최근 수정 시각 : 2019-06-13 02:34:15

맥스웰 방정식

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1. 개요2. 자주 사용되는 형태
2.1. 진공에서의 맥스웰 방정식
2.1.1. 적분형2.1.2. 미분형
2.2. 물질에서의 맥스웰 방정식
2.2.1. 적분형2.2.2. 미분형
2.3. 퍼텐셜 형
3. 식의 의미4. 여담
4.1. 난해함4.2. 후폭풍
4.2.1. 로런츠 변환의 등장4.2.2. 전자기파의 매질은?4.2.3. 전자기파는 파동인가?
4.3. 전자기파와 관련된 문서
5. 부록 : 다른 형태의 맥스웰 방정식
5.1. 다른 단위계에서 맥스웰 방정식 미분형 (진공)5.2. 4-Potential 형태5.3. 텐서5.4. 미분형식 형태
6. 관련 문서

1. 개요

Maxwell equation

전자기학에서 전기장자기장에 관한 4개의 방정식을 의미하며, 1865년에 맥스웰 (J. C. Maxwell; 1831~1879)이 유도하였다.[1]

참고할 것은, 아래에 나와 있는 식들은 고전역학, 기껏해봤자 특수 상대성 이론 범위 내에서만 적용되는 식이다. 일반 상대성 이론으로 넘어가면 일반식이 난해하고 너저분해지며, 전자기학의 양자역학 버전이라고 할 수 있는 양자 전기역학으로 가면 아예 이런 식으로 계산을 하지 않는다.

2. 자주 사용되는 형태

아래는 학부 전자기학 수준에서 자주 사용되는 형태만 나열하였다. 그 외에서의 맥스웰 방정식은 부록 문단에 있으므로 참고한다. 또한 이 문서는 가장 흔히 사용되는 SI 단위계에서의 맥스웰 방정식을 나열하였으며, 다른 단위계에서의 맥스웰 방정식은 맨 맽 부록 문단에서 소개하였다.

2.1. 진공에서의 맥스웰 방정식

이 문단에서는 거시적이고, 진공상의 전자기장을 기술할 때 쓰이게 된다.

2.1.1. 적분형

[math(\displaystyle \begin{aligned} \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a}&=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_{0}} \\
\oint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}&=0 \\
\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l}&=- \frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a} \\
\oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}&=\mu_{0}I_{\text{enc}}+\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a}
\end{aligned} )]
[math(\mathbf{E})]는 전기장, [math(\mathbf{B})]는 자기장, [math(\partial V)]는 어떤 부피 영역 [math(V)]를 둘러싸는 폐곡면을 뜻하며, [math(\partial S)]는 어떤 면적 영역 [math(S)]를 둘러싸는 폐곡선이다.

각각은 아래를 나타낸다. 의미는 의미 문단에 서술되어 있으며, 더 깊은 내용을 원한다면, 각각의 문서를 참조하도록 한다. 또한, 적분형과 미분형은 이 뒤로도 이 순서로 나열되어 있다.
첫 번째 식 전기장에 대한 가우스 법칙
두 번째 식 자기장에 대한 가우스 법칙
세 번째 식 패러데이 법칙
네 번째 식 앙페르 법칙

특히 첫 번째 식은 전하 밀도 [math(dQ/dV =\rho)]를 사용하면, 아래와 같이 적분형으로 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a}&=\frac{1}{\epsilon_{0}}\int_{V} \rho\,dV \end{aligned} )]

네 번째 식 또한, 같은 논법으로 전류 밀도 [math(\mathbf{J})]를 사용하면,
[math(\displaystyle \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\mu_{0}\int_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a}+\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a} )]
으로 나타낼 수 있다.

2.1.2. 미분형

위의 적분형은 벡터 해석학을 이용하면, 아래와 같이 델 연산자를 포함한 식으로 간략히 나타낼 수 있다. 복잡한 기호가 사라져서 가독성이 높고, 적분형 보다 활용하기 쉬워서 많이 사용된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E}&=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \\
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B}&=0 \\
\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}&=\mu_{0} \mathbf{J}+\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \\
\end{aligned} \end{aligned} )]

2.2. 물질에서의 맥스웰 방정식

이 문단에서는 진공과 달리 유전율과 투자율이 달라지는 물질 내에서의 맥스웰 방정식을 서술하였다.

