은 수직해야 한다고 말했으나, 이것이 정상 전류 분석에서도 확인이 된 것이다.

이상을 요약하면, 전류 밀도가 서로 다른 옴의 법칙을 만족하는 매질의 경계면을 가로지를 때의 경계 조건은
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}} \qquad \qquad \frac{\mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{t}}}{\sigma_{1}}= \frac{\mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{t}}}{\sigma_{2}} )]
이 된다.

5.3. 경계치 문제

우리는 위에서 경계 조건을 결정했기 때문에 이제 경계치 문제를 논의할 수 있다. 우선 우리는 정상 전류 상태를 분석하고 있기 때문에 다음이 성립한다고 했다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}=0)]
우리는 옴의 법칙을 만족하는 매질에 한하여 경계치 문제를 생각하고 있기 때문에
[math(\displaystyle \mathbf{J}=\sigma_{c}(\mathbf{E}+\mathbf{E}_{e}) )]
로 쓸 수 있다. [math(\mathbf{E}_{e})]는 정전기장이 아닌 다른 기전력 등에 의한 전기장이다. 즉, 보존적인 전기장이 아닌 비보존적인 전기장을 말한다. 이것에 대한 보충 설명은 전자기 유도 문서를 참조하라.

보존적인 전기장에 대해
[math(\displaystyle \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi )]
로 쓸 수 있고, 이때, 매질이 옴의 법칙을 만족하므로
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}=\boldsymbol{\nabla} \cdot [\sigma_{c} (-\boldsymbol{\nabla} \Phi+\mathbf{E}_{e}) ]=0 )]
위 식을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \sigma_{c} \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \sigma_{c} \cdot \boldsymbol{\nabla} \Phi= \boldsymbol{\nabla} \cdot (\sigma_{c}\mathbf{E}_{e}) )]
만약 전기 전도도가 단순하다면, 위 식은
[math(\displaystyle \sigma_{c} \nabla^{2} \Phi= \boldsymbol{\nabla} \cdot (\sigma_{c}\mathbf{E}_{e}) )]
으로 정리된다.

우선적으로 비보존적 전기장([math(\mathbf{E}_{e}=0)])이 없는 경우를 고찰해보도록 하자. 이 경우에 위 방정식은
[math(\displaystyle \nabla^{2} \Phi=0 )]
으로 정전기학의 경계치 문제와 동일해진다는 것을 알 수 있다. 또한, 우리는 경계 조건으로 부터
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}} \qquad \qquad \frac{\mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{t}}}{\sigma_{1}}= \frac{\mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{t}}}{\sigma_{2}} )]
이 성립함을 이미 알고, 전기 퍼텐셜은 경계를 가로지를 때, 연속이어야 함에 따라
[math(\displaystyle \Phi_{1}=\Phi_{2} )]
를 경계면에서 만족해야 한다. 또한, 전류 밀도의 수직 성분의 경계 조건은 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \sigma_{1} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial n}=\sigma_{2} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial n} )]
따라서 우리는 비보존적인 전기장이 없을 때, 퍼텐셜에 대한 경계 조건을 모두 구했다.

만약 비보존적 전기장이 존재한다면, 우리는 [math(\sigma_{c}\mathbf{E}_{e} \equiv \mathbf{J}_{e})]로 쓸 수 있으므로 퍼텐셜에 대한 경계 조건은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}&=\Phi_{2} \\ \sigma_{1} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial n}=\sigma_{2} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial n} &=-(\mathbf{J}_{e2}-\mathbf{J}_{e1}) \cdot \hat{\mathbf{n}} \end{aligned} )]
이 됨을 알 수 있다.

우리는 결국 위 과정으로 부터 정상 전류에 대한 경계치 문제와 정전기학의 경계치 문제는 공통성이 있음을 알 수 있다. 따라서 우리는 정상 전류에 대한 경계치 문제는 정전기학의 경계치 문제에서
[math(\displaystyle \epsilon_{i} \rightarrow \sigma_{i} \qquad \qquad \mathbf{D}_{i} \rightarrow \mathbf{J}_{i}=-\sigma_{i} \boldsymbol{\nabla} \Phi_{i} )]
그리고,
[math(\displaystyle \frac{\rho}{\epsilon} \rightarrow -\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{e} \qquad \qquad \frac{\sigma}{\epsilon} \rightarrow -(\mathbf{J}_{e2}-\mathbf{J}_{e1}) \cdot \hat{\mathbf{n}} )]
으로 대치함으로써 문제를 풀어낼 수 있음을 얻는다.

