최근 수정 시각 : 2019-09-11 13:24:02

전자기파/전자기파 방사

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1. 개요2. 퍼텐셜 방정식
2.1. 쿨롱 게이지2.2. 로런츠 게이지2.3. 게이지 변환과 게이지 불변성
3. 뒤처진 퍼텐셜(Retarded Potential)
3.1. 관련 예제
3.1.1. 예제 1: 점전하3.1.2. 예제 2 : 무한 도선
4. 쌍극자 방사5. 안테나
5.1. 미소 쌍극자 안테나5.2. 반파 안테나
5.2.1. 추가 논의 : 안테나의 배열
6. 뒤처진 퍼텐셜 전개
6.1. 관련 예제
6.1.1. 예제 : 변하는 전기 쌍극자
7. 점전하 방사
7.1. 리에나르-비헤르트 퍼텐셜7.2. 점전하 방사장
7.2.1. 예제 : 등속도로 움직이는 점전하
7.3. 점전하 방사 분석
7.3.1. 예
8. 방사 반작용
8.1. 방사 반작용력
9. 관련 문서

1. 개요

Electromagnetic wave radiation

이 문서에서는 전자기파 방사에 대한 것을 다루게 된다.

현대 생활에서의 안테나를 이용한 무선 통신 기술은 모두 전자기파를 송출 즉, 전자기파를 방사하여 정보를 전달하는 것에서 시작된다. 따라서 이러한 무선 통신 기술 이해나 더 나아가 주파수 공학 등은 이 전자기파 방사에 대한 내용의 이해가 필연적이다.

고등학교에서 물리학을 들었다면, "가속하는 전하는 전자기파를 방사함"을 알거나 최소 들어는 봤을 것이다. 이 문서에서는 그러한 상황에서 전자기파가 어떻게 방사되는지, 또, 안테나에서 전자기파가 어떻게 방사되는 지, 쌍극자와 연관되어 쌍극자에서 전자기파가 어떻게 방사되는 지를 알아볼 것이다.

2. 퍼텐셜 방정식

우리는 이제부터 아래와 같은 가정을 사용할 것이다.
  • 자유 전하는 없다. 즉, [math(\rho_{f}=0)]이다.
  • 자유 전류는 없다. 즉, [math(\mathbf{J}_{f}=0)]이다. 다만, 금속과 같은 전도성 물질 내에는 옴의 법칙에 의한 자유 전류만 존재한다. 즉, [math(\mathbf{J}_{f}=\sigma_{c} \mathbf{E})]이다.
  • 우리가 분석하는 매질은 [math(\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E})], [math(\mathbf{B}=\mu \mathbf{H})]를 만족하는 단순한 매질이다.

우리는 장이 정적이 아닐 때, 자기 퍼텐셜전기 퍼텐셜은 아래와 같은 관계에 있다고 했다. 각각의 내용은 자기 퍼텐셜패러데이 법칙 문서를 참조하라.
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} \qquad \qquad \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} )]

우선적으로 우리가 분석할 영역이 전도성 매질이 아니라고 가정하자. 앙페르 법칙에 의하면,
[math(\displaystyle \frac{1}{\mu}\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mathbf{J}_{f}+\epsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} )]
따라서 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{1}{\mu}\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=-\epsilon \frac{\partial }{\partial t} \left( \boldsymbol{\nabla}\Phi+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right)+\mathbf{J}_{f} )]
벡터 항등식 [math(\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) =\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A})-\nabla^{2}\mathbf{A} )]을 이용하면, 위 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A})-\nabla^{2}\mathbf{A}=-\mu\epsilon \frac{\partial }{\partial t} \left( \boldsymbol{\nabla}\Phi+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right)+\mu\mathbf{J}_{f} )]
식을 정리하면,
[math(\displaystyle \nabla^{2}\mathbf{A}-\mu\epsilon\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} -\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A})-\mu\epsilon \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)=-\mu\mathbf{J}_{f} )]

이번엔 가우스 법칙
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho_{f}}{\epsilon} )]
을 이용하자. 위 식들을 참고하면,
[math(\displaystyle -\boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \boldsymbol{\nabla}\Phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right)=\frac{\rho_{f}}{\epsilon} )]
의 형태로 쓸 수 있으며, 이것을 다시쓰면,
[math(\displaystyle \nabla^{2} \Phi +\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) =-\frac{\rho_{f}}{\epsilon} )]
이 된다.

이상에서 우리는 아래와 같은 두 가지 퍼텐셜 방정식을 얻었음을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nabla^{2}\mathbf{A}-\mu\epsilon\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} -\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A})-\mu\epsilon \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)&=-\mu\mathbf{J}_{f} \\ \nabla^{2} \Phi +\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) &=-\frac{\rho_{f}}{\epsilon} \end{aligned} )]

2.1. 쿨롱 게이지

우리는 정자기학을 논의하면서, 자기 퍼텐셜은 유일성에 있지 않고, 선택성이 있다고 논의했다. 따라서 이 퍼텐셜의 선택성에 제약을 걸어두기 위해 한 가지의 조건을 도입하였고, 그것이 바로 쿨롱 게이지(Coulomb gauge) 조건이었다. 쿨롱 게이지는 자기 퍼텐셜의 발산이 0으로 둔다. 즉,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}=0 )]
이다. 이 조건을 가지고 위에서 구한, 퍼텐셜 방정식 중
[math(\displaystyle \nabla^{2} \Phi +\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) =-\frac{\rho_{f}}{\epsilon} )]
에 대입하면,
[math(\displaystyle \nabla^{2} \Phi =-\frac{\rho_{f}}{\epsilon} )]
으로 정전기학의 방정식으로 환원되는 것을 알 수 있다. 우리는 전하 분포가 시간에 따라 변한다고 가정해보자. 즉,
[math(\displaystyle \nabla^{2} \Phi(\mathbf{r},\,t) =-\frac{\rho_{f}(\mathbf{r'},\,t)}{\epsilon} )]
조건을 고려해보면, 이 방정식의 해는 이미 정전기학에서 봤던 것 처럼
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t) =\frac{1}{4 \pi \epsilon} \int \frac{\rho_{f}(\mathbf{r'},\,t)}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,dV' )]
이 된다. 그런데 이 결과는 다소 이상한 점이 있다는 것을 쉽게 발견할 수 있다. 우리는 전하의 지점과 관측 지점이 매우 멀다고 가정해보자. 예로 들자면, 전하가 변하는 부근은 지구의 한 실험실이고, 그것을 관측하는 것은 목성이라 해보자. 위의 식으로는 관측 지점이 매우 떨어지더라도, 전하가 변하는 순간 전기 퍼텐셜 또한 변화된다. 그러나 전자기파의 속도는 이미 유한하는 것이 밝혀져 있는데, 변화가 바로 관측된다는 것에서 이러한 사실과 대치된다. 즉, 쿨롱 퍼텐셜을 쓰면, 광속은 무한하게 된다. 따라서 우리가 논의하는 전자기파 방사와 같이 장이 정적이 아닐 때는 쿨롱 게이지 조건을 쓰는 것은 적절치 않다는 결론에 도달하게 된다. 이에 우리와 같은 상황을 다룰 때는 로런츠 게이지(Lorentz gauge)라는 조건을 쓰게 된다.

이번에는 쿨롱 퍼텐셜을 적용한 자기 퍼텐셜이 어떻게 표현되는지 보고자 한다. 자기 퍼텐셜과 관련된 방정식은 아래와 같이 표현된다.
[math(\displaystyle \nabla^{2}\mathbf{A}-\mu\epsilon\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} - \boldsymbol{\nabla} \left( \epsilon \mu \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)=-\mu\mathbf{J}_{f} )]
따라서 전기 퍼텐셜과 달리 지저분한 식으로 정리됨을 알 수 있다.

2.2. 로런츠 게이지

우리는 윗 문단에서 퍼텐셜 방정식이
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nabla^{2}\mathbf{A}-\mu\epsilon\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} -\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A})-\mu\epsilon \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)&=-\mu\mathbf{J}_{f} \\ \nabla^{2} \Phi +\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) &=-\frac{\rho_{f}}{\epsilon} \end{aligned} )]
그런데 이 방정식의 문제점은 [math(\mathbf{A})]와 [math(\Phi)]가 결합된 방정식이기 때문에 풀기가 굉장히 어렵다는 것이다. 따라서 우리는 자기 퍼텐셜이 유일하지 않음을 이용하기 위해 새로운 제약. 즉, 로런츠 게이지(Lorentz gauge)라 불리우는 새로운 게이지 조건을 쓰자. 로런츠 게이지는 아래와 같이 정의된다.
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}+\epsilon \mu \frac{\partial \Phi}{\partial t}=0 )]
맨 위의 방정식을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nabla^{2}\mathbf{A}-\mu\epsilon\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} - \boldsymbol{\nabla} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}+\epsilon \mu \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)&=-\mu\mathbf{J}_{f} \\ \nabla^{2} \Phi +\frac{\partial }{\partial t} \left(-\epsilon \mu \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) &=-\frac{\rho_{f}}{\epsilon} \end{aligned} )]
따라서 위의 정보들을 이용하면 우리는 로런츠 게이지를 적용한 최종적인 퍼텐셜 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nabla^{2}\mathbf{A}-\mu\epsilon\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} &=-\mu\mathbf{J}_{f} \\ \nabla^{2} \Phi -\epsilon \mu \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}} &=-\frac{\rho_{f}}{\epsilon} \end{aligned} )]
특히 진공일 때는 [math(\epsilon_{0} \mu_{0} =c^{-2})]이므로 위 방정식을
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nabla^{2}\mathbf{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} &=-\mu_{0}\mathbf{J}_{f} \\ \nabla^{2} \Phi -\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}} &=-\frac{\rho_{f}}{\epsilon_{0}} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있으며, 위와 같은 델 연산
[math(\displaystyle \nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} }{\partial t^{2}} \equiv \Box )]
달랑베르시안(d'Alembertian) 연산자라 한다. 이러한 연산자를 채용하면, 퍼텐셜 방정식을
[math(\displaystyle \Box \mathbf{A}=-\mu_{0}\mathbf{J}_{f} \qquad \qquad \Box \Phi=-\frac{\rho_{f}}{\epsilon_{0}} )]
형태로 쓸 수 있다.

이번에는 전도성 물질 내에서는 어떻게 되는 지 살펴보자. 전도성 물질 내에서 자유 전류는 옴의 법칙에 의한 것만 있다고 가정하므로 [math(\mathbf{J}_{f}=\sigma_{c} \mathbf{E})]이다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nabla^{2}\mathbf{A}-\mu\epsilon\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} -\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A})-\mu\epsilon \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)&=-\mu \sigma_{c} \mathbf{E} \\ \nabla^{2} \Phi +\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) &=-\frac{\rho_{f}}{\epsilon} \end{aligned} )]
이때,
[math(\displaystyle \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} )]
을 쓰면, 위 방정식은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nabla^{2}\mathbf{A}-\mu\epsilon\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} - \boldsymbol{\nabla} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}+\epsilon \mu \frac{\partial \Phi}{\partial t} +\sigma_{c} \mu \Phi \right)&=-\mu\mathbf{J}_{f} \\ \nabla^{2} \Phi +\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) &=-\frac{\rho_{f}}{\epsilon} \end{aligned} )]
이때 새로운 게이지 조건,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}=-\sigma_{c}\mu \frac{\partial \Phi}{\partial t}-\sigma_{c}\mu \Phi )]
을 쓰면, 퍼텐셜 방정식은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nabla^{2}\mathbf{A}-\sigma_{c}\epsilon \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\mu\epsilon\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} &=0 \\ \nabla^{2} \Phi -\sigma_{c}\epsilon \frac{\partial \Phi}{\partial t}-\epsilon \mu \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}} &=0 \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있다.

2.3. 게이지 변환과 게이지 불변성

우리는 위와 같이 자기 퍼텐셜엔 선택성이 있고, 이 선택성 때문에 한 장을 기술하는 자기 퍼텐셜은 여러개가 되어 한 자기 퍼텐셜이 한 장과 대응하기 위해 걸어주는 조건을 우리는 게이지 조건이라 했다. 게이지 조건은 여러 가지가 있으며, 그 중 많이 사용하는 게 위에서 서술했듯, 쿨롱 게이지로런츠 게이지라 하였다. 그러나 쿨롱 게이지는 광속이 무한해지는 문제 때문에 우리가 다루는 전자기파 방사 처럼 장이 정적이 아닐 때는 로런츠 게이지를 쓰는 것이 합당하다고도 위에서 밝혔다.