2.2.1. 적분형

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\oint_{\partial V} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{a}&=Q_{f} \\
\oint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}&=0 \\
\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}&=-\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} \\
\oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l}&=I_{f}+\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{a} \\
\end{aligned} )]

물질 속에서는 물질의 편극 효과를 고려한 새로운 장 전기 변위장 [math(\mathbf{D})]와 자기장 세기 [math(\mathbf{H})]으로 기술될 수 있다. 이 장에 대한 정보는 각 문서를 참조하라.

진공에서와는 달리 첫 번째 식과 네 번째 식의 전하와 전류는 각각 자유 전하 [math(Q_{f})]와 자유 전류 [math(I_{f})]로 대치된 것에 유의하여야 한다. 이들은 장의 편극으로 생긴 것이 아닌 물리량만 고려해주게 된다. 자세한 의미는 전기 변위장자기장 세기 문서에 나와 있다.

진공에서와 같은 논법으로 자유 전하 밀도 [math(\rho_{f})]와 자유 전류 밀도 [math(\mathbf{J}_{f})]를 사용하면, 첫 번째 식과 네 번째 식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\oint_{\partial V} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{a}&=\int_{V} \rho_{f}\,dV \\
\oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l}&=\int_{S} \mathbf{J}_{f} \cdot d\mathbf{a}+\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{a} \\
\end{aligned} )]

2.2.2. 미분형

마찬 가지로, 벡터 해석학을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{D}&=\rho_{f} \\
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B}&=0 \\
\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}&= \mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \\
\end{aligned} \end{aligned} )]
의 형태로 쓸 수 있다.

2.3. 퍼텐셜 형

벡터 해석학적을 이용하면, 각 장은 퍼텐셜로 나타낼 수 있다. 전자기학에선 대표적으로 전기 퍼텐셜 [math(\Phi)]과 자기 퍼텐셜 [math(\mathbf{A})]가 있다. 이들은 다음과 같은 관계가 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \qquad \qquad \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} )]
따라서 이들을 이용하면, 맥스웰 방정식은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 자세한 유도 과정은 전자기파 방사 문서에 나와있다. 따라서 이 문서에서는 결과만을 적는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nabla^{2}\mathbf{A}-\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} &=-\mu_{0}\mathbf{J}\\ \nabla^{2} \Phi -\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}} &=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \end{aligned} )]
이때, [math(\epsilon_{0} \mu_{0}=c^{-2})]와 다음의 달랑베르시안(d'Alembertian) 연산자
[math(\displaystyle \nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} }{\partial t^{2}} \equiv \Box )]
를 이용하면 위의 식은 더욱 간단하게 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \Box \mathbf{A}=-\mu_{0}\mathbf{J}\qquad \qquad \Box \Phi=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}} )]

3. 식의 의미

맥스웰 방정식을 이해하기 위해서는 벡터 미적분에 대한 이해가 필수적이다. 괜히 보통 전자기학 교재의 1단원이 벡터미적분인 게 아니다. 직교좌표계뿐만 아니라 원통 및 구면 좌표계를 사용한 미적분에 익숙해져야 하며, 델 연산자를 사용한 그레이디언트, 발산, 회전, 는 특히 중요하다. 또한 발산과 발산 정리, 회전과 스토크스의 정리를 연관지어 살펴보면 좋다.

3.1. 전기장발산

전기장의 근원은 전하이다.

즉, 유전율과 전기장의 곱인 전기 변위장의 발산을 공간에 대해 적분하면 그 공간 안의 전하량을 알 수 있다. 다시 말하면 전기장을 발생시키는 근원은 전하라는 뜻이다.

전하는 [math( (+) )], [math( (-) )] 전하가 있고 이 식으로 나타나는 특징 중 하나가 [math( (+) )]극과 [math( (-) )]극은 분리가 된다.