5.4. 관련 예제

5.4.1. 예제 1 : 균일하지 않은 매질에 파묻힌 구

[문제]
그림과 같이 반지름 [math(a)]인 고도로 대전된 구의 반 만큼 매질 2에 파묻혀있다. 구로 부터 지표로 흘러가는 전류 [math(I)]가 있을 때, 구와 지표 간의 저항을 구하시오. (단, 두 매질은 옴의 법칙을 만족한다.)

파일:나무_정상전류_예제1.png

[풀이 보기]
-----
우리는 구의 중심으로 부터 반지름 [math(r)]인 반구의 표면을 영역 [math(S)]라 하자. 조건에 의해 매질 2에서
[math(\displaystyle \int_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a}=I )]
구면 대칭에 의해 [math(\mathbf{J})]는 방사적이므로 전류 밀도는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \mathbf{J}=\frac{I}{2 \pi r^{2}} \hat{\mathbf{r}} )]
따라서 우리는 두 매질이 옴의 법칙을 만족 함에 따라 [math(\mathbf{E}_{i}={\mathbf{J}_{i}}/{\sigma_{i}})]로 구할 수 있고,
[math(\displaystyle \mathbf{E}_{2}=\frac{I}{2 \pi \sigma_{2} r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \qquad \qquad \mathbf{E}_{1}=\frac{I}{2 \pi \sigma_{1} r^{2}} )]
으로 구할 수 있다. 따라서 우리는 구와 지표 사이의 전위차를 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} V&=-\int_{r=a}^{r=b} \mathbf{E}_{2}\cdot d \mathbf{r}-\int_{r=b}^{r=\infty} \mathbf{E}_{1}\cdot d \mathbf{r} \\ &=-\int_{r=a}^{r=b} \frac{I}{2 \pi \sigma_{2} r^{2}}\,dr-\int_{r=b}^{r=\infty} \frac{I}{2 \pi \sigma_{1} r^{2}} \,dr \\ &=\frac{I}{2 \pi \sigma_{2}}\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)+ \frac{I}{2 \pi \sigma_{1}b} \end{aligned} )]
따라서 구와 지표 간의 저항은 [math(R=V/I)]이므로
[math(\displaystyle R=\frac{1}{2 \pi \sigma_{2}}\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)+ \frac{1}{2 \pi \sigma_{1}b} )]
이 된다.

5.4.2. 예제 2 : 정전기학 문제와 유사성

[문제]
진공 중에 매우 얇고 넓은 두 금속판이 각각 x=0</math>, x=2dx=2d에 놓여져있고, 그 사이의 0<x<d0<x<d에 전기 전도도가 σ1\sigma_{1}이고, d<x<2dd<x<2d에 전기 전도도가 [math(\sigma_{2})] 유전 물질을 채웠다. 한 쪽 금속판은 접지돼있고, 다른 쪽은 퍼텐셜 Φ=V\Phi=V로 유지시킬 때, 두 금속판 사이의 전기장 분포와 전류 밀도 분포, 경계에서의 자유 전하 밀도, 계의 저항을 구하시오. (단, 금속판의 넓이는 [math(A)]이다.)

[풀이 보기]
-----
우리는 정전기적 문제와의 유사성으로 이 문제를 풀 수있다. 이 예제를 참고하라. 해당 예제에서 [math(\kappa \epsilon_{0} \rightarrow \sigma_{1})]와 [math(\epsilon_{0} \rightarrow \sigma_{2})]로 대치함으로써 구할 수 있다. 두 금속판 사이의 전기장은
[math(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{E}_{1}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(0<x<d)\\ \\ \displaystyle \mathbf{E}_{2}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(d<x<2d)\end{array}\right. )]
로 구해지고, 우리는 옴의 법칙을 만족하는 매질만을 다루므로,
[math(\displaystyle \mathbf{J}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{1}\sigma_{2}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(0<x<2d))]
임을 알 수 있다. 우리는 매질의 경계면 [math(x=d)]의 법선 벡터가 [math(\hat{\mathbf{x}})]인 것을 참고하면,
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}} )]
이 성립함을 이 예제에서 알 수 있다.