임의의 자기 퍼텐셜을 [math(\mathbf{A})]이라 하자. 우리가 자기 퍼텐셜 문서에서 논의했듯, 어떤 스칼라 함수 [math(\psi)]의 그레이디언트를 취하여 더한 새로운 자기 퍼텐셜도 같은 자기장을 기술할 수 있다고 했다. 즉,
[math(\displaystyle \mathbf{A'}=\mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla}\psi )]
일 때,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A}=\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A'}=\mathbf{B} )]
이 성립한다. 그러나, 전기장의 경우에는 말이 달라진다. 전기장은
[math(\displaystyle \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} )]
이기 때문에 자기 퍼텐셜이 변하면, 전기장을 기술하는 스칼라 퍼텐셜 [math(\Phi)] 또한 다른 스칼라 퍼텐셜[1] [math(\Phi')]로 변해야 같은 장으로 환원된다. 즉,
[math(\displaystyle \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi'-\frac{\partial \mathbf{A'}}{\partial t} )]
이다. 따라서 우리의 목적은 이제 [math(\Phi)]와 [math(\Phi')] 사이에는 어떤 관계가 있는 지로 이동하게 된다. 본래의 장과의 관계에 의해
[math(\displaystyle \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi'-\frac{\partial }{\partial t}(\mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla}\psi) )]
이 되고, 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=-\boldsymbol{\nabla}\Phi'-\boldsymbol{\nabla} \left( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right) -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\ &=-\boldsymbol{\nabla} \left( \Phi'+ \frac{\partial \psi}{\partial t} \right) -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \end{aligned} )]
따라서 본래의 전기장과 같은 장으로 환원될 조건은
[math(\displaystyle \Phi'=\Phi- \frac{\partial \psi}{\partial t} )]
이다. 따라서 자기 퍼텐셜이 다르게 변하면, 스칼라 퍼텐셜도 다르게 변환돼야 함을 얻고, 그것을 수식으로 나타내면,
[math(\displaystyle \mathbf{A'} \rightarrow \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla}\psi \qquad \qquad \Phi'\rightarrow\Phi- \frac{\partial \psi}{\partial t} )]
으로 변환돼야 함을 얻는데, 이것을 게이지 변환(Gauge transformation)이라 한다. 또한 이렇게 게이지를 변환시켜도, 기술하는 장이 변하지 않는 성질을 게이지 불변성(Gauge invariance)이라 한다. 게이지 변환과 게이지 불변성에 대한 더욱 자세한 내용은 이곳에서 다루고 있으니 이와 관련된 정보를 더 얻을 위키러들은 참고하라.

우리는 본래의 장을 기술했던 두 퍼텐셜 [math(\mathbf{A})], [math(\Phi)]가 로런츠 게이지를 만족한다고 가정하자. 우리가 새롭게 도입한 퍼텐셜 [math(\mathbf{A'})], [math(\Phi')]가 로런츠 게이지 조건을 만족하려면,
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A'}+\epsilon \mu \frac{\partial \Phi'}{\partial t}=0 )]
본래의 장과의 관계에 의해
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot (\mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla}\psi)+\epsilon \mu \frac{\partial }{\partial t} \left( \Phi- \frac{\partial \psi}{\partial t} \right)=0 )]
따라서 이 식을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle \nabla^{2}\psi-\epsilon \mu \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=- \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}+\epsilon \mu \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)=0 )]
따라서 새로운 퍼텐셜들이 로렌츠 게이지 조건을 만족하려면 아래와 같은 조건을 만족해야 함을 얻는다.
[math( \displaystyle \nabla^{2}\psi-\epsilon \mu \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=0 )]
그런데, 실제적으로 본래의 퍼텐셜이 로렌츠 게이지 조건을 만족하지 않더라도 새로운 퍼텐셜이 로렌츠 게이지 조건을 만족시키게 할 수는 있다. 하지만, 수준 상 그것에 대한 논의는 생략한다.

3. 뒤처진 퍼텐셜(Retarded Potential)

파일:나무_뒤처진퍼텐셜도입.png

우리가 어떤 원(原; source)에서 발생되는 퍼텐셜[2]은 시간 변화에 따라 즉각적으로 변화된 퍼텐셜을 관측하는 것이 아니라 실제적으로 발생 원으로 부터 관측점까지 퍼텐셜이 오는 데까지 걸린 시간만큼 전의 퍼텐셜을 관측하게 된다. 즉, 원점으로 부터 [math(r')]만큼 떨어진 원이 있고, 우리가 관측하는 지점이 [math(r)]일때, (진공에 있는) 우리는
[math(\displaystyle \frac{\left|\mathbf{r-r'}\right|}{c} )]
만큼 전의 퍼텐셜을 관측하게 된다는 것이다. 즉, 시간 변수로써 생각해보면,
[math(\displaystyle t-\frac{\left|\mathbf{r-r'}\right|}{c} )]
의 뒤처진 퍼텐셜을 관측하게 되는 것이다.[3] 따라서 위의 시각을
[math(\displaystyle t_{r} \equiv t-\frac{\left|\mathbf{r-r'}\right|}{c} )]
이라 하고, 지연 시간(Retarded time)이라 한다.

위 예는 다음과 같은 예를 들면 쉽게 이해가능하다. 지구에서 초신성의 폭발을 관측했을 때, 우리는 초신성이 폭발할 그 순간을 관측하게 되는 것이 아닌 그 초신성으로 부터 지구까지 도달하기 까지의 시간 만큼 전의 신호를 관측하게 되는 것이다. 즉, 5억만년 전 초신성이 폭발했다 가정하면, 우리가 관측하게 되는 신호가 실시간으로 관측되는 것이 아닌 5억만년 전의 신호가 지구에 도달하여 측정된 것이다.

따라서 이와같은 논리를 적용하면, 진공 중에 어느 지점에 전하분포 [math(\rho(\mathbf{r'},\,t))]와 전류 분포 [math(\mathbf{J}(\mathbf{r'},\,t))]의 原이 만드는 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜[4]은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\int_{V} \frac{\rho(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,dV' \qquad \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\int_{V} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,dV' )]
이때, 原에 해당하는 항들의 시간은 모두 지연 시각인 점에 유의하고, [math(V)]는 각각의 原이 점유하는 영역이다.

3.1. 관련 예제

3.1.1. 예제 1: 점전하

[문제]
원점에 놓인 점전하의 전하량이 [math(q(t)=kt\,(t>0) )]으로 변한다. 이 점전하에 의한 뒤처진 스칼라 퍼텐셜을 각각 구하시오. (단, [math(k)]는 상수이고, [math(t<0)]일 때, 전하량은 0이다.)

[풀이 보기]
-----
뒤처진 스칼라 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\int_{V} \frac{\rho(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,dV' )]
이때, 조건에 의해
[math( \displaystyle \mathbf{r'}=0 \qquad \qquad \mathbf{r}=r \hat{\mathbf{r}} \qquad \qquad t_{r}=\frac{r}{c} )]
이므로
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}r}\int_{V} \rho(t_{r})\,dV' )]
이때, 점전하의 전하 밀도는 디락 델타 함수로 표현할 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \rho(t_{r})&=q(t_{r})\delta(0) \\&=k \left( t-\frac{r}{c} \right)\delta(0) \end{aligned} )]
따라서 구하는 스칼라 퍼텐셜은 아래와 같이 주어진다. 이때, 적분 영역은 원점 부근의 [math(V \rightarrow 0)]인 극히 작은 부피 영역이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(\mathbf{r},\,t)&=\frac{k}{4 \pi \epsilon_{0}r} \left( t-\frac{r}{c} \right) \int_{V} \delta(0)\,dV' \\ &=\frac{k}{4 \pi \epsilon_{0}r} \left( t-\frac{r}{c} \right) \end{aligned} )]
그러나 위의 값은 [math(r<ct)]일 때만 유효하다. 그 이유는 우리는 관측지점 [math(\mathbf{r})]에서 관측을 하고 있으므로 전하는 [math(r>ct)]일 때, 없는 것으로 관측된다. 따라서 原이 없기 때문에 관측되는 스칼라 퍼텐셜은 없어야 한다.
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{k}{4 \pi \epsilon_{0}r} \left( t-\frac{r}{c} \right) &\quad (r<ct)\\ \\ \displaystyle 0 &\quad (r>ct)\end{array}\right. )]

3.1.2. 예제 2 : 무한 도선

[문제]
[math(\mathrm{(a)})]와 같이 [math(z)]축으로 놓인 무한한 도선이 있다. 이 도선에 [math(\mathrm{(b)})]와 같이 [math(t=0)] 부터 [math(I_{0})]의 전류를 흘러줬을 때, 점 [math(\mathrm{P})]에서 뒤처진 벡터 퍼텐셜을 구하시오.

파일:나무_지체된퍼텐셜_예제.png

[풀이 보기]
-----
뒤처진 벡터 퍼텐셜 선형 근사를 통해 다음과 같이 쓸 수 있다.[5]
[math(\displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0} \hat{\mathbf{z}} }{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{I(t-R/c)}{R}\,dz' )]
도선에 의한 벡터 퍼텐셜은 미소 길이 [math(dz')] 만큼의 도선에서 방사된 미소 정보들의 기여분을 모두 합한 것으로 주어질 것이다. 그런데 합산되는 미소 벡터 퍼텐셜들은 점 [math(\mathrm{S})] 즉, 도선의 어떤 미소 영역으로 부터 전자기파의 형태로 관측점 [math(\mathrm{P})]에 도달한 것만이 유효하다. 다시 말하면, 어떤 시간 [math(t)]에서 도선의 각 미소 영역들은 정보를 관측점으로 보내나, 전자기파의 속도는 유한하기 때문에 모든 부분의 정보가 관측점에서 도달하지 못하고, 관측점 [math(\mathrm{P})]에 도달한 것들만 합산되어 해당 점에서 관측되는 벡터 퍼텐셜이 된다는 것이다. 이때, 어떤 시각에서 미소 영역 [math(\mathrm{S})]로 부터 관측점 [math(\mathrm{P})]까지 도달할 수 있는 [math(R_{\mathrm{max}})]은 [math(t=0)]에서 [math(\mathrm{S})]로 부터 [math(\mathrm{P})]까지 이동한 전자기파의 거리와 같다. 따라서 [math(R_{\mathrm{max}}=ct)]로 쓸 수 있으므로
[math(\displaystyle R_{\mathrm{max}}=ct=\sqrt{\rho^{2}+z'^{2}} \, \rightarrow \, \left|z \right|=\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}} )]
이고, 이 때문에 특정 시각에서 관측점 [math(\mathrm{P})]에서 관측되는 벡터 퍼텐셜에 기여하는 것은 [math(\left|z \right| \leq \sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}})]만큼의 영역에서 방사된 정보들이다. 따라서 우리는 구하는 벡터 퍼텐셜을 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A}&=\frac{\mu_{0} I_{0} \hat{\mathbf{z} }}{4 \pi}\int_{-\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2} }}^{\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2} }} \frac{1}{\sqrt{\rho^{2}+z'^{2} }}\,dz' \\ &=\frac{\mu_{0} I_{0} \hat{\mathbf{z} }}{2 \pi}\ln{\left[ \frac{\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}}+ct}{\rho} \right]} \end{aligned} )]
그런데 위의 값은 [math(\rho<ct)]일 때만 유효하다. 왜냐하면, 이 조건이 만족하지 않으면, 관측점에서 볼 때, 도선에 흐르는 전류는 없기 때문이다. 이에 따라 해당 조건 외의 시간에서 관측점에서의 벡터 퍼텐셜은 0이라는 사실 또한 알 수 있다. 따라서 우리는 다음과 같이 벡터 퍼텐셜이 결정됨을 쉽게 알 수 있다.
[math( \displaystyle \mathbf{A}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{\mu_{0} I_{0} \hat{\mathbf{z} }}{2 \pi}\ln{\left[ \frac{\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}}+ct}{\rho} \right]} &\quad (\rho<ct)\\ \\ \displaystyle 0 &\quad (\rho>ct)\end{array}\right. )]

이제 우리는 [math(t \rightarrow \infty)] 일 때의 상황을 고려해보자. 이 경우에서
[math( \displaystyle \sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}} \simeq ct )]
로 쓸 수 있다. 따라서 벡터 퍼텐셜은
[math( \displaystyle \mathbf{A}=-\frac{\mu_{0} I_{0} \hat{\mathbf{z} }}{2 \pi}\ln{\rho}+\text{const.} )]
가 되어 정자기학적의 상황의 벡터 퍼텐셜이 됨을 알 수 있다: 다음의 예제와 비교해보라.

4. 쌍극자 방사

진공의 구면좌표계에서 방사되는 전자기파의 방정식은 벡터 헬름홀츠 방정식으로 기술된다.
[math(\displaystyle \nabla^{2}\mathbf{V}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \mathbf{V}}{\partial t^{2}}=0 )]
[math(\mathbf{V})]는 전기장 혹은 자기장이다. 다만, 이 방정식은 벡터가 포함되어 있기 때문에 통상적으로 풀기 어렵다. 따라서 우리는 다음과 같은 형태의 장을 고려하자.
[math(\displaystyle \mathbf{V}=\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi )]
위에서 [math(\psi)]는 임의의 스칼라이다. 따라서 이 장의 형태는 기본적으로 외적 연산이 포함되어 있으므로, [math(\mathbf{r})]과 [math(\boldsymbol{\nabla} \psi)]에 수직하다는 것을 알 수 있다. 따라서 [math(\mathbf{V})]는 구면의 접하는 방향으로 전파되게 된다는 것을 알 수 있다.