흔히 중고등학교 때 배우는 전기장의 근원에 대한 실험 법칙인 쿨롱 법칙에서 유도되었다. 쿨롱 법칙은 원거리 간에 힘이 작용한다는 발상이지만, 이것을 장이론으로 확장하면 전하가 주위에 장을 만들고 이 장이 다른 전하와 근접 상호 작용한다는 개념으로 진화한다.

폐곡면 안의 공간상에 전하가 존재하고 이 전하에게서 전기력선이 나온다고 했을 때, 쿨롱법칙으로 전기력선의 밀도와 방향을 구하면 전기장과 폐곡면의 법선벡터와의 내적을 적분해서 전기 선속를 계산할 수 있다.[2] 그리고, 그 결과는 곡면이 어찌 생겨먹었든 폐곡면이라면 내부에 있는 전하의 합에 비례한다. 적절한 가우스 법칙의 적용과 적분식을 적절한 가우스 정리로 미분식으로 바꿔버리면 첫 번째 식이 도출된다.

여담으로, HIGH TOP 같은 참고서에도 이 가우스 법칙이 나와 있지만, 당연히 고등학교 수준에서는 이해하기에는 무리가 있다.

3.2. 자기장발산

자기장은 근원이 없다.
파일:나무위키상세내용.png   자세한 내용은 자기장 문서의 해당 부분을 참고하십시오.

3.3. 전기장회전

자기장의 변화는 전기장을 만든다

전기장과 자기장은 모두 공간과 시간에 대한 함수이다. 이때 자속밀도가 시간에 따라 변화하게 되면 전기장이 공간에 따라 변화하게 되는데 전기장은 전하당 받는 힘을 말한다. 따라서 힘이 공간에 따라 변화하게 되면 힘의 차이에 의해 전위차가 발생하게 된다. 즉 페러데이의 법칙. 한마디로 발전기의 원리다.

3.4. 자기장회전

전류와 전기장의 변화는 자기장을 만든다

전류가 흐를 때 자기장이 생성된다는 앙페르의 법칙에 맥스웰이 전기장의 변화도 자기장을 만든다는 내용을 추가한 것. 자세한 내용은 전자기파 문서를 참조한다.

전류가 흐르는 도선 주위에 자기장이 생기는 것은[3] 받아 들일 수 있지만, 전기장의 변화가 자기장을 발생시키는 개념은 의외로 어려운 개념이다. 다만 실험으로써의 증명은 초등학교 과학에서 전자석으로 이뤄지고있다.

원래 이 식은 전류 주위에 자기장이 발생한다는 기본 개념 위에서 출발한다. 즉, '전류 주위에는 자기장이 발생한다'가 기본이다. 다음으로, 어느 빈 공간을 생각하자. 이 공간 안에 전류는 흐르지 않는다. 그러나 전기장이 존재하고 이 전기장이 시간에 따라 변화하고 있다. 따라서 아래와 같은 사고로 받아들이는 것이 좋다.
공간 안에 전하가 존재하지 않고 → 또한 전류가 존재하지 않는데 → 전기장이 변화하는 것만으로도 자기장이 발생하네? → 그럼 전기장이 변화하는 것을 전류가 흐르는 것으로 생각하자

간단한 예로 축전기를 생각해보자. 축전기는 양극이 절연되어 있기 때문에 축전기를 통해서 전류가 흐르지 못한다. 축전기는 직류(변화율이 0인 전기장)일 때만 개방이고 교류일 경우 전류가 흐른다고 배우지만, 실제로는 전하가 이동하지 못하므로 전류는 0이다. 따라서 전하는 이동하지 못하고 한쪽 극에 시간에 따라 쌓이게 되는데 즉 시간에 따라 축전기 사이의 전기장을 증가시킨다. 이 전기장이 반대 극의 전하에 작용하여 전하를 이동시키는 것이다!! 즉 전류는 아니지만 전류처럼 행동한다 하여 변위 전류라 부른다.

축전기가 아니라 허공에 변화하는 전기장을 걸어 주면 그 변화하는 전기장이 자기장을 만들고, 전기장의 세기가 변화하는 정도가 일정하지 않으면 그 변화하는 자기장이 또 전기장을 만들고... 하는 식으로 전기장과 자기장이 무한반복을 이루며 공간을 퍼져 나간다. 바로 이런 현상을 전자기파라고 한다.