주의해야 할 것은 전기 변위장 문서에서 이 문제를 다룰 때는 자유 전하가 없다고 했지만, 우리는 전류가 흐르는 상황을 고려하므로 이 예제에서는 경계면에 자유 전하가 모이게 된다는 점이다. 따라서 경계에서의 자유 전하는
[math(\displaystyle \mathbf{D}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{D}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \sigma_{f} )]
으로 구할 수 있으므로
[math(\displaystyle \epsilon_{2}E_{2}-\epsilon_{1}E_{1}= \sigma_{f} )]
을 이용하면, 경계에서의 자유 전하 밀도가 나온다:
[math(\displaystyle \sigma_{f}=\frac{\epsilon_{1}\sigma_{2}-\epsilon_{2}\sigma_{1}}{d(\sigma_{1}+\sigma_{2})}V )]

우리는 계의 저항 [math(R=V/I)]로 구할 수 있었으므로 저항은
[math(\displaystyle R=\frac{V}{JA}=\frac{V}{\sigma_{1}E_{1}A}=\frac{V}{\sigma_{2}E_{2}A} )]
이때, 위의 정보를 모두 종합하면, 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다. 이것은 위키러의 몫으로 남겨둔다.
[math(\displaystyle R=\frac{d(\sigma_{1}+\sigma_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}A} )]
그런데, 이 식을 잘 분해하면,
[math(\displaystyle R=\frac{1}{\sigma_{1}}\frac{d}{A}+\frac{1}{\sigma_{2}}\frac{d}{A})]
으로, 결국엔 각각의 저항의 합임을 알 수 있다. 우리가 저항의 연결에서 배웠던 것을 생각하면, 이 문제는 결국 두 저항이 직렬로 연결되어 있으므로 타당한 결과를 얻었음을 알 수 있다.

6. Joule 발열과 일률

우리는 이제 어떤 매질 내의 미소 전하 운반체 [math(dq)]에 가해지는 전기장이 [math(\mathbf{E})]라 가정하고, 이 전기장 때문에 운반체가 [math(d\mathbf{l})]만큼 움직였다고 가정하자. 또한, [math(dq=\rho\,dV)]형태로 쓸 수 있으므로 우리는 전기장에 의한 일을
[math(\displaystyle dW=(\rho\,dV)\mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} )]
로 쓸 수 있다. 만약 전하가 [math(dt)]만큼의 시간 동안 [math(d\mathbf{l})]만큼 움직였다면,
[math(\displaystyle d \mathbf{l}= \langle \mathbf{v} \rangle\,dt )]
우리가 [math(\langle \mathbf{v} \rangle)]가 전하의 평균 유동 속도라 하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle dW=\rho \langle \mathbf{v} \rangle \cdot \mathbf{E}\,dVdt )]
그런데, 전류 밀도의 정의 [math(\mathbf{J} \equiv \rho \langle \mathbf{v} \rangle)]을 쓰면,
[math(\displaystyle dW=\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}\,dVdt )]
따라서 우리는 단위 시간 동안에 한 일은
[math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}\,dV )]
이고, 따라서 우리는 유한한 부피 영역에서 얻어지는 전기장에 의한 일률은
[math(\displaystyle P=\int_{V}\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}\,dV )]
로 쓸 수 있음을 얻는다. 만약, 매질이 옴의 법칙을 만족한다면,
[math(\displaystyle P=\int_{V}\sigma_{c} E^{2}\,dV )]
으로 쓸 수 있다. 따라서 이 에너지는 매질의 열원으로 작용하게 하여, 열을 내게 하는 데 이것을 줄 발열(Joule heating)이라 한다. 참고로,
[math(\displaystyle \frac{dP}{dV}=\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} )]
으로 쓸 수 있고, 이것을 일률 밀도라 한다.

우리는 서로 반대의 면 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]가 각각 등전위 영역이 되는 경우를 고려해보자. 만약 미소 전하량 [math(dq)]이 전기장 [math(\mathbf{E})]에 의해 미소 시간 [math(dt)]만큼 이동했다면,
[math(\displaystyle dW=dq\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r} )]
가 된다. 이때,
[math(\displaystyle \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r} \equiv V)]
라 놓고, 우리가 전류 [math(I=dq/dt)]임을 이용하면,
[math(\displaystyle dW=\frac{dW}{dt}\,dt=IV\,dt )]
로 쓸 수 있으므로 우리는 일률을
[math(\displaystyle P=IV )]
로 쓸 수 있음을 얻는다. 만약 옴의 법칙을 만족시키는 매질이라면, 우리는 일률을 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle P=I^{2}R )]