해당 [math(\mathbf{V})]를 헬름홀츠 방정식에 넣고, 우리는 단색광을 고려하고 있으므로 [math(\mathbf{V} \sim e^{-i \omega t})]임을 이용하면 아래와 같은 식으로 고칠 수 있다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{r} \left( \nabla^{2}\psi+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\psi \right)=0 )]
이 방정식이 일반적으로 만족하려면,
[math(\displaystyle \nabla^{2}\psi+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\psi =0 )]
따라서 여기서 나온 방정식을 만족시키는 스칼라 해를 찾고, 위에서 정의되었던 회전 연산을 거치면, 장을 구할 수 있다. 구면 좌표계에서 해당 방정식의 해는
[math(\displaystyle \psi=\sum_{lm}C_{lm}\,h_{1}^{(1)}(kr)Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \equiv \sum_{lm} \psi_{lm} )]
으로 주어지며, [math(C_{lm})]은 상수, [math(h_{1}^{(1)}(kr))]은 제 1종 구면 한켈함수(Spherical hankel function of first kind), [math(Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi))]은 구면조화함수(Spherical harmonics)이다. 우리는 이제부터 가장 낮은 모드인 [math(\psi_{00})]을 고려해보자.
[math(\displaystyle \psi_{00} \sim -\frac{e^{ikr}}{kr} )]
그런데 이 함수는 [math(r)]만 연관되어 있으므로 장은 생성될 수 없다. 이것은 직접 장을 구해보더라도 얻을 수 있다. 따라서 장이 생성되려면, [math(\theta,\,\phi)] 외에도 [math(\psi)]는 의존해야 함에 따라 전자기파가 방사될 수 있는 가장 낮은 모드는 [math(\psi_{10})]이다. 이때,
[math(\displaystyle \psi_{10} \sim \frac{e^{ikr}}{kr} \left( 1+\frac{i}{kr} \right)\cos{\theta} )]
를 얻는다. 우리가 다루는 쌍극자 방사에 대한 장은 이 [math(\psi_{10})]로 부터 나오게 되며, 이것은 다음 문단에서 경우를 보게 된다.

[math(\mathbf{V})]가 전기장이라면, 우리는 그것을 TE(Transverse Electric)라 한다. 따라서 우리가 위에서의 스칼라 방정식을 만족하는 스칼라 해 [math(\psi)]를 찾았다면, 전기장은
[math(\displaystyle \mathbf{E}=\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi )]
으로 구할 수 있고, 자기장은 패러데이 법칙을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.[6]
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=i \omega \mathbf{B} )]
따라서
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\boldsymbol{\nabla} \times (\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi)}{i \omega } )]
으로 구할 수 있다.

또한, [math(\mathbf{V})]가 자기장이라면, 우리는 그것을 TM(Transverse Magnetic)이라 부르며, TE와 같은 논법으로
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi )]
이고, 앙페르 법칙을 사용하면,
[math(\displaystyle \mathbf{E}=-\frac{c^{2} }{i \omega }\boldsymbol{\nabla} \times (\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \psi) )]
으로 쓸 수 있다.

4.1. 전기 쌍극자 모멘트 방사

전기 쌍극자에 의한 방사는 TM 모드에 의해 방사된다.
[math(\displaystyle \psi_{10} =B_{0} \frac{e^{ikr}}{kr} \left( 1+\frac{i}{kr} \right)\cos{\theta} )]
라 놓자. [math(B_{0})]는 자기장의 세기와 연관된 상수이다. 회전 연산을 취하므로써 자기장을 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{B(r)}&=\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla}\psi \\ &=-\hat{\boldsymbol{\phi}}B_{0}e^{ikr}\left( \frac{1}{kr}+\frac{i}{k^{2} r^{2}} \right)\sin{\theta} \end{aligned} )]
이때, 전기장은 윗 문단을 참고하면,
[math(\displaystyle \mathbf{E(r)}=-iB_{0}c\,e^{ikr} \left[2 \hat{\mathbf{r}} \left( \frac{1}{k^{2} r^{2}}+\frac{i}{k^{3}r^{3}} \right)\cos{\theta}-\hat{\boldsymbol{\theta}} \left( \frac{i}{kr}-\frac{1}{k^{2}r^{2}}-\frac{i}{k^{3}r^{3}} \right) \sin{\theta} \right]
)]
시간항을 고려하면, 각 장의 공간항에 [math(e^{i\omega t})]를 덧붙이면 된다. 덧붙인 후 실수부만 고려하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=-\hat{\boldsymbol{\phi}} B_{0}\left[ \frac{\cos(\omega t-kr)}{kr}+\frac{\sin(\omega t-kr)}{k^{2}r^{2}} \right]\sin{\theta} \\ \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&= -B_{0}c\left[ 2\hat{\mathbf{r}} \left[ \frac{\sin{(\omega t-kr)}}{k^{2}r^{2}}-\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{k^{3}r^{3}} \right]\cos{\theta} +\hat{\boldsymbol{\theta}} \left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}+\frac{\sin{(\omega t-kr)}}{k^{2}r^{2}}-\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{k^{3}r^{3}} \right]\sin{\theta} \right] \end{aligned} )]
이제 우리는 [math(z)]축에 놓인 전기 쌍극자 모멘트 [math(\mathbf{p}(t)=p_{0}\hat{\mathbf{z}}\cos{\omega t})]를 고려하자. 원점 근처의 [math(kr \ll 1)] 영역에서의 장은 [math((kr)^{-3})]항이 우세하고, 뒤처진 효과는 거의 고려하지 않아도 된다. 이때, [math(\omega=0)]인 정적인 쌍극자를 고려하면,
[math(\displaystyle \mathbf{E(r)}=\frac{B_{0}c}{k^{3}r^{3}} [2\hat{\mathbf{r}}\,\cos{\theta}+\hat{\boldsymbol{\theta}} \sin{\theta}] )]
이 결과는 곧 정전기학의 정적인 쌍극자가 만드는 장으로 환원돼야 함에 따라 전기 쌍극자 모멘트 문서를 참고하면, 쌍극자 [math(\mathbf{p}(t)=p_{0}\hat{\mathbf{z}})]가 만드는 장은
[math( \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) =\frac{p_{0}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}} [ 2\hat{\mathbf{r}}\cos{\theta}+ \hat{\boldsymbol{\theta}} \sin{\theta}] )]
이므로
[math( \displaystyle B_{0}=\frac{p_{0}k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} c} )]
을 만족해야 함을 알 수 있다. 우리는 지금 전자기파의 방사에 대한 내용을 다루고 있다. 따라서 전자기파가 방사되어 어떤 양상을 띄는 지는 쌍극자 가까이의 영역([math(kr \ll 1)])에 관심 있는 것이 아닌 매우 먼 거리([math(kr \gg 1)])에 관심이 있다. 따라서 해당 영역에서는 [math((kr)^{-1})]항이 우세함에 따라 장은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=- \hat{\boldsymbol{\theta}} \, \frac{p_{0}k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}\sin{\theta} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=- \hat{\boldsymbol{\phi}} \, \frac{p_{0}k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0}c} \frac{\cos(\omega t-kr)}{kr} \sin{\theta} \end{aligned} )]
이러한 장을 방사장(Radiation field)라 한다. 이곳에서 대략적인 방사장의 모습을 관찰할 수 있다. 방사장을 이렇게 취하는 이유는 간단하게 요약 문단에 적어두었다.

이제부터는 이 방사장의 강도에 대해 고찰해보도록한다. 전자기파의 복사 강도는 포인팅 벡터로 주어지므로 방사장에 대한 포인팅 벡터는
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S} &=\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{E} \times \mathbf{B} \\ &=\hat{\mathbf{r}}\,\frac{p_{0}^2k^{4}}{(4 \pi \epsilon_{0})^{2}c \mu_{0} r^{2}} \cos^{2}{(\omega t-kr)}\sin^{2}{\theta} \end{aligned} )]
이것은 곧 방사장의 전파 방향이 [math(\hat{\mathbf{r}})]임을 알려준다. 따라서 복사 강도에 해당하는 평균 포인팅 벡터는 아래와 같이 주어짐을 쉽게 확인할 수 있다.
[math( \displaystyle \left \langle \mathbf{S} \right \rangle=\hat{\mathbf{r}}\,\frac{p_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} c \mu_{0} } \frac{\sin^{2}{\theta}}{r^2} )]
이 방사장이 반지름 [math(r)]인 구의 표면에서의 평균 일률은 아래와 같이 주어진다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \left \langle P \right \rangle&=\oint_{\Omega} \left \langle \mathbf{S} \right \rangle \cdot d \mathbf{a} \\ &=\oint_{\Omega} \left[ \hat{\mathbf{r}}\,\frac{p_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} c \mu_{0} } \frac{\sin^{2}{\theta}}{r^2} \right]\cdot \hat{\mathbf{r}}\,r^{2}\,d\Omega \\ &=\oint_{\Omega} \hat{\mathbf{r}}\,\frac{p_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} c \mu_{0} } \sin^{2}{\theta} \,d\Omega \end{aligned} )]
이때, [math(d\Omega \equiv \sin{\theta}\,d\theta d\phi)]의 미소 입체각이다. 이 적분의 결과는
[math( \displaystyle \left \langle P \right \rangle=\frac{p_{0}^2k^{4}}{12 \pi \epsilon_{0}^{2}c \mu_{0} } )]
이것을 총 방사 강도(Total intensity of Radiation)이라 하며, 단위 입체각 당 복사 강도는
[math( \displaystyle \frac{d \left \langle P \right \rangle}{d\Omega}=\frac{p_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} c \mu_{0} } \sin^{2}{\theta} )]
으로 주어짐을 쉽게 알 수 있다. 이것의 패턴은 아래와 같이 주어진다.

파일:나무_전기쌍극자_방사_패턴.png

[math(\mathbf{p})]는 우리가 다루는 방사 原 전기 쌍극자 모멘트이며, 원점으로 부터 곡선까지의 한 벡터 [math(\mathbf{P})]를 생각했을 때, [math(\left|\mathbf{P} \right|)]는 [math(\mathbf{P})] 방향의 단위 입체각 당 방사 강도가 된다. 이때 가장 눈여겨봐야 하는 것은 [math(\theta=\pm \pi/2)]일 때 방사 강도는 최대가 되며, [math(\theta=0,\,\pi)]일 때 방사 강도는 0이 된다는 점이다. 따라서 방사 강도는 쌍극자와 수직인 축에서 최대가 되며, 쌍극자와 동일한 축에서는 0이 된다. 또한, [math(xy)]평면에서 패턴을 보면, 복사 강도는 [math(\phi)]에 의존하지 않기 때문에 [math(xy)]평면 어느 방향에서나 같은 강도로 방사된다는 것을 쉽게 예측할 수 있다. 따라서 방사패턴은 실제적으로 3차원으로 나타나며, 이것과 같이 나오게 된다.