4. 여담

4.1. 난해함

위 간단한 요약을 보고 뭔 말인지 알 것 같지만, 이것은 단순 개인이 이해를 요약한 것이지 완전한 내용이 절대 아니다. 절대적인 내용은 스스로 전공서적을 보며 깨우쳐야 한다는 것을 일러둔다. 전자기학에서 처음 만나게 될 수도 있는 장벽은 맥스웰 방정식에 사용되는 백터 미적분법 자체가 이해가 잘 되지 않는 것이다. 즉, 사칙연산을 잘 모르는 상태에서 미적분을 공부하고 있는 상황이라 할 수 있다. 대학 1학년 미적분학공업수학, 수리물리학에서 백터 미적분학을 배우고 전자기학 교재에도 백터 미적분학이 나와있지만, 연산자체가 공간에 대한 수학인 데다가 보이지 않는 것을 보이는 것에 빗대서 설명할 수밖에 없기 때문에 명쾌하게 이해하기 힘들어 하는 사람들이 많다. 단순히 계산 방법만 알고 전부 이해했다고 착각하면 안된다. 적어도 맥스웰의 방정식을 이해하기까지는 미적분, 벡터해석, 복소함수 등의 수학적 기초가 필수적이다. 이 때문에 대부분의 전자기학 책에는 1장이 벡터해석을 다루고 있다.

위의 두 파트, 각 4개의 식들을 감각이나 느낌으로서 이해한다면 전자기파의 움직임을 설명하는 데 한 발짝 더 다가갈 수 있다. 전자기파의 움직임을 설명하는 파동 방정식은 저 시변장 맥스웰 방정식을 토대로 유도하며 페이저를 통해 헬름홀츠 파동 방정식까지 이끌어 낼 수 있다. 참고로, 전자기파 문서나, 전자기파 방사 문서에서 해당 내용이 서술되어 있으니 궁금한 위키러들은 참고하라.

또한, 경계해야 할 것은 이 식들을 써놓기만 하고 '여기 전자기학의 모든 것을 담았다'고 얘기하는 것은 별 의미가 없다는 것이다. 분명히 맥스웰 방정식이 물리학에서 굉장히 중요한 위치에 있지만 실제 상황에 적용할 때는 상황에 맞는 서술을 통하여 미분방정식을 경우에 맞게 풀어야 하기 때문이다. 직관적인 연구방법을 추종했던 리처드 파인만은 '빨간책'으로 유명한 칼텍 강의록인 "파인만의 물리학 강의"에서 물리법칙을 실제로 이해하는 것은 물리법칙을 풀지 않고 해를 구할 수 있을 때, 즉 이러한 현상이 직관적으로 이해되는 수준에 이르러야만 하나의 공식을 이해했다고 말할 수 있다고 했으며 수식으로 모든 것을 퉁치는 건 별로 물리학이고 수학이고 영 쓸모가 없다고 평하기도 한 것처럼, 결국 이 식도 직관적인 이해를 동반할 수 있는 경지나 최소한 해 정도는 실제로 구할 줄 알아야 한다는 것이다.

위의 첫 번째와 두 번째, 세 번째와 네 번째의 식을 비교하면 대칭인 것처럼 보이지만 뭔가 조금씩 다르다.[4] 물리학자들은 저 0이나 비어있는 부분이 없는 것이 아니라 다른 식처럼 뭔가 대칭적인 형태가 있을 것이라 예측하고 있다. 사실 저 두 식이 대칭성이 없다는 것이 그 전까지의 물리학의 대전제인 '갈릴레이의 상대성'에 반격을 날리는 사실이라 당시 맥스웰이 애를 먹었다고 한다. 그리고 이 맥스웰의 이론과 뉴턴역학을 화해시키는 과정에서 상대성 이론이 등장하게 된다.

맥스웰의 방정식은 좀 더 상위의 통일된 이론을 여러 측면에서 보았기 때문에 4가지 식이 나온 것이라고 한다. 군 이론의 도입과 차원의 확장을 통해 맥스웰의 방정식은 양자 전기역학과 합쳐져서 중력을 제외한 3가지 자연계에 존재하는 힘을 설명할 수 있는 식으로 발전하게 된다.