7. 전류와 관련된 여담

7.1. 전자와 전류

초,중,고등학교에서 전기파트를 배울 때 도선에서 전류의 방향이 전자의 이동 방향과 반대인 게 신기하게 느껴졌을 텐데, 이것은 별 건 아니고 금속에서 전자가 전류를 흐르게 한다는 사실이 전류를 정의한 것보다 훨씬 뒤에 발견되었기 때문이다. 원래 전기는 양극에서 음극으로 흐른다고 정의했으나, 후에 전자가 음극에서 양극으로로 이동한다는게 밝혀졌다.

P형 반도체에선 본래 있던 전자가 이동해 버리면 그 구멍을 채우기 위해 옆에있던 전자가 그 자리를 채우고.. 해서 전체적으로 보았을 때 양공[6]이 전류를 흐르게 하는 것 처럼 보인다.

위의 말을 간단히 설명하자면 공이 한줄로 가득찬 관을 생각해 보자, 왼쪽에서 공을 하나 더 밀어넣으면 동시에 반대편에서 공이 나올 것이다.

이러한 과정들이 연쇄적으로 이루어지기 때문에 우리는 스위치를 켜자마자 전기를 사용할 수 있는것이다. 만일 전자가 전원으로부터 직접 움직여서 전기가 통하는 식이라면 우리는 스위치 넣고도 발전소에서 집까지 전기가 오는데 한참 기다려야 한다. 실제로 전자가 도선을 따라 움직이는 평균속도는 그렇게 빠르지 않다. 지름 [math(1\,\mathrm{mm})]인 구리도선에 [math(3\,\mathrm{A})]의 전류가 흐른다면 전자의 평균 드리프트 속도는 고작 [math(0.28\,\mathrm{mm/s})] 이다. 전자의 순간 속도는 광속에 근접할 만큼 매우 빠르나, 도선 안에서는 도선의 양성자들에 부딪혀 이리저리 튕겨나가 제 속도를 못 내기 때문이다.[7][8] 에너지가 순식간에 전달되는 이유는 전기장이 생기기 때문이다. 달팽이처럼 기어가는 전자의 속력에 비해 전기장은 광속으로 생성되고 퍼진다.

7.2. 전류의 종류

7.2.1. 직류

직류(Direct current)란 전류가 흐르는 모습 중 하나로, 줄여서 DC라고 부른다.

인류가 전기에 대해 연구하면서 처음으로 접하게 된 전류이다. 화학적인 원리로 전지 등을 통해 자연스럽게 접하고 생산되기가 쉬웠기 때문이다. 우리가 알고 있는 모든 전지와 생물 전기는 화학적 원리를 기반으로 하는 직류이다. 당연히 전기 시대 초기에는 대부분 직류를 통해 전기의 생산과 소비, 연구가 이루어졌다.

직류는 시간에 따른 전력의 변화가 없기 때문에 전기 회로의 설계, 해석, 표현이 훨씬 단순하고 안정적이며 효율적이다. 그래서 현재도 주변에서 흔히 볼 수 있는 대부분의 전자제품은 직류를 이용하고 있고 이용하게끔 설계 된다. 교류 전원을 공급 받는 제품도 내부적으로는 변압과 정류를 통해 직류로 변환하여 사용하며 전지를 쓰는 제품은 애초에 전지 자체가 직류 전원이다.[9]

이렇게 다 좋아보이는 직류 전원도 치명적인 단점이 하나 있는데 변압이 힘들다는 것이다. 전기가 갓 보급되기 시작했던 초기에는 교류 개념이 없다보니 발전 및 송전 시설들이 죄다 직류를 다루게 설계 되었는데 승압 강압이 어렵다보니 송전 시에 오만가지 트러블이 발생했다. 송전 가능한 거리도 너무 짧고 손실도 너무 크고 어찌어찌 받아보니 전압이 일정하지도 않았던 것이다. 때문에 이러한 문제로 송변전 분야에서는 교류에게 완전히 밀려나게 된다.