4.2. 자기 쌍극자 모멘트 방사

자기 쌍극자에 의한 방사는 TE 모드에 의해 방사된다.
[math(\displaystyle \psi_{10} =E_{0} \frac{e^{ikr}}{kr} \left( 1+\frac{i}{kr} \right)\cos{\theta} )]
라 놓자. [math(E_{0})]는 전기장의 세기와 연관된 상수이다. 회전 연산을 취하므로써 자기장을 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E(r)}&=\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla}\psi \\ &=-\hat{\boldsymbol{\phi}}E_{0}e^{ikr}\left( \frac{1}{kr}+\frac{i}{k^{2} r^{2}} \right)\sin{\theta} \end{aligned} )]
이때, 자기장은 윗 문단을 참고하면,
[math(\displaystyle \mathbf{B(r)}=\frac{iE_{0}}{c}\,e^{ikr} \left[2 \hat{\mathbf{r}} \left( \frac{1}{k^{2} r^{2}}+\frac{i}{k^{3}r^{3}} \right)\cos{\theta}-\hat{\boldsymbol{\theta}} \left( \frac{i}{kr}-\frac{1}{k^{2}r^{2}}-\frac{i}{k^{3}r^{3}} \right) \sin{\theta} \right])]
시간항을 고려하면, 각 장의 공간항에 [math(e^{i\omega t})]를 덧붙이면 된다. 덧붙인 후 실수부만 고려하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=-\hat{\boldsymbol{\phi}} E_{0}\left[ \frac{\cos(\omega t-kr)}{kr}+\frac{\sin(\omega t-kr)}{k^{2}r^{2}} \right]\sin{\theta} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&= \frac{E_{0}}{c}\left[ 2\hat{\mathbf{r}} \left[ \frac{\sin{(\omega t-kr)}}{k^{2}r^{2}}-\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{k^{3}r^{3}} \right]\cos{\theta} +\hat{\boldsymbol{\theta}} \left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}+\frac{\sin{(\omega t-kr)}}{k^{2}r^{2}}-\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{k^{3}r^{3}} \right]\sin{\theta} \right] \end{aligned} )]
이제 우리는 [math(z)]축에 놓인 자기 쌍극자 모멘트 [math(\mathbf{m}(t)=m_{0}\hat{\mathbf{z}}\cos{\omega t})]를 고려하자. 원점 근처의 [math(kr \ll 1)] 영역에서의 장은 [math((kr)^{-3})]항이 우세하고, 뒤처진 효과는 거의 고려하지 않아도 된다. 이때, [math(\omega=0)]인 정적인 쌍극자를 고려하면,
[math(\displaystyle \mathbf{B(r)}=-\frac{E_{0}}{ck^{3}r^{3}}\, (2 \hat{\mathbf{r}} \cos{\theta}+\hat{\boldsymbol{\theta}} \sin{\theta} ) )]
이 결과는 곧 정자기학의 정적인 쌍극자가 만드는 장으로 환원돼야 함에 따라 자기 쌍극자 모멘트 문서를 참고하면, 쌍극자 [math(\mathbf{m}(t)=m_{0}\hat{\mathbf{z}})]가 만드는 장은
[math( \displaystyle \mathbf{B}( \mathbf{r}) =\frac{\mu_0 m}{4\pi r^3}[{2\hat{\mathbf{r}}\cos{\theta}+\hat{\boldsymbol{\phi}}\sin{\theta}}] )]
이므로
[math( \displaystyle E_{0}=-\frac{\mu_{0}m_{0} ck^{3}}{4 \pi }=-\frac{m_{0} k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} c} )]
을 만족해야 함을 알 수 있다. 우리는 지금 전자기파의 방사에 대한 내용을 다루고 있다. 따라서 전자기파가 방사되어 어떤 양상을 띄는 지는 쌍극자 가까이의 영역([math(kr \ll 1)])에 관심 있는 것이 아닌 매우 먼 거리([math(kr \gg 1)])에 관심이 있다. 따라서 해당 영역에서는 [math((kr)^{-1})]항이 우세함에 따라 결정되는 방사장은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=\hat{\boldsymbol{\phi}}\,\frac{m_{0} k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} c } \frac{\cos(\omega t-kr)}{kr} \sin{\theta} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=-\hat{\boldsymbol{\theta}} \, \frac{m_{0} k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} } \frac{\cos(\omega t-kr)}{kr} \sin{\theta} \end{aligned} )]

전자기파의 복사 강도는 포인팅 벡터로 주어지므로,
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S} &=\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{E} \times \mathbf{B} \\ &=\hat{\mathbf{r}}\,\frac{m_{0}^2k^{4}}{(4 \pi \epsilon_{0})^{2}c^{3} \mu_{0} r^{2}} \cos^{2}{(\omega t-kr)}\sin^{2}{\theta} \end{aligned} )]
이것은 곧 방사장의 전파 방향이 [math(\hat{\mathbf{r}})]임을 알려준다. 따라서 복사 강도에 해당하는 평균 포인팅 벡터는 아래와 같이 주어짐을 쉽게 확인할 수 있다.
[math( \displaystyle \left \langle \mathbf{S} \right \rangle=\hat{\mathbf{r}}\,\frac{m_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2}c^{3} \mu_{0} r^{2}} \sin^{2}{\theta} )]
이 방사장이 반지름 [math(r)]인 구의 표면에서의 평균 일률은 아래와 같이 주어진다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \left \langle P \right \rangle&=\oint_{\Omega} \left \langle \mathbf{S} \right \rangle \cdot d \mathbf{a} \\ &=\oint_{\Omega} \left[ \hat{\mathbf{r}}\,\frac{m_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2}c^{3} \mu_{0}} \frac{\sin^{2}{\theta}}{r^2} \right]\cdot \hat{\mathbf{r}}\,r^{2}\,d\Omega \\ &=\oint_{\Omega} \hat{\mathbf{r}}\,\frac{m_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2}c^{3} \mu_{0}} \sin^{2}{\theta} \,d\Omega \end{aligned} )]
이때, [math(d\Omega \equiv \sin{\theta}\,d\theta d\phi)]의 미소 입체각이다. 이 적분의 결과는
[math( \displaystyle \left \langle P \right \rangle=\frac{m_{0}^2k^{4}}{12 \pi \epsilon_{0}^{2}c^{3} \mu_{0} } )]
따라서 위와 같이 총 복사 강도가 구했다. 단위 입체각 당 복사 강도는
[math( \displaystyle \frac{d \left \langle P \right \rangle}{d\Omega}=\frac{m_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2}c^{3} \mu_{0}} \sin^{2}{\theta} )]
으로 주어짐을 쉽게 알 수 있다. 따라서 전기 쌍극자 방사와 동일하게 주어지므로 이것의 패턴 또한 동일하다.

4.3. 요약 및 정리

  • 전기 쌍극자나 자기 쌍극자가 변화하면 방사장을 만들어내며, 해당 방사장은 복잡하게 주어진다.
  • 방사장은 [math(r^{-1})]에 비례하는 장으로 잡으며, 이것은 우리가 방사하는 原 가까이의 장에 관심이 있는 것이 아니라 매우 먼 영역에서 관측되는 장 즉, 먼 영역에서 방사 강도가 관측되는 장에 관심이 있기 때문에 그렇게 잡는 것이다. 이렇게 하면, 자기장 혹은 전기장 모두 [math(r^{-1})]에 비례하여, 포인팅 벡터를 구할 시 [math(r^{-2})]에 비례하게 되며, 방사 강도를 구할 때, 미소 면적은 [math(r^{2})]에 비례하게 되어 거리에 의존된 항이 모두 상쇄된다. 그렇기 때문에 原으로 부터 매우 먼 영역에서도 방사 강도가 존재할 수 있게된다.
  • 전자기파 자체의 복사 강도는 포인팅 벡터로 주어지며, 포인팅 벡터 자체는 단위 면적, 단위 시간 당 표면을 통과하는 에너지가 이므로 구면에 대해 적분하면, 전자기파가 구면을 통과하면서 한 일률을 계산할 수 있으며, 이것을 총 방사 강도라 한다. 또한, 단위 입체각 당 복사 강도는 거리에 무관하며, 쌍극자와 수직인 축에서 최대가 되며, 쌍극자가 놓여있는 축에서는 0이 된다.
  • 아래의 표는 윗 문단들의 내용을 요약한 것이다.

    • 전기 쌍극자 모멘트 방사 자기 쌍극자 모멘트 방사

      [math( \mathbf{p}(t)=p_{0}\hat{\mathbf{z}}\cos{\omega t} )] [math(\mathbf{m}(t)=m_{0}\hat{\mathbf{z}}\cos{\omega t})]

      방사장 [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=- \hat{\boldsymbol{\theta}} \, \frac{p_{0}k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}\sin{\theta} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=- \hat{\boldsymbol{\phi}} \, \frac{p_{0}k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0}c} \frac{\cos(\omega t-kr)}{kr} \sin{\theta} \end{aligned} )] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=\hat{\boldsymbol{\phi}}\,\frac{m_{0} k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} c } \frac{\cos(\omega t-kr)}{kr} \sin{\theta} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=-\hat{\boldsymbol{\theta}} \, \frac{m_{0} k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} } \frac{\cos(\omega t-kr)}{kr} \sin{\theta} \end{aligned} )]

      포인팅 벡터 [math( \displaystyle \mathbf{S}=\hat{\mathbf{r}}\,\frac{p_{0}^2k^{4}}{(4 \pi \epsilon_{0})^{2}c \mu_{0} r^{2}} \cos^{2}{(\omega t-kr)}\sin^{2}{\theta} )] [math( \displaystyle \mathbf{S}=\hat{\mathbf{r}}\,\frac{m_{0}^2k^{4}}{(4 \pi \epsilon_{0})^{2}c^{3} \mu_{0} r^{2}} \cos^{2}{(\omega t-kr)}\sin^{2}{\theta} )]

      총 방사 강도 [math( \displaystyle \left \langle P \right \rangle=\frac{p_{0}^2k^{4}}{12 \pi \epsilon_{0}^{2}c \mu_{0} } )] [math( \displaystyle \left \langle P \right \rangle=\frac{m_{0}^2k^{4}}{12 \pi \epsilon_{0}^{2}c^{3} \mu_{0} } )]

5. 안테나

안테나는 잘 알고있다시피, 정보를 전자기파 형태로 방사하여 전달하기 위한 장치[7]이며, 현대엔 여러 종류의 안테나가 개발되어 있다. 이 문단에서는 가장 간단한 안테나인 "미소 쌍극자 안테나""반파장 안테나"에 대해 분석해보고자 한다.

5.1. 미소 쌍극자 안테나

미소 쌍극자 안테나의 구조를 간단하게 나열하면 아래와 같다.

파일:나무_쌍극자안테나_구조.png

위와 같이 두 도체봉이 교류전원에 연결되어 있는 형태이며, 고류전원을 통해 전류를 흘러줌으로써 전하는 도체봉의 끝으로 몰리거나 끝에서 사라져간다. 따라서 각 도체봉의 끝은 [math(+)] 혹은 [math(-)]으로 대전되게 된다. 또한 교류전원에 연결되어 있으므로 전류는 각 시간마다 달라지므로 끝에 대전된 전하량과 부호 또한, 교류전원의 주파수에 따라 변하게 된다. 우리는 안테나의 길이가 매우 짧은 안테나를 고려하고 있기 때문에 도체봉은 근사적으로 변하는 쌍극자라 생각할 수 있고, 우리는 윗 문단에서 변하는 쌍극자는 전자기파 방사를 할 수 있음을 논의했다. 그렇기 때문에 이러한 안테나를 미소 쌍극자 안테나(Short dipole antenna)라 한다.

파일:나무_쌍극자안테나_new.png

위 그림은 분석하기 용이하게 미소 쌍극자 안테나를 도식화 한 것이다. 안테나의 길이 [math(l)]은 방사 파장보다 매우 작다고 가정하자.[8] 즉,
[math(\displaystyle l \ll \frac{2 \pi c}{\omega} )]
이때, 안테나엔 아래와 같은 [math(\hat{\mathbf{z}})] 방향의 전류 [math(I(t))]를 흘리고 있다. 안테나의 길이가 매우 작으므로 전류의 공간 의존성은 생각하지 않았다. 따라서 관측점 [math(\mathrm{P})]에서의 벡터 퍼텐셜은 벡터 퍼텐셜의 선형 근사를 통해
[math(\displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\hat{\mathbf{z}} \int_{-l/2}^{l/2}\, \frac{I(t-\xi'/c)}{\xi'}\,dz' )]
이때, [math(\xi'=\left| \mathbf{r-r'} \right|)]이고, [math(\mathbf{r}=r \hat{\mathbf{r}})], [math(\mathbf{r'}=z' \hat{\mathbf{z}})]이다. 이에 따라
[math(\displaystyle \xi'=\sqrt{r^{2}+z'^{2}-2rz'\cos{\theta}} )]
그런데 안테나가 매우 짧으므로 [math(z' \ll r)]임에 따라 [math(\xi')]는 아래와 같이 근사할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \xi'&=r \sqrt{1+\frac{z'^{2}}{r^{2}}-\frac{2z'}{r}\cos{\theta}} \\ &\simeq r \sqrt{1-\frac{2z'}{r}\cos{\theta}} \\ &\simeq r-z'\cos{\theta} \\ & \simeq r \end{aligned})]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A}&=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\hat{\mathbf{z}} \int_{-l/2}^{l/2}\, \frac{I{(t-r/c)}}{r}\,dz' \\ &=\frac{\mu_{0}l \hat{\mathbf{z}}}{4\pi } \frac{I{(t-r/c)}}{r} \end{aligned} )]
로 결정된다.