보통 대학 물리학과 1~2년 과정 안에서 맥스웰의 방정식에 다다르며 3학년쯤에는 그 응용을 배운다. 공대의 경우에는 전기나 전자공학과 쪽에서 1~2년에 걸쳐서 배우며, 전공과목 중 이것에 대한 응용이 매우 많다. 전기기기, 초고주파 공학이나 안테나 이론, 전자 물성 물리학도 모두 전자기학을 베이스로 한다. 대체로 전기기사를 따려는 수험생의 발목을 잡는 첫 번째 장애물로 평가받는다.

4.2. 후폭풍

맥스웰 방정식은 물리학계에 큰 파장을 일으켰는데, 맥스웰 방정식의 후폭풍으로 상대성 이론, 양자역학 등이 태동하게 된다.

4.2.1. 로런츠 변환의 등장

기존의 물리학계에서는 갈릴레이 변환을 사용하고 있었다. 그런데 이 갈릴레이 변환과 맥스웰 방정식은 동시에 옳을 수 없었는데, 이때 로런츠가 맥스웰 방정식을 만족하는 변환을 새로 만들어냈고, 그에 따라 갈릴레이 변환은 쓰이지 않게 된다.[5] 그리고, 여기서 태동한 것이 바로 상대성 이론이다.

4.2.2. 전자기파의 매질은?

맥스웰 방정식을 잘 조작해보면 전기장이 자기장을 유도하고, 유도된 자기장이 다시 전기장을 유도하는 식을 얻을 수 있다. 즉 맥스웰 방정식의 나중 2개 방정식들은 전자기파에 대한 방정식이라고도 말할 수 있다. 그런데 맥스웰을 포함한 당대의 물리학자들은 빛이 파동이므로 빛을 전달하는 매질이 분명히 있어야 할 것이라고 생각했고, 아직까지 발견되지 않은 이 물질을 에테르[6]라고 불렀다. 그리고는 이 물질을 검출하기 위해 갖은 노력을 다 했지만 결과는 실패. 사실 물리적 직관이 있는 위키러들은 맥스웰 방정식을 조작하는 과정에서 느낄 수 있을텐데 방정식을 정리하면 빛은 매질이 없이 스스로 전파된다는 것을 의미하게 된다. 어쨌든 이 과정에서 마이컬슨-몰리 실험을 통해 빛은 매질이 없다는 것이 증명되었고, 이는 특수상대성 이론으로 이어진다.

4.2.3. 전자기파는 파동인가?

이렇게 얻어진 전자기파는 아이작 뉴턴이 주장했던 빛의 입자설과 충돌하게 된다. 즉, 전자기파는 일종의 파동인데 파동이면서 동시에 입자의 성질을 가질 수 없다는 문제가 생겼다. 이 문제로 과학자들끼리 "빛은 입자다" VS "빛은 파동이다" 로 격렬한 논쟁이 벌어진다. 빛의 회절이나 이중슬릿 실험, 전자기파의 관측 등은 파동성을 지지하는 실험결과이고, 광전효과는 빛의 입자성을 나타낸다. 결국 빛은 입자이면서 파동이라는 이중적인 성질을 가졌다라는 결론을 얻게 되었고, 결국 전자기파를 포함한 모든 물질이 파동성과 입자성을 동시에 가지고 있다는 물질파 이론으로 발전한다. 그리고 이는 다시 양자역학으로 이어진다.