현재는 위의 단점도 옛말이 되어가고 있다. 각종 전력 소자와 기술의 눈부신 발달로 직류도 초소형 변압 회로가 흔히 쓰이게 되었고 필요하다면 수십만볼트 이상도 만들어 낼 수 있게 되었다. 지금은 송전에 교류가 주로 쓰이지만 같은 전압을 송전할 때는 직류 쪽의 손실이 적기 때문에 초고압 직류 송전에 대해 많은 연구와 활용이 이뤄지고 있다. 관심있는 위키러라면 HVDC를 검색해 보도록 하자. 차세대 송전법으로 고부가가치 사업인데 특히나 국토가 넓은 중국, 인도, 브라질, 오스트레일리아 등에서 사용하고 있다.

유럽연합에서는 교류 송전을 직류 송전으로 바꾸려고 하고 있다. 초고압직류송전(HVDC) 프로젝트라고 해서 전 유럽의 전력 양식을 직류송전으로 통일하려고 시도중.

7.2.2. 교류

파일:나무위키상세내용.png   자세한 내용은 교류(전기) 문서를 참고하십시오.

7.2.2.1. 학습의 어려움
직류는 위에서 보았듯, 시간에 따라 전류 변화가 발생하지 않기 때문에 수학적 분석이나, 학습에 별로 어렵지 않다. 다만, 시간에 따라 변하는 전류인 교류는 조금 문제가 된다. 이때문에 교류는 전자·전기공학도들을 힘들게 하는 주범이 된다.[10] 분석에 삼각함수는 기본이고, 복소수, 미적분까지 들어가기 때문에 오늘도 전자·전기공학도들은 죽어나가고 있다.

7.3. 감전

감전으로 인해 사람이 사망하는 이유로 헷갈리거나 궁금해 하는 사람이 많은데 굳이 따지자면 감전사의 직접적인 원인은 전류이다. 다만 가장 근본적이고 직접적인 원인을 정의에서부터 따지고 들어간 후에 하나만 꼽아보자면 전류라는 것이지 다른 전기적 요소가 감전사의 조건이 아니라는 것이 아니다. 그저 평범하게 '감전사의 조건'이라하면 전압, 전류뿐이 아닌 매우 많은 요소가 있다. 감전으로 인해 사망에 이르려면 인체가 포함되는 전기적 회로가 구성되어 치사량의 전류가 통전해야 하는데, 이때 인체의 임피던스[11], 통전경로 및 시간, 접촉전압, 접촉면적, 주파수 등 에 따라 통전전류의 크기가 결정된다. 즉 몇 [math(\mathrm{A})]의 전류가 흐르는가만 놓고 감전사를 하는지 안하는지는 알 수 없다는 것이다. 위의 설명이 복잡하다면 흔히들 알고 있는 옴의 법칙으로 생각해봐도 좋다. 단순히 인체의 피부저항[12]을 뚫고 일정량의 전류를 흐르게 하려면 일정크기의 전압도 필요하다는 것을 알 수 있을 것이다. 따라서 감전사의 원인이 전류라고 하는 것도, 전압이라고 하는 것도 100% 옳다고는 볼 수 없다는 것이다. 결국원인이 전류니 전압이니 하는 것은 단어의 정의 등으로 하는 말장난에 불과하다.

감전사에 영향을 끼치는 전기적 요소들의 관계들에 대해 실례로 알아보면 정전기테이저건을 보면 된다. 정전기의 경우 전압은 수만 [math(\mathrm{V})], 전류도 [math(1\,\mathrm{A})]에 달하지만 통전시간이 [math(1\,\mu\mathrm{s})]수준이기에 실질적인 통전전류의 크기는 매우 작으며, 테이저건의 경우 사람에게 명중시 최대전압이 [math(1200\,\mathrm{V})]에 달하지만 전류는 고작 [math(2\,\mathrm{mA})]정도이기에 사람이 죽지 않는다. 그리고 가끔 치사량의 전류가 흐르지 않았음에도 감전사 하는 경우를 볼 수 있는데, 이 경우에는 통전경로를 의심할 수 있다. 감전사는 대부분의 경우 심실세동에 의한 사망인데 아무리 작은 전류여도 심장에 가깝게 흐를수록 심실세동이 일어날 확률이 높기 때문이다.

하지만 이런 세세한 내용은 차치하고 결과적으로 우리가 실생활에서 가장 주의해야 할 것은 단연코 전압이다. 위에서도 말했듯이 전류가 흐르려면 전압이 필요한 것이고, 전압이 높으면 높을수록 전류는 많이 흐르며, 높은 저항 값에도 전류를 흐르게 할 수 있기 때문이다. 거기다 사람에게 치명적인 전류량은 매우 작은 값이며, 주변에서 흔히 접하는 전기는 교류이기에 불수전류[13]값도 [math(15\,\mathrm{mA})]수준으로 매우 낮아 한번 감전되면 남의 도움 없이는 탈출할 수 없고 통전시간이 길어지면 결국 전류가 작아도 사망에 이를 수 있다.