이제부터는 스칼라 퍼텐셜을 구해보자. 우리는 위의 결과에서
[math(\displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}l \hat{\mathbf{z}}}{4\pi } \frac{I{(t-r/c)}}{r})]
임을 얻었다. 로렌츠 게이지
[math(\displaystyle \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A} )]
를 이용하면,
[math(\displaystyle \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\frac{\mu_{0}l }{4\pi } \frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{ I\left(t-r/c \right)}{r} \right] )]
로 쓸 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \Phi=-\frac{\mu_{0}l c^{2} }{4\pi } \frac{\partial}{\partial z} \int \frac{ I\left(t-r/c \right)}{r}\,dt )]
그런데 위 식에서 적분항은 곧 전하량에 비례하므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi&=-\frac{\mu_{0}l c^{2} }{4\pi } \frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{ q\left(t-r/c \right)}{r} \right] \\ &=-\frac{\mu_{0}l c^{2} }{4\pi } \left[ -\frac{q(t-r/c)}{r^{2}}\frac{\partial r}{\partial z}+\frac{ \dot{q}\left(t-r/c \right)}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( t-\frac{r}{c} \right) \frac{\partial r}{\partial z} \right] \end{aligned} )]
[math(\dot{q})]는 [math(q)]의 변수 [math(t-r/c)]에 대한 미분임에 주의하고, [math(\dot{q}=I)]로 쓸 수 있다. 또한, 다음의 사실을 이용하면,
[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial r}\left( t-\frac{r}{c} \right)=-\frac{1}{c} \qquad \qquad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r} )]
스칼라 퍼텐셜은 다음과 같이 된다.
[math(\displaystyle \Phi=\frac{l }{4\pi \epsilon_{0} } \left[ \frac{zq(t-r/c)}{r^{3}}+\frac{ zI\left(t-r/c \right)}{cr^{2}} \right] )]
다음을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} q(t)&=q_{0}\cos{\omega t} \\ I_{0} &\equiv q_{0}\omega \\ I&=\dot{q} \\ kc &=\omega \end{aligned})]
스칼라 퍼텐셜은 최종적으로 아래와 같이 결정된다.
[math(\displaystyle \Phi=\frac{lq_{0}kz}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr^{3}}-\frac{\sin{(\omega t-kr)}}{r^{2}} \right] )]
위의 표현을 이용하면, 벡터 퍼텐셜 또한,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A}&=-\frac{I_{0}\mu_{0}l \hat{\mathbf{z}}}{4\pi } \frac{\sin{(\omega t-kr)}}{r} \\ &=-\frac{I_{0}\mu_{0}l }{4\pi } \frac{\sin{(\omega t-kr)}}{r}[\cos{\theta}\,\hat{\mathbf{r}}-\sin{\theta}\,\hat{\boldsymbol{\theta}}] \end{aligned} )]

우리는 위에서 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜 모두 결정했으므로 이제 미소 쌍극자 안테나를 통해 방사되는 장은 결정될 수 있다. 우선, 자기장 먼저 결정하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{B}&=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} \\ &=-\frac{I_{0}\mu_{0}l k^{2} }{4\pi }\hat{\boldsymbol{\phi}} \left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}+\frac{\sin{(\omega t -kr)}}{k^{2}r^{2}} \right]\sin{\theta} \end{aligned} )]
다음으로는 전기장을 결정하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=-\left( \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\Phi \right) \\ &=-\left( \frac{\partial A_{r}}{\partial t}+\frac{\partial \Phi}{\partial r} \right )\hat{\mathbf{r}}-\left( \frac{\partial A_{\theta}}{\partial t}+\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta} \right )\hat{\boldsymbol{\theta}}-\left( \frac{\partial A_{\phi}}{\partial t}+\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial \Phi}{\partial \phi} \right )\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{aligned} )]
이므로 전기장은 아래와 같이 결정된다.
[math(\displaystyle \mathbf{E}= -\frac{I_{0}l \omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{3} }\left[ 2\hat{\mathbf{r}} \left[ \frac{\sin{(\omega t-kr)}}{k^{2}r^{2}}-\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{k^{3}r^{3}} \right]\cos{\theta} +\hat{\boldsymbol{\theta}} \left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}+\frac{\sin{(\omega t-kr)}}{k^{2}r^{2}}-\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{k^{3}r^{3}} \right]\sin{\theta} \right] )]
위에서 구했던 자기장을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{B}=-\frac{I_{0}l \omega^{2} }{4\pi \epsilon_{0}c^{4}}\hat{\boldsymbol{\phi}} \left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}+\frac{\sin{(\omega t -kr)}}{k^{2}r^{2}} \right]\sin{\theta} \end{aligned} )]
쌍극자 방사를 하면서 첨언했듯, 우리가 관심있는 것은 안테나로부터 멀리 떨어진 영역([math(kr \gg 1)])에서도 우세한 방사장이다. 따라서 이 영역에서는 [math((kr)^{-1})]의 항이 우세함에 따라 미소 쌍극자 안테나에 의한 방사장은 아래와 같이 결정된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=-\frac{I_{0}l \omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{3} }\hat{\boldsymbol{\theta}}\,\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}\sin{\theta} \\ \mathbf{B}&=-\frac{I_{0}l \omega^{2} }{4\pi \epsilon_{0}c^{4}}\hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}\sin{\theta} \end{aligned} )]
전기 쌍극자의 방사장과 비교해보면, 방사장의 原인 쌍극자 모멘트 크기를 결정할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{I_{0}l \omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{3} }=\frac{p_{0}k^{3}}{4 \pi \epsilon_{0}} \, \rightarrow \, \frac{I_{0}l }{\omega}=p_{0} )]
따라서 이 방사장은
[math(\displaystyle \mathbf{p}(t)=\frac{I_{0}l \hat{\mathbf{z}} }{\omega}\cos{\omega t} )]
를 原으로 하여 생성된다는 것을 알 수 있다. 위의 논의는 미소 쌍극자 안테나는 전기 쌍극자의 방사장과 동일하게 주어진다는 것을 알 수 있고, 그 장 역시 복잡하게 주어진다. 따라서 위 안테나의 복사 강도 전기 쌍극자 모멘트 방사의 결과를 이용하면,
[math( \begin{aligned} \displaystyle \left \langle \mathbf{S} \right \rangle&=\frac{p_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} c \mu_{0} } \frac{\sin^{2}{\theta}}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}} \\ &=\frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{32 \pi^{2} \epsilon_{0} \omega^{2} } \frac{\sin^{2}{\theta}}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}} \end{aligned})]
이고, 총 방사 강도와 단위 입체각 당 방사 강도는 다음과 같이 결정된다.
[math( \displaystyle \left \langle P \right \rangle=\frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{12 \pi \epsilon_{0} \omega^{2} } \qquad \qquad \frac{d\left \langle P \right \rangle}{d \Omega}=\frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{32 \pi^{2} \epsilon_{0} \omega^{2} }\sin^{2}{\theta} )]
위의 결과는 쌍극자 방사와 같이 안테나와 수직인 축에서 방사 강도는 최대가 되며, 수평인 축에서는 방사 강도가 0이 됨을 알 수 있다. 따라서 방사 패턴 또한, 전기 쌍극자 모멘트 방사의 결과와 같다. 따라서 안테나의 신호를 수신해야 한다면, 안테나의 수직인 축에 수신부를 두는 것이 좋다.

전자기파의 총 방사 강도와 같은 일률을 주는 유효 저항을 유효 방사 저항이라 한다. 즉,
[math( \displaystyle \left \langle P \right \rangle= \frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{12 \pi \epsilon_{0} \omega^{2} }=\left \langle I^{2}R \right \rangle )]
을 만족하는 저항을 의미한다. 이때, [math(I \sim \sin{\omega t})]이므로
[math( \displaystyle \frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{12 \pi \epsilon_{0} \omega^{2} }=\frac{1}{2}I_{0}^{2}R \, \rightarrow \, R=\frac{l^{2}\omega^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3} } )]
이 된다. 이때, 파장과 각진동수와의 관계 [math(\omega = 2\pi c/\lambda)]를 이용하고, [math(\epsilon_{0}\mu_{0}=c^{-2})]의 관계를 이용하면, 유효 방사 저항을 [math(l/\lambda)]의 비로 아래와 같이 나타낼 수 있다.
[math( \displaystyle R=\frac{2\pi}{3}\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}} \left( \frac{l}{\lambda} \right)^{2}=789\left( \frac{l}{\lambda} \right)^{2} )]

5.2. 반파 안테나

우리는 윗문단에서 '미소 쌍극자 안테나'에 대해 논의했다. 그러나, 이러한 안테나는 실용적이지 못한 안테나이다. 우리가 실제적으로 쓰는 안테나는 이 문단에서 논의할 반파 안테나(Half-wave antenna)이다. 구조는 미소 쌍극자 안테나와 크게 다르지 않으나, 큰 차이는 안테나의 길이가 방사 파장의 반파장이 되며, 반파 안테나는 전파 통신에 쓰이게 된다. 반파 안테나에 대해 분석이 용이하도록 도식화 하면, 아래와 같다.

파일:나무_반파안테나.png

이제 우리는 안테나의 길이는 쌍극자 근사가 불가능하므로 전류 분포 또한, 공간에 의존할 수밖에 없다. 따라서 우리는 전류 분포를 안테나의 도체봉 양 끝의 전류가 0이 되고, 정상파 형태로 잡는다. 반파 안테나가 작동하는 것에 대한 도식화는 이곳에 잘 나와 있다.
[math(\displaystyle I=I_{0}\cos{kz'}\cos{\omega t} )]
이때,
[math(\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\pi}{l} )]
이다. 우리는 각 안테나의 미소 영역 [math(dz')]은 미소 쌍극자 안테나라 생각할 수 있고, 관측점 [math(\mathrm{P})]에 나타나는 방사장은 각 미소 영역의 방사장을 모두 합산한 것이라 할 수 있으므로 미소 쌍극자 안테나의 결과를 이용하자. 즉,
[math(\displaystyle \begin{aligned} dE_{\theta}&=-\frac{I_{0} \omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{3} }\frac{\cos{(\omega t-k \xi')}}{k \xi'}\sin{\theta'}\cos{kz'}\,dz' \\ dB_{\phi}&=-\frac{I_{0} \omega^{2} }{4\pi \epsilon_{0}c^{4}} \frac{\cos{(\omega t-k\xi')}}{k\xi'}\sin{\theta'}\cos{kz'} \,dz' \end{aligned} )]
결과를 이용하긴 하지만, 우리는 기본적으로 쌍극자 근사를 하지 않았기 때문에 미소 영역의 위치에 주의해야 한다. 미소 쌍극자 안테나보다는 안테나의 길이가 길어졌지만, 여전히 우리가 관측하는 영역에 비하면 안테나의 길이는 짧다.(즉, [math(l \ll r)]) 따라서 다음과 같은 근사를 사용할 수 있다.
[math(\displaystyle \sin{\theta'} \simeq \sin{\theta} \qquad \qquad \xi'\simeq r-z'\cos{\theta})]
그런데 분모에 있는 [math(\xi' \simeq r)]로 근사할 수 있지만, cosine의 변수에서 [math(\xi' \simeq r-z'\cos{\theta})]로 [math(z')] 항의 의존성을 완전히 무시할 수 없다는 것에 주의하여야 한다. 따라서 구하는 방사장은
[math(\displaystyle \begin{aligned} dE_{\theta}&=-\frac{I_{0} \omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{3} }\frac{\cos{(\omega t-kr+kz'\cos{\theta})}}{k r}\sin{\theta}\cos{kz'}\,dz' \\ dB_{\phi}&=-\frac{I_{0} \omega^{2} }{4\pi \epsilon_{0}c^{4}} \frac{\cos{(\omega t-kr+kz'\cos{\theta})}}{kr}\sin{\theta}\cos{kz'} \,dz' \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있다. 이상에서 방사장의 전기장은 안테나의 모든 영역에 대해 적분함으로써 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{\theta}&=-\frac{I_{0} \omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{3} k^{2}r }\sin{\theta} \int_{-l/2}^{l/2} \cos{(\omega t-kr+kz'\cos{\theta})}\cos{kz'}\,dz' \\ &=-\frac{I_{0} \omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{3} k^{2}r }\sin{\theta} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos{(\omega t-kr+kz'\cos{\theta})}\cos{kz'}\,d(kz') \\ &=-\frac{I_{0} \omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{3} k^{2}r }\sin{\theta} \left[ \cos{(\omega t-kr)} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos{(kz'\cos{\theta})}\cos{kz'}\,d(kz')-\sin{(\omega t-kr)} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin{(kz'\cos{\theta})}\cos{kz'}\,d(kz') \right] \end{aligned} )]
이때, 적분의 제 2항은 없어진다. 따라서 우리는 방사장의 전기장은
[math(\displaystyle E_{\theta}=-\frac{I_{0} \omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{3} k^{2}r }\sin{\theta} \cos{(\omega t-kr)} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos{(kz'\cos{\theta})}\cos{kz'}\,d(kz') )]
이 되고, 이 적분을 계산하면,
[math(\displaystyle E_{\theta}=-\frac{I_{0} }{2\pi \epsilon_{0} cr } \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{\sin{\theta}}\cos{\left[ \frac{\pi}{2}\cos{\theta} \right]} )]
비슷한 방법으로
[math(\displaystyle \begin{aligned} B_{\phi}&=-\frac{I_{0} }{2\pi \epsilon_{0} c^{2}r } \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{\sin{\theta}}\cos{\left[ \frac{\pi}{2}\cos{\theta} \right]} \\ &=-\frac{I_{0} \mu_{0} }{2\pi r } \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{\sin{\theta}}\cos{\left[ \frac{\pi}{2}\cos{\theta} \right]} \end{aligned} )]
따라서 방사장은 다음과 같이 결정된다는 것을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=-\frac{I_{0} }{2\pi \epsilon_{0} cr } \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{\sin{\theta}}\cos{\left[ \frac{\pi}{2}\cos{\theta} \right]}\,\hat{\boldsymbol{\theta}} \\ \mathbf{B}&=-\frac{I_{0} \mu_{0} }{2\pi r } \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{\sin{\theta}}\cos{\left[ \frac{\pi}{2}\cos{\theta} \right]}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{aligned} )]
이상의 결과로 포인팅 벡터 [math(\mathbf{S} \equiv \mathbf{E}\times \mathbf{B}/\mu_{0})]를 구함으로써 복사 강도를 알 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{S}=\frac{I_{0}^{2} }{4\pi^{2} \epsilon_{0} cr^{2} } \frac{\cos^{2}{(\omega t-kr)}}{\sin^{2}{\theta}}\cos^{2}{\left[ \frac{\pi}{2}\cos{\theta} \right]}\,\hat{\mathbf{r}} )]
따라서 전자기파의 복사 강도에 해당하는 평균 포인팅 벡터는
[math(\displaystyle \left \langle \mathbf{S} \right \rangle=\frac{I_{0}^{2} }{8\pi^{2} \epsilon_{0} cr^{2} } \frac{1}{\sin^{2}{\theta}}\cos^{2}{\left[ \frac{\pi}{2}\cos{\theta} \right]}\,\hat{\mathbf{r}} )]
따라서 반지름 [math(r)]인 구면에서의 평균 일률 즉, 총 방사 강도는
[math(\displaystyle \left \langle P \right \rangle=\frac{I_{0}^{2} }{4\pi \epsilon_{0} c } \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sin^{2}{\theta}}\cos^{2}{\left[ \frac{\pi}{2}\cos{\theta} \right]}\sin{\theta}\,d\theta)]
으로 주어진다. 그런데 위의 적분은 해석적인 값을 갖지 않기 때문에 결과를 도출하기 위해 수치계산을 했다.
[math(\displaystyle \left \langle P \right \rangle=1.22\frac{I_{0}^{2} }{4\pi \epsilon_{0} c } )]
따라서 단위 입체각 당 방사 강도는
[math(\displaystyle \frac{d \left \langle P \right \rangle}{d \Omega}=\frac{I_{0}^{2} }{8\pi^{2} \epsilon_{0} c } \frac{1}{\sin^{2}{\theta}}\cos^{2}{\left[ \frac{\pi}{2}\cos{\theta} \right]} )]
이 된다. 아래는 [math(z)]축에 놓인 반파 안테나의 방사 패턴을 나타낸 것이다.