4.3. 전자기파와 관련된 문서

위에서 몇 번이나 서술했던 내용이지만, 맥스웰 방정식은 결국 파동 방정식으로 쓸 수 있어 전자기파로 바로 이어진다. 따라서 이 식의 활용과 관련하여 나무위키에서는 다음의 문서에서 정보를 얻을 수 있으니 참고하기 바란다.
  • 전자기파: 변위 전류 도입과 파동 방정식의 도출, 평면 전자기파의 수학적 형태, 평면 전자기파의 편광, 전도성 물질 내에서의 전자기파
  • 전자기학의 경계치 문제: 전자기파의 경계 조건, 전자기파의 성질, 유전체 - 유전체 혹은 유전체 - 도체 경계면에 입사, 도파관과 공동 공진기
  • 전자기파 방사: 퍼텐셜 방정식 유도, 쿨롱·로런츠 게이지, 쌍극자·점전하 방사, 미소 쌍극자·반파 안테나, 방사 반작용

5. 부록 : 다른 형태의 맥스웰 방정식

5.1. 다른 단위계에서 맥스웰 방정식 미분형 (진공)

  • 가우스 CGS 단위계
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E}&=4\pi \rho \\
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B}&=0\\
\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}&=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B}&=\frac{4 \pi}{c}\mathbf{J}+\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{aligned} )] ||
  • 헤비사이드-로런츠 CGS 단위계
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E}&=\rho \\
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B}&=0\\
\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}&=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B}&=\frac{1}{c}\mathbf{J}+\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{aligned} )] ||
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E}&=\rho \\
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B}&=0\\
\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B}&=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{aligned} )] ||

5.2. 4-Potential 형태

퍼텐셜 형태의 두 식이 동일한 형태임에 주목하자. 전기와 자기 퍼텐셜을 4-Vector 전자기 퍼텐셜
[math(\displaystyle A^{\alpha} \equiv \left( \frac{\Phi}{c},\,\mathbf{A} \right) )]
로 정의하고, 4-Vector 전류 밀도
[math(\displaystyle J^{\alpha}\equiv(c\rho,\,\mathbf{J}) )]
를 쓰면, 맥스웰 방정식은 아래와 같이 하나의 항으로 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \Box A^{\alpha}=\mu_{0}J^{\alpha} )]

5.3. 텐서

상대론적인 4-Vector와 텐서를 이용하면, 아래와 같이 두 항으로 쓸 수 있다. [math(F^{\alpha \beta} )]는 전자기 텐서이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\partial_\alpha F^{\alpha \beta} &= \mu_0 J^\beta \\
\partial_\alpha \left( {1 \over 2} \epsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} F_{\gamma \delta} \right) &= 0
\end{aligned} )]
이때,
[math(\displaystyle \partial_\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} + \partial_\lambda F_{\mu \nu} = 0 )]
형태로도 쓸 수 있다.

5.4. 미분형식 형태

[math(\displaystyle \begin{aligned}
d\ast F &= \mu_0 J \\
dF &= 0
\end{aligned} )]
미분형식은 직관적으론 무한소같은 의미로 사용되고 흔히 미분이나 적분에 달라붙는 [math(ds)], [math(dx)], [math(dA)] 등을 정의역의 원소가 집합함수로 취급해서 미적분 기호 없이 직접 다루는 개념으로, 미분기하학적 표기이다. 주의해야 할 것은 [math(\ast)]는 곱의 기호가 아니라 듀얼 연산자인 점이다.

6. 관련 문서



[1] 사람들이 잘 모르는 사실 하나는, 맥스웰의 20개의 변수로 이루어진 20개의 식을 올리버 헤비사이드가 벡터 표기법 및 기타 방법을 사용해 4개 변수와 4개 식으로 정리해 발표했다는 것이다.[2] 일반적으로 부호는 들어오는 것을 - 나가는 것을 +이라 한다.[3] 다만, 이것은 양자역학까지 동원되어야 하므로 쉬운 수준에서 서술하였다.[4] 두 번째 식 같은 경우 우변이 0이고, 세 번째 식은 항 하나가 보이지 않는다.[5] 정확히 말하면 갈릴레이 변환을 로런츠 변환으로 수정하게 된다.[6] Aether, 화학물질 에테르(ether)와는 분명 다르다! 화학물질 에테르는 존재하고 우주의 가스 에테르는 존재하지 않는데 그 근본이 같아서 이름도 같다. 그리스 철학에서 다루던 신들이 숨 쉬던 우주를 체우고 있는 공기가 에테르(ether)였고, 중세에 마취 성분의 가스(diethyl ether)가 발견되자 혹시나 하고 에테르라고 이름 붙인 것이다.

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