1. 개요
magnetic potential전기장에서 퍼텐셜을 도입하였듯, 비슷하게 자기장에서도 퍼텐셜을 도입한 것이다.
이 문서에서는 정자기학 조건에서의 자기 퍼텐셜을 다루며, 정자기학에서 자기 퍼텐셜을 언급하면 거의 "자기 벡터 퍼텐셜"을 말하며, 그 외에도 특정한 조건에서 정의되는 "자기 스칼라 퍼텐셜" 두 가지가 있다.
2. 자기 벡터 퍼텐셜
자기장은 일반적으로 발산의 수치가 0인 비발산장이다. 즉,| [math(\bm{\nabla\cdot\bf B} = 0{\rm\,Wb/m^3})] |
| [math({\bf B} = \bm{\nabla\times\bf A})] |
2.1. 유일성 여부
벡터 퍼텐셜 [math(\bf A)]에 어떤 스칼라 [math(\Lambda)][1]의 그래디언트를 더한 새로운 벡터 퍼텐셜 [math(\bf A')]을 가정하자.| [math({\bf A'} \equiv {\bf A} + \bm\nabla\Lambda)] |
| [math(\bm{\nabla\times\bf A'} = \bm{\nabla\times\bf A} + \bm\nabla\bm\times(\bm\nabla\Lambda))] |
| [math(\bm{\nabla\times \bf A'} = \bm{\nabla\times\bf A})] |
2.2. 방정식
앙페르 법칙에서| [math(\bm{\nabla\times \bf B} = \mu_0{\bf J})] |
| [math(\bm\nabla\bm\times (\bm{\nabla\times\bf A}) = \mu_0{\bf J})] |
| [math(\bm\nabla(\bm{\nabla\cdot\bf A}) - \nabla^2{\bf A} = -\mu_0{\bf J})] |
| [math(\nabla^2 {\bf A(r)} = -\mu_0{\bf J(r)} )] |
| [math(\nabla^2 A_i({\bf r}) = -\mu_0 J_i({\bf r}) \quad (i=x,\,y,\,z))] |
| [math(\displaystyle A_i({\bf r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_i({\bf r'})}\xi{\rm\,d}V' \quad (i=x,\,y,\,z))] |
| [math(\displaystyle {\bf A(r)} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\bf J(r')}\xi{\rm\,d}V')] |
2.3. 자기 선속과의 관계
어떤 면적 [math(S)]를 지나가는 자기 선속(magnetic flux) [math(\varPhi)]는 아래와 같이 구할 수 있다.| [math(\displaystyle \varPhi = \iint_S {\bf B\bm\cdot{\rm d}a})] |
| [math(\displaystyle \varPhi = \iint_S (\bm{\nabla\times\bf A})\bm\cdot{\rm d}{\bf a})] |
| [math(\displaystyle \varPhi = \oint_C {\bf A\bm\cdot{\rm d}l})] |
2.4. 경계 조건
위 그림과 같이 매질 [math(\sf I)], [math(\sf II)]를 고려하자. 정자기학에서 쿨롱 게이지 조건
| [math(\bm{\nabla\cdot\bf A} = 0{\rm\,Wb/m^2})] |
| [math(\displaystyle \oiint_S {\bf A\bm\cdot{\rm d}a} = 0{\rm\,Wb{\cdot}m})] |
| [math(\begin{aligned} \oiint_S {\bf A\bm\cdot{\rm d}a} &= [{\bf A_2\bm\cdot\hat n{\rm\,m} - A_1\bm\cdot\hat n{\rm\,m}}]l \\ &= 0{\rm\,Wb{\cdot}m} \end{aligned})][2] |
| [math({\bf A_1\bm\cdot \hat n} = {\bf A_2\bm\cdot\hat n})] |
이번엔
| [math(\displaystyle \varPhi = \oint_C {\bf A\bm\cdot{\rm d}l})] |
| [math(\displaystyle \oint_C {\bf A\bm\cdot{\rm d}l} = {\left[{\bf A_2\bm\cdot\hat t - A_1\bm\cdot\hat t}\right]}l)] |
| [math({\bf A_2\bm\cdot\hat t - A_1\bm\cdot\hat t} = 0{\rm\,Wb/m})] |
| [math({\bf A_1\bm\cdot\hat t = A_2\bm\cdot\hat t})] |
따라서 두 성분이 모두 연속이므로, 위의 논의는 경계면을 가로지를 때 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이어야 함을 얻는다. 즉, 경계면을 가로지를 때
| [math(\bf A_1 = A_2)] |
2.5. 자기 쌍극자의 자기 벡터 퍼텐셜
2.6. 관련 예제
3. 자기 스칼라 퍼텐셜
위의 자기 벡터 퍼텐셜은 자기장이 비발산장이기 때문에 정의될 수 있었다. 그러나 자기장도 특정한 조건에서는 비회전장을 만족하기 때문에 전기장처럼 스칼라 퍼텐셜을 도입할 수 있다. 앙페르 법칙| [math(\bm{\nabla\times \bf B} = \mu_0{\bf J})] |
| [math(\bm{\nabla\times\bf B} = {\bf0}{\rm\,Wb/m^3})] |
| [math({\bf B} = -\mu_0 \bm\nabla\varPhi_m)] |
4. 관련 문서
- 물리학 관련 정보
- 자기장
- 벡터 퍼텐셜
- 전기 퍼텐셜 - 전위라고도 부른다. 전기 퍼텐셜과 비교해보는 것도 좋은 공부 방법이다.
- 자위 - 전기공학 분야에서는 실제로 자기 퍼텐셜을 이 용어로 부른다. 전기 관련 자격증을 공부하면서 전자기학 등을 접하는 경우라면 질리도록 볼 수 있다.[4]
[1] 차원 분석상 [math(\dim{\bf A}={\sf MLT^{-2}I^{-1}})]이므로 [math(\Lambda)]는 정확하게 자기선속과 같은 차원 [math(\sf ML^2T^{-2}I^{-1})]을 가지며 따라서 [math({\rm J/A} = {\rm Wb})]단위로 기술이 가능하다.[2] 단위 벡터는 어떤 물리량 벡터를 단위를 포함하여 그 크기로 나눈 것이기에 무차원량(차원 [math(\sf1)])이다. 좌변의 적분은 단위가 [math(\rm Wb/m)]인 자기 퍼텐셜과 단위가 [math(\rm m^2)]인 면적의 곱이므로 단위가 [math(\rm Wb{\cdot}m)]가 되는데, [math(\bf A\bm\cdot\hat n)]은 자기 퍼텐셜과 똑같은 단위를 가지므로 [math(\rm m)]를 붙여서 계산해야 양변의 차원 관계가 같아진다.[3] 앞에 붙은 [math(\mu_0)]는 자기장 세기 문서를 읽어보면 알 수 있다.[4] '자기력에 의한 위치 에너지' 정도인 듯하다.