파일:나무_반파안테나_방사패턴.png

따라서 반파 안테나 또한, 안테나와 동일한 축에서 방사 강도는 0이 되고, 수직인 축에서 최대가 된다는 것을 알 수 있다. 반파 안테나의 방사장의 모습은 이곳에서 볼 수 있다. 이곳에서도 메뉴 중 "dipoles-Half Wave Dipole"을 선택하면 더 자세히 볼 수 있다.

우리가 미소 쌍극자 안테나를 다루면서 유효 방사 저항을 구했듯, 이 안테나에서도 구하는 것이 가능하다. 이 안테나에서는
[math(\displaystyle \left \langle P \right \rangle=1.22\frac{I_{0}^{2} }{4\pi \epsilon_{0} c }=\frac{1}{2}I_{0}^{2}R )]
을 만족하는 [math(R)]이 유효 방사 저항이 된다. 따라서
[math(\displaystyle R=\frac{1.22 }{2\pi \epsilon_{0} c } \simeq 73.1\,\Omega )]
가 유효 방사 저항이 된다.

5.2.1. 추가 논의 : 안테나의 배열

우리는 반파 안테나와 관련하여 한 가지 재미있는 논의를 해보고자 한다. 다음과 같이 여러 개의 반파 안테나를 [math(d=\lambda/2)]만큼의 간격으로 배열했다고 가정해보자. 이렇게 되면, 각각의 안테나에서 방사된 신호는 중첩되어 어떤 영역은 세게, 어떤 부분은 약하게 신호가 중첩될 것이다.

파일:나무_반파안테나_안테나의배열_new_수정.png

이제 우리는 안테나들이 놓여있는 축이 [math(z)]축이라 생각하고, 이에 [math(\theta)]만큼의 각을 이루는 곳에서 관측을 했다고 하자. 주의해야 할 것은 안테나로 부터 관측점까지는 매우 멀다고 가정하면, 그림에서 안테나로 부터 관측점까지의 선분은 모두 근사적으로 평행하다고 볼 수 있다.

각 안테나에서는 방사장으로 전기장과 자기장을 방사한다. 그런데 우리는 [math(n)]번째 안테나가 첫 번째 안테나와 비교했을 때, 위상차가 [math((n-1)\beta)]만큼 난다 가정하면, 위치에 의한 위상차까지 고려한 총 위상차는
[math(\displaystyle (n-1)(k\delta+\beta)=(n-1)(kd\cos{\theta}+\beta)=(n-1)(\pi\cos{\theta}+\beta) )]
가 되므로 관측되는 [math(n)]번째 안테나의 전기장은 첫 번째 안테나에서 방사되는 전기장에 위상인자를 곱하므로써 구할 수 있다. 이렇게 할 수 있는 것은 우리가 관측점에 비해서 안테나 사이의 간격이 매우 작다고 가정했기 때문에 가능하다.
[math(\displaystyle \mathbf{E}_{n}=\mathbf{E}_{0}e^{\left[ i\pi(n-1)(\pi\cos{\theta}+\beta) \right]} )]
따라서 관측점에서 관측되는 전기장은 이들을 모두 합함으로써 구할 수 있다. 안테나가 [math(N)]개 배열되어 있다면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\sum_{n=1}^{N}\mathbf{E}_{0}e^{\left[ i\pi(n-1)(\pi\cos{\theta}+\beta) \right]} \\ &=\mathbf{E}_{0} \exp{\left[ i \pi \frac{(N-1)}{2}(\cos{\theta}+\beta) \right]} \frac{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2} N (\pi\cos{\theta}+\beta) \right]}}{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2} (\pi\cos{\theta}+\beta) \right]}} \end{aligned} )]
이상에서 관측점에서 관측되는 전기장의 크기는 아래와 같이 결정된다.
[math(\displaystyle \left|\mathbf{E}\right|=\left|\mathbf{E}_{0}\right| \left| \frac{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2} N (\pi\cos{\theta}+\beta) \right]}}{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2} (\pi\cos{\theta}+\beta) \right]}} \right| )]
자기장 또한,
[math(\displaystyle \left|\mathbf{B}\right|=\left|\mathbf{B}_{0}\right| \left| \frac{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2}N (\cos{\theta}+\beta) \right]}}{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2} (\pi\cos{\theta}+\beta) \right]}} \right| )]
따라서 포인팅 벡터의 크기는
[math(\displaystyle S\sim \left[ \frac{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2} N (\pi\cos{\theta}+\beta) \right]}}{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2} (\pi\cos{\theta}+\beta) \right]}} \right]^{2} )]
이 될 것이다. 따라서 특정 방향에 대한 신호가 집중되는 등의 현상이 일어나게 된다. 다음의 그래프는 [math(N=4)]일 때, 몇몇 경우의 [math(\beta)]에 대해
[math(\displaystyle \left[ \frac{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2} N (\pi\cos{\theta}+\beta) \right]}}{\displaystyle \sin{\left[ \frac{1}{2} (\pi\cos{\theta}+\beta) \right]}} \right]^{2} )]
의 그래프를 그린 것이다.

파일:나무_안테나배열_패턴.png

그렇다면 이런 것이 어디에 응용되는 지 궁금할 수도 있다. 안테나에서 어떤 신호를 방사하지만, 이것이 사방에서 수신하기 기대하는 상황은 실제적으로 적다. 특히 군사적 상황 등에서는 더욱 그럴 것이다. 그런데 이 논의처럼 각 안테나를 잘 배열하고, 신호의 위상차를 잘 제어하기만 하면 특정 방향에서 복사 강도 혹은 방사 강도가 최대가 된다. 즉, 어떤 방향에 신호를 증폭하여 방사하고 싶을 때 이 방법을 쓰게 된다. 이것을 응용한 것 중 하나는 위상배열 레이더 등이 있다.

이 외의 안테나의 심화된 논의는 더 이상 전자기학의 범주를 넘어서서 주파수 공학 등의 공학 학문과 연결된다. 따라서 안테나에 대해 더 알고 싶은 위키러들은 공학 관련 서적을 찾아보기로 하고, 안테나에 대한 분석은 이것으로 마친다.

6. 뒤처진 퍼텐셜 전개

이 문단서 부터는 임의의 原이 방사하는 전자기파를 알아보게 된다. 우리는 분석에 들어가기 앞서 다음과 같은 가정을 할 것이다.
  • 原이 점유하는 영역에 비해 관측점은 매우 작고, 멀리 떨어져있다. 즉, 우리는 운동 중의 전하를 이제부터 고려할 것이기 때문에 이들의 속도는 광속에 비해 매우 작아야 한다. 그렇지 않으면, 방사장이 관측점에 도달하면 분포는 더 이상 작거나 멀다라고 할 수 없다. 이 경우는 "점전하 방사"에서 다루게 된다.
  • 임의의 原이 방사하는 전자기파는 가장 우세한 항을 제외하고는 무시할 수 있다. 이 말을 다른 말로 표현하면, 쌍극자 이상의 근사는 사용하지 않는다는 뜻이며, 이것은 분석의 용이성을 위함이다.[9]
우리는 스칼라 뒤처진 퍼텐셜을 다음과 같이 쓸 수 있다고 했다.
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\int \frac{\rho(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,dV' )]
이때, [math(r' \ll r)]이므로 [math(r')]의 1차항 까지 [math(\left|\mathbf{r-r'}\right|)]를 전개하면,
[math(\displaystyle \left|\mathbf{r-r'}\right|\simeq r-\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{r} )]
마찬가지로,
[math(\displaystyle \frac{1}{\left|\mathbf{r-r'}\right|}\simeq \frac{1}{r}\left( 1+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{r^{2}} \right) )]
따라서
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} r}\int \rho\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{cr} \right) \left[ 1+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{r^{2}} \right]\,dV' )]
우리는 전하 밀도를 [math(t-{r}/{c})]을 중심점으로 하여, 테일러 전개할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \rho\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{cr} \right)& \simeq \rho\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right)+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{cr} \left. \frac{\partial \rho}{\partial t} \right|_{t-{r}/{c}} \\ &= \rho\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right)+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{cr} \dot{\rho}\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right) \end{aligned} )]
위에서 [math(\dot{\rho})]는 지체시간에 대한 미분임에 주의하고, 이상에서
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} r}\int \left[ \rho\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right)+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{cr} \dot{\rho}\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right) \right] \left[1+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{r^{2}} \right]\,dV' )]
가 된다. 여기서 [math(r')]의 1차 항까지만 고려하면, 다음과 같이 세 개의 항이 남게된다.
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} r} \left[ \int \rho\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right)\,dV'+\int \frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{r^{2}} \rho\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right)\,dV'+\int \frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}}{cr} \dot{\rho}\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right)\,dV' \right] )]
위 식의 첫 번째 적분은 原 내의 시각 [math(t_{r})]에서의 총전하량이며, 시간에 의존하지 않는다. 그 이유는 전하 보존 때문이다. 즉,
[math(\displaystyle \int \rho\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right)\,dV' \equiv Q )]
이다. 두 번째 적분은 다시 쓰므로써 파악할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{\mathbf{r}}{r^{2}}\cdot \int \mathbf{r'} \rho\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right)\,dV' =\frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}( t-{r}/{c} )}{r^{2}} )]
즉, 시각 [math(t_{r})]에서 原의 쌍극자 모멘트와 관련된 항이며, 따라서 윗 식의 제 2항은
[math(\displaystyle \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}( t-{r}/{c} )}{4 \pi \epsilon_{0}r^{3}} )]
으로 시각 [math(t_{r})]에서 原의 쌍극자 모멘트의 뒤처진 스칼라 퍼텐셜이다. 계속해서 제 3항은 아래와 같음을 유사한 논법으로
[math(\displaystyle \frac{\mathbf{r} \cdot \dot{\mathbf{p}}( t-{r}/{c} )}{4 \pi \epsilon_{0}cr^{2}} )]
이때, [math(\dot{\mathbf{p}}=d\mathbf{p}/dt)]와 같은 연산으로 쓸 수 있음을 참고하라. 이상에서 임의의 原에서의 뒤처진 스칼라 퍼텐셜은 다음과 같이 결정됨을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left[ \frac{Q}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}}{r^{3}}+\frac{\mathbf{r}\cdot \dot{\mathbf{p}}}{cr^{2}} \right])]

이번에는 뒤처진 벡터 퍼텐셜을 전개해보도록 하자. 뒤처진 벡터 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,dV' )]
주어지므로 위와 같은 논법으로 전개하면, 다음과 같은 항이 나타날 것이다.
[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi r} \int \mathbf{J}\left( \mathbf{r'},\,t-\frac{r}{c}\right)\,dV'+\cdots )]
그런데 다음과 같은 사실[10]
[math(\displaystyle \int \mathbf{J}\,dV'=\frac{d\mathbf{p}}{dt} )]
따라서
[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)=\frac{\mu_{0} }{4 \pi r}\dot{\mathbf{p}} \left(t-\frac{r}{c} \right)+\cdots )]
으로 쓸 수 있다. 그런데 우리는 [math(\mathbf{p})] 자체가 [math(r')]의 1차항이 포함되었기 때문에 위의 식 이후에 나오는 항들은 모두 [math(r')]에 대한 고차항이므로 무시할 수 있다. 이상에서 임의의 原에서의 뒤처진 벡터 퍼텐셜은 다음과 같이 결정됨을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)=\frac{\mu_{0} }{4 \pi r} \dot{\mathbf{p}} )]