아래는 전류와 인체의 반응을 서술해놓은 표이다.
전류 인체의 반응
[math(0.67\,\mathrm{mA})] 성인 여성이 전류가 흐르는 것을 느낄 수 있다.
[math(1\,\mathrm{mA})] 성인 남성이 전류가 흐르는 것을 느낄 수 있다.
[math(5\,\mathrm{mA})] 평균적인 여성이 참기 힘든 고통을 느낀다.
[math(8\,\mathrm{mA})] 평균적인 남성이 참기 힘든 고통을 느낀다.
[math(10\,\mathrm{mA})] 통증을 견딜 수 없다. (고통한계전류)
[math(20\,\mathrm{mA})] 근육의 수축이 심해 벗어날 수 없다. (불수전류)
[math(50\,\mathrm{mA})] 상당히 위험하다. (순간치사가능성)
[math(100\,\mathrm{mA})] 치명적. (심실세동전류)
심실세동전류까지 가게 되면 심장의 전류가 교란되어 심장마비나 심실세동이 일어난다. 그보다 적은 양이라고 안심할 수 없는 게 전류가 어떻게 흐르냐에 따라 위험도가 다르기 때문. 왼손을 타고 흐르는 전기는 심장을 다이렉트로 직격할 수 있기 때문에 꽤 위험하다.

7.4. 전류계

전류를 측정하는 기구를 전류계라 하는데 션트라 불리는 전기 저항이 작은 저항을 전기 회로에 직렬로 연결하여 양단의 전압차를 측정, 옴의 법칙을 이용해 전류를 구한다.

8. 관련 문서


[1] 도체 등에서 움직이는 전하를 띤 입자들의 평균 속도[2] 사실 농도 자체가 평균의 개념을 포함하고 있기 때문에 아래의 미소 전하는 사실 평균적인 값이다.[3] 왜냐하면, 어떤 물리량 [math(\mathbf{F})]에 대해 [math(\displaystyle \oint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a})]는 어떤 폐곡면 [math(S)]를 통해 유출 혹은 유입되는 물리량을 뜻하기 때문이다.[4] 이것은 [math(d \mathbf{a})]의 방향이 부피 영역 [math(V)]에 대해 밖으로 나가는 방향이라는 암묵적인 가정이 있다.[5] 전류계는 사실 전압에 관계없이 흐르는 전류의 세기만 측정하는 것이므로 여기에 저항을 직렬로 연결하면 된다. 그리고 흐르는 전류의 세기에 저항을 곱해서 전압의 크기를 알 수 있다. 고압전압계 만드는 영상 참조[6] 전자가 없어서 생긴 구멍. 전자를 물에 비유한다면 양공은 공기방울에 해당한다. 양전하를 가진 전자처럼 행동한다. 이 성질 때문에 준입자로 취급한다.[7] 그러면서도 전기장에 의해 조금씩 앞으로 나아가는데 이것의 속도를 드리프트 속도(drift velocity)라고 한다.[8] 음극선관 내의 음극선의 경우 관내가 진공이기 때문에 전자의 이동속도는 매우 빨라지게 된다. 이런 식으로 진공에서 전자 자체의 이동으로 전류가 흐르는 것을 대류 전류라고 한다.[9] 교류를 생산하는 전지는 존재하지 않는다![10] 고등학교 때 물리Ⅱ를 선택하면 아주 약간 맛볼 수는 있다, 이제는 중학교 3학년 과정에서도 약간 나온다.[11] 피부, 혈액, 근육의 저항 등[12] 연령, 성별, 부위, 수분 함유량 등에 따라 매우 큰 차이가 나나 통상적으로 [math(2500 \sim 5000\,\Omega)]을, 물에 젖어있는 상태 등의 경우 [math(500\,\Omega)]을 기준으로 잡는다.[13] 통전경로의 근육이 경련을 일으키고 신경이 마비되어 스스로 전원에서 이탈할 수 없는 상태. 쉽게 말하면 감전됐지만 스스로는 뗄 수 없는 상태!

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