[math(\mathbf{p})]는 명백히 [math(\theta,\,\phi)]의 함수가 아니기 때문에
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\times \dot{\mathbf{p}}=\hat{\mathbf{r}} \times \frac{\partial \dot{\mathbf{p}}}{\partial r}=-\frac{\hat{\mathbf{r}}}{c}\times \ddot{\mathbf{p}} )]
이고,
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} )]
를 이용하면, 자기장은 아래와 같이 결정된다.
[math(\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left( \frac{\hat{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{p}}}{r^{2}}+ \frac{\hat{\mathbf{r}}\times \ddot{\mathbf{p}}}{cr} \right))]
그런데 우리가 고려하는 것은 방사장이므로 [math(r^{-1})]의 항만 고려하면, 방사장의 자기장은 아래와 같다.
[math(\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi c r} \hat{\mathbf{r}}\times \ddot{\mathbf{p}} )]

전기장은 다음과 같이 결정될 수 있음을 우리는 안다.
[math(\displaystyle \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t})]
그러나 그 과정이 매우 복잡하기 때문에 여기서는 결과만을 적는다. 다만, 자기장을 구할 때도 구할 때, 우리는 방사장에 관심이 있으므로 [math(r^{-1})]의 항만을 고려함에 주의하라. 이에 방사장의 전기장은
[math(\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0} c^{2}r}[\hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{r}}\cdot \ddot{\mathbf{p}})-\ddot{\mathbf{p}} ] )]

이상에서 임의의 原에서 방사되는 방사장은 아래와 같이 결정됨을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0} c^{2}r}[\hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{r}}\cdot \ddot{\mathbf{p}})-\ddot{\mathbf{p}} ] \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi c r} \hat{\mathbf{r}}\times \ddot{\mathbf{p}} \end{aligned} )]
또한 다음 식이 성립하는 것에서 방사장의 전파 방향은 [math(\hat{\mathbf{r}})]임을 알 수 있다.(직접 계산해보아라.)
[math(\displaystyle \mathbf{E}=-c \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{B} \qquad \qquad \mathbf{B}=\frac{\hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{E}}{c} )]
따라서 포인팅 벡터는 [math(\mathbf{S}\equiv \mathbf{E} \times \mathbf{B}/\mu_{0})] 쉽게 결정할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S}&=-\frac{c}{\mu_{0}}( \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B} \\&=\frac{c}{\mu_{0}} [\hat{\mathbf{r}}\left| \mathbf{B} \right|^{2}-\mathbf{B}(\mathbf{B} \cdot \hat{\mathbf{r}}) ] \\ &=\frac{c \left| \mathbf{B} \right|^{2}}{\mu_{0}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} )]
따라서 포인팅 벡터는 다음과 같이 결정됨을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{S}=\frac{\mu_{0} }{16 \pi^{2} cr^{2}} \hat{\mathbf{r}} |\hat{\mathbf{r}}\times \ddot{\mathbf{p}}|^{2} )]

이제부터는 [math(\mathbf{p})]가 [math(\hat{\mathbf{z}})]방향일 때를 고려해보자. 이때, 포인팅 벡터는
[math(\displaystyle \mathbf{S}=\frac{ |{\ddot{\mathbf{p}}}|^{2} \sin^{2}{\theta}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0} c^{3}r^{2}} \hat{\mathbf{r}} )]
이고, 반지름 [math(r)]인 구면에 전자기파가 행한 일률은
[math(\displaystyle P=\frac{|{\ddot{\mathbf{p}}}|^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} )]
로 구할 수 있다.

우리가 위에서 다뤘던 진동하는 전기 쌍극자는
[math(\displaystyle \mathbf{p}(t)=p_{0}\cos{\omega t} )]
가 되므로,
[math(\displaystyle \ddot{\mathbf{p}}=-p_{0}\omega^{2} \cos(\omega t-kr) )]
를 윗 식들에 대입하면, "전기 쌍극자 모멘트 방사"에서 얻었던 결과를 얻는다.

마지막에 유도되었던 전자기파 일률은 운동하는 점전하에 대해서도 적용할 수 있다. 다만, 우리의 가정은 계속해서 전하의 운동들이 광속에 비해 매우 작다는 것에 유의하여야 한다. 점전하에 대한 쌍극자 모멘트는
[math(\displaystyle \mathbf{p}=q\mathbf{r'} )]
따라서
[math(\displaystyle \ddot{\mathbf{p}}=q\frac{d^{2}\mathbf{r'}}{dt^{2}}=q\mathbf{a} )]
으로 쓸 수 있다. [math(\mathbf{a})]는 점전하의 가속도이다. 따라서 이 경우의 전자기파가 구면에 행한 일률은
[math(\displaystyle P=\frac{q^{2}a^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} )]
따라서 일률은 전하의 가속도 제곱에 비례한다는 사실을 알 수 있다. 위의 공식을 라모 공식(Larmor formula)이라 한다.

6.1. 관련 예제

6.1.1. 예제 : 변하는 전기 쌍극자

[문제]
[math(z)]축 위에 있는 두 전하 [math(+q(t))], [math(-q(t))]가 서로 [math(l)] 만큼의 거리를 두고 떨어져있다. [math(q(t)=q_{0}\sin{\omega t})]일 때, (a) 두 전하의 전기 쌍극자 모멘트를 결정하고, (b) 두 전하에 의한 방사장을 결정하시오.

(a)
두 전하에 의한 전기 쌍극자 모멘트는
[math(\displaystyle \mathbf{p}(t)=q_{0}l\hat{\mathbf{z}}\sin{\omega t} )]
로 쉽게 결정할 수 있다.

(b)
방사장을 결정하려면, [math(\ddot{\mathbf{p}})]를 결정해야 하고, 이것은 전기 쌍극자 모멘트의 시간의 2차 미분과 같다. 따라서
[math(\displaystyle \ddot{\mathbf{p}}=-q_{0}l\omega^{2}\hat{\mathbf{z}}\sin{(\omega t-kr)} )]
로 쉽게 결정할 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=-\frac{q_{0}l\omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{2}r}\sin{(\omega t-kr)}[\hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{r}}\cdot \hat{\mathbf{z}})-\hat{\mathbf{z}} ] \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=\frac{\mu_{0}q_{0}l\omega^{2}}{4 \pi c r}\sin{(\omega t-kr)} [\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{z}}] \end{aligned} )]
이고, 최종적으로 다음과 같이 방사장이 결정된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=-\frac{q_{0}l\omega^{2}}{4\pi \epsilon_{0} c^{2}r} \hat{\boldsymbol{\theta}} \sin{(\omega t-kr)}\sin{\theta} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=-\frac{\mu_{0}q_{0}l\omega^{2}}{4 \pi c r} \hat{\boldsymbol{\phi}} \sin{(\omega t-kr)}\sin{\theta} \end{aligned} )]

7. 점전하 방사

우리는 윗 문단에서 광속보다 매우 느린 전하의 운동으로 변하는 原이 방사하는 전자기파에 대해 알아보았다. 마지막 결과로써 광속보다 매우 느리게 운동하는 점전하 또한 비슷하게 적용될 수 있음을 논의했다. 그러나, 점전하가 광속과 비슷한 경우 이제 우리는 윗 문단에서 썼던 근사는 적용되지 못하고 결과적으로는 다르게 구해야 한다. 따라서 이 문단에서는 광속과 비슷한 속도로 운동하는 빠른 점전하의 전자기파 방사에 대해 알아보고자 한다.

7.1. 리에나르-비헤르트 퍼텐셜


파일:나무_리에나르 퍼텐셜.png

그림과 같이 [math(\mathbf{r'}(t'))]의 곡선 상에서 움직이는 점전하를 고려해보자. 점 [math(\mathrm{O})]는 원점이고, 점 [math(\mathrm{P})]는 관측점이다. 중요한 것은 관측자와 관계되는 시간은 [math(t)]이다. 그런데 우리는 광속보다 전하의 속도가 느린 경우엔 위치의 지체 효과를 무시할 수 있지만, 이제는 광속에 버금가는 빠른 점전하를 고려하고 있기 때문에 위치 또한 지체 효과가 일어난다. 따라서 우리는 시각 [math(t)]에서 관측할 때, 지체 효과가 일어나, 실제로 관측되는 전하의 위치는 현재 위치([math(t)]에서의 위치)가 아니라 지연 위치이다. 이것이 생기는 이유는 간단하게 생각할 수 있다. 점전하의 위치는 점전하에서 방사되는 전자기파를 관측함으로써 결정된다. 그러나, 이 전자기파 또한 지체 효과가 생기기 때문에 위치 또한 관측점에선 지연되는 것이다. 즉, 우리는
[math(\displaystyle t' \rightarrow t_{r}=t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}{c} )]
시각의 위치일 때의 전하를 관측하는 것이다. 따라서 뒤처진 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \Phi=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\int_{V} \frac{\rho(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,dV' \qquad \qquad \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\int_{V} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,dV' )]
으로 주어짐을 고려하자. 우리가 전하량 [math(q)]인 점전하를 고려한다고 하자. 그런데 위에서 전하의 위치는 지연 위치에 있다고 했으므로 전하 밀도는 아래와 같이 나타낼 수 있을 것이다. 시간 항이 붙는 것은 우리가 현재 운동 중인 전하를 고려하고 있기 때문에 전하 분포는 시간마다 변하므로 특정한 시각에서의 전하 밀도를 측정하기 위해서 디랙 델타 함수를 이용해 덧붙인 것이다.
[math(\displaystyle \rho=q\delta^{3}(\mathbf{r'-r'}(t')) \delta\left( t'-\left[ t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{c} \right] \right) )]
따라서 스칼라 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \Phi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\iint \frac{\delta^{3}(\mathbf{r'-r'}(t'))}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|} \delta\left( t'-\left[ t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{c} \right] \right)\,dV'dt' )]
으로 주어진다. 적분 영역은 전하가 있는 온 공간이며, 시간에 대해선 [math(-\infty<t'<\infty )]이다. 따라서 공간에 대한 적분의 결과는 [math(\mathbf{r'}=\mathbf{r'}(t') )]으로 선택되게 된다.
[math(\displaystyle \Phi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \delta(t'')}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'}(t') \right|}\,dt' )]
이때,
[math(\displaystyle t'' \equiv t'-\left[ t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}{c} \right] )]
으로 놓았다. 다음의 디랙 델타 함수의 성질
[math(\displaystyle \int g(x)\delta(f(x))\,dx=\left. g(x)\frac{dx}{df(x)} \right|_{f(x)=0} )]
을 이용하면 스칼라 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \Phi=\left. \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}\frac{dt'}{dt}\right|_{t=0} )]
이 된다. 이때, [math(t')]와 연관된 [math(t)]는 상수이므로
[math(\displaystyle \frac{dt''}{dt'}=1-\frac{1}{c}\frac{d|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}{dt'} )]
그런데, [math(d|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|)]는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} d|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')| &=\boldsymbol{\nabla'}|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')| \cdot d\mathbf{r'} \\ &=-\boldsymbol{\nabla}|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')| \cdot d\mathbf{r'} \end{aligned} )]
프라임([math(')])은 原의 좌표계로 연산을 취한다는 것에서 붙인 것이다. 따라서
[math(\displaystyle \frac{dt''}{dt'}=1+\boldsymbol{\nabla}|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')| \cdot \frac{1}{c}\frac{d\mathbf{r'}}{dt'} )]
이제부터 [math(\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t') \equiv \mathbf{R}(t') )]이라 쓰도록 하자. 이때,
[math(\displaystyle \frac{1}{c}\frac{d\mathbf{r'}}{dt'} \equiv \boldsymbol{\beta}(t') )]
로 정의하도록 하자. 이것은 결국 광속으로 규격화된 전하의 속도가 될 것이다. 따라서
[math(\displaystyle \frac{dt''}{dt'}=\frac{R(t')-\boldsymbol{\beta}(t') \cdot \mathbf{R}(t')}{R(t')} )]
그런데 위 결과에서 [math(t''=0)]의 조건에서 우리는
[math(\displaystyle t'=t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}{c}=t_{r} )]
이므로 이제부터 [math(t'=t_{r})]의 지체시간이 된다. 따라서 우리는 뒤처진 스칼라 퍼텐셜을
[math(\displaystyle \Phi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{R(t_{r})-\boldsymbol{\beta}(t_{r}) \cdot \mathbf{R}(t_{r})} )]
으로 쓸 수 있음을 얻는다. 스칼라 퍼텐셜이 결정되었으므로 벡터 퍼텐셜은 쉽게 결정할 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{J}(t')=\mathbf{v}(t') \rho(t') )]
로 쓸 수 있으므로 뒤처진 벡퍼 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \mathbf{A}=\frac{\boldsymbol{\beta}(t_{r})}{c}\Phi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} c} \frac{\boldsymbol{\beta}(t_{r})}{R(t_{r})-\boldsymbol{\beta}(t_{r}) \cdot \mathbf{R}(t_{r})} )]

이상을 요약하면, 광속과 버금가게 빠르게 움직이는 점전하에 대한 뒤처진 스칼라 퍼텐셜과 뒤처진 뒤처진 벡터 퍼텐셜은 아래와 같이 결정됨을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi&=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{R-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{R}} \\ \mathbf{A}&=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} c} \frac{\boldsymbol{\beta}}{R-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{R}} \end{aligned} )]
여기서
[math(\displaystyle \frac{1}{c}\frac{d\mathbf{r'}}{dt} \equiv \boldsymbol{\beta} )]
으로, 광속으로 규격화된 전하의 속도이다. 각 물리량은 지연 시간에 측정된 것에 유의하고, 위와 같은 퍼텐셜을 리에나르-비헤르트 퍼텐셜(Liénard–Wiechert potential)이라 한다.

여담으로, 위의 퍼텐셜은 프랑스 물리학자 리에나르(Alfred-Marie Liénard; 1869〜1958)와 독일의 물리학자 비헤르트(Emil Johann Wiechert; 1861〜1928)가 각각 유도한 것이며, 이들의 업적을 기리기 위해 위와 같은 이름을 붙이게 되었다.

7.2. 점전하 방사장

윗 문단에서 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜이 각각 결정되었기 때문에 우리는 장(Field)을 결정할 수 있다. 그러나 이들의 장을 결정하는 것은 매우 복잡하기 때문에 이 문서에서는 결과만을 적는다. 우선적으로
[math(\displaystyle K \equiv R-\mathbf{R} \cdot \boldsymbol{\beta} )]
으로 정의하자. 그렇게 되면, 전기장은
[math(\displaystyle \mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}K^{3}}\left[ ( 1-\beta^{2} ) ({\mathbf{R}}-R\boldsymbol{\beta})+\frac{\mathbf{R} \times[ ({\mathbf{R}}-R\boldsymbol{\beta}) \times \mathbf{a} ]}{c^{2}} \right] )]
으로 쓸 수 있고, 자기장은
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}cK^{3}}\left[ ( 1-\beta^{2} ) (\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{R})+\frac{(\mathbf{R} \cdot \mathbf{a})(\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{R})+K(\mathbf{a} \times \mathbf{R})}{c^{2}} \right] )]
이며, 이것을 벡터 해석학적으로 다시 분석하면,
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\hat{\mathbf{R}}}{c} \times \mathbf{E} )]
으로 결정됨을 알 수 있다. 이 결과는 점전하가 방사하는 전자기장은 항상 직교하며, 지연 위치까지의 위치 벡터와도 직교함을 나타낸다. 즉, 전자기파의 성질이 다시 여기서 확인된 것이다. 이때, 위에서의
[math(\displaystyle \mathbf{a}=c\dot{\boldsymbol{\beta}} )]
으로 결국 이것은 지연 시간의 전하의 가속도를 나타낸다.

위에서 구해진 장은 두 항 씩 나눈다.
[math(\displaystyle \mathbf{E}=\mathbf{E}_{v}+\mathbf{E}_{a} \qquad \qquad \mathbf{B}=\mathbf{B}_{v}+\mathbf{B}_{a} )]
이때, 각 항은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}_{v}&\equiv \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}K^{3}} ( 1-\beta^{2} ) ({\mathbf{R}}-R\boldsymbol{\beta}) \\ \mathbf{E}_{a}&\equiv\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}K^{3}}\frac{\mathbf{R} \times[ ({\mathbf{R}}-R\boldsymbol{\beta}) \times \mathbf{a} ]}{c^{2}} \\ \mathbf{B}_{v}&\equiv\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}cK^{3}} ( 1-\beta^{2} ) (\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{R}) \\ \mathbf{B}_{a}&\equiv\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}cK^{3}}\frac{(\mathbf{R} \cdot \mathbf{a})(\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{R})+K(\mathbf{a} \times \mathbf{R})}{c^{2}} \end{aligned} )]
위에서 [math(v)]의 첨자가 붙은 항은 일반적으로 속도장이라 부르며, [math(R^{-2})]에 비례한다. 이와 대치적으로 가속도와 관계된 [math(a)]의 첨자가 붙은 항은 가속도장이라 부르며, [math(R^{-1})]에 비례하게 된다. 우리는 전하로 부터 매우 멀어져도 방사 강도가 존재하는 방사장을 고려하고 있고, 전하보다 매우 먼 영역에서 가속도장은 속도장보다 우세하므로 결과적으로 이러한 영역에서는 가속도장만이 남게된다. 따라서 우리가 고려하는 점전하의 방사장은 이 가속도장이다. 따라서 우리가 찾는 방사장을 나열하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}K^{3}}\frac{\mathbf{R} \times[ ({\mathbf{R}}-R\boldsymbol{\beta}) \times \mathbf{a} ]}{c^{2}} \\ \mathbf{B}&=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}cK^{3}}\frac{(\mathbf{R} \cdot \mathbf{a})(\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{R})+K(\mathbf{a} \times \mathbf{R})}{c^{2}} \end{aligned} )]
이 된다.

7.2.1. 예제 : 등속도로 움직이는 점전하

[문제]
전하량 [math(q)]인 전하가 [math(\mathbf{v})]의 등속도로 움직일 때, (a) 스칼라 퍼텐셜, (b) 벡터 퍼텐셜, (c) 전기장, (d) 자기장을 구하시오.

[풀이 보기]
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편의 상 우리는 [math(t=0)]일 때, 전하가 원점을 지난다고 생각할 것이다. 우리는 다음의 정보를 안다.
[math(\displaystyle \mathbf{a}=0\qquad \qquad \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t_{r}) \qquad \qquad \boldsymbol{\beta}=\frac{\mathbf{v}}{c} )]
이때, 조건에 따라
[math(\displaystyle \mathbf{r'}(t)=\mathbf{v}t )]
이다. 그런데,
[math(\displaystyle R=c(t-t_{r})\,\rightarrow\,\left| \mathbf{r}-\mathbf{v}t_{r} \right|=c(t-t_{r}) )]
을 만족해야 함에 따라 양변을 제곱하여, 우리는 관측점에 대한 시각과 전하에 대한 시각에 대한 관계를 구할 수 있다:
[math(\displaystyle t_{r}=\frac{(c^{2}t-\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})\pm [(c^{2}t-\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^{2}+(c^{2}-v^{2})(r^{2}-c^{2}t^{2} ) ]^{1/2}}{c^{2}-v^{2}} )]
[math(v\rightarrow 0)]의 극한에서
[math(\displaystyle t_{r}=t \pm \frac{c}{r} )]
이때, 전하는 원점에 있기 때문에 지연 시간을 올바르게 하려면, 음의 부호를 택해야 함에 따라
[math(\displaystyle t_{r}=\frac{(c^{2}t-\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})- [(c^{2}t-\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^{2}+(c^{2}-v^{2})(r^{2}-c^{2}t^{2} ) ]^{1/2}}{c^{2}-v^{2}} )]
를 택해야 함을 알 수 있다.

(a)
스칼라 퍼텐셜
[math(\displaystyle \Phi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{R(t_{r})-\boldsymbol{\beta}(t_{r}) \cdot \mathbf{R}(t_{r})} )]
임을 알고 있다. 그런데 분모는 결국
[math(\displaystyle R(t_{r})-\boldsymbol{\beta}(t_{r}) \cdot \mathbf{R}(t_{r})= R-\mathbf{R} \cdot \frac{\mathbf{v}}{c} )]
임을 이용하면, 분모는
[math(\displaystyle \frac{\sqrt{(c^{2}t-\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^{2}+(c^{2}-v^{2})(r^{2}-c^{2}t^{2} ) }}{c})]
으로 결정되고, 결국 스칼라 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \Phi=\frac{qc}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\sqrt{(c^{2}t-\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^{2}+(c^{2}-v^{2})(r^{2}-c^{2}t^{2} ) }} )]
이 되고, 분모를 정리하고, [math(\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}-\mathbf{v}t)]를 이용하면,
[math(\displaystyle \Phi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R(t)} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}\sin^{2}{\theta} }} )]
로 쓸 수 있고, [math(\theta)]는 [math(\mathbf{R})]과 [math(\mathbf{v})]가 이루는 각이다.

(b)
스칼라 퍼텐셜이 결정되면, 벡터 퍼텐셜은 쉽게 결정된다:
[math(\displaystyle \mathbf{A}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}c} \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{(c^{2}t-\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^{2}+(c^{2}-v^{2})(r^{2}-c^{2}t^{2} ) }} )]
이것은 스칼라 퍼텐셜과 같은 논법으로,
[math(\displaystyle \mathbf{A}=\frac{q \mathbf{v}}{4 \pi \epsilon_{0}c^{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}\sin^{2}{\theta} }} )]
의 형태로 쓸 수 있다.

(c)
이 문제에서는 가속도가 없는 상황을 다루기 때문에 전자기장은 가속도와 관련되지 않는 장 즉, 속도장만 고려하면 된다. 즉, 전기장은
[math(\displaystyle \mathbf{E}= \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}K^{3}} ( 1-\beta^{2} ) ({\mathbf{R}}-R\boldsymbol{\beta}) )]
우리는 (a)에서 전기장의 표현을 바꾸었을 때의 결과를 참조하면,
[math(\displaystyle K=R(t)\sqrt{1-\beta^{2}\sin^{2}{\theta}} )]
이고, 위의
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\mathbf{R}}-R\boldsymbol{\beta}&=\mathbf{r}-\mathbf{v}t_{r}-(t-t_{r})\mathbf{v} \\ &=r-\mathbf{v}t \\ &=\mathbf{R}(t) \end{aligned} )]
이상에서 결정되는 전기장은
[math(\displaystyle \Phi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{1-\beta^{2}}{[1-\beta^{2}\sin^{2}{\theta}]^{3/2}}\frac{\hat{\mathbf{R}}(t)}{R(t)^{2}} )]
이 결과에서 특이한 점은 우리는 전하가 지연 위치에서 原으로 하여 장이 방사된다고 했지만, 이 문제는 전하의 현재의 분리 벡터 방향을 향한다는 것이다. 또한, 분모에 [math(\sin^{2}{\theta})]가 들어있으므로 전기장은 본래 구 대칭이었던 정전기학적 상황과 달리 이제 각 [math(\theta)]에 의존한다는 것을 알 수 있고, 다음의 결과를 얻는다.
  • 전하의 수평 방향 ([math(\theta=0,\,\pi)]) : 전기장이 본래보다 [math(\sqrt{1-\beta^{2}})]만큼 약하다.
  • 전하의 수직 방향 ([math(\theta=\pm \pi/2)]) : 전기장이 본래보다 [math( (1-\beta^{2})^{-1/2} )]만큼 강하다.
따라서 전하의 수직 방향으로 갈 수록 전기장은 촘촘해지고, 수평방향으로 갈 수록 전기장은 듬성듬성 존재하게 된다. 이것은 아래의 자료를 참고하라:

파일:나무_리에나르_점전하예제_수정.png

이 사이트에서 등속도 움직이는 점전하의 전기장이 어떻게 생기는 지 확인할 수 있다. 메뉴 중 'Linear'을 누르면 된다.

(d)
자기장은
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\frac{1}{c}(\hat{\mathbf{R}}(t_{r}) \times \mathbf{E}) )]
그런데,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathbf{R}}(t_{r})&=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{v} t_{r}}{R(t_{r})} \\&=\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{v}t)+(t-t_{r})\mathbf{v} }{R(t_{r})} \\ &=\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{v}t)+(t-t_{r})\mathbf{v} }{c(t-t_{r})} \\&=\frac{\mathbf{R}(t)}{R(t_{r})}+\frac{\mathbf{v}}{c} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있으므로
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\frac{1}{c^{2}}(\mathbf{v} \times \mathbf{E}) )]
으로 구할 수 있다. 자기장은 전하 주위를 맴도는 형태가 되게 된다.

[추가 자료]
우리는 이 문제를 [math(\beta \ll 1)]의 비상대론적 영역에서 전하의 전자기장은 어떻게 결정지어지는 지 논의하고 끝마치고자 한다. 이러한 영역에서는 전자기장은 아래와 같이 결정된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&\simeq \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{\hat{\mathbf{R}}(t)}{R(t)^{2}} \\ \mathbf{B}&\simeq\frac{\mu_{0} q}{4 \pi R^{2}}[\mathbf{v} \times \hat{\mathbf{R}}(t) ] \end{aligned} )]
전기장은 결국 등속도로 움직이는 점전하의 쿨롱 법칙이 되고, 자기장은 결국 점전하에 대한 비오-사바르 법칙임을 알 수 있다. 그러나, 비오-사바르 법칙은 정상 전류에 한해서만 정의되었음을 주의해야 한다. 점전하의 운동은 면밀히 이야기 하면, 정상 전류가 아니고, 위의 결과에 따르면, 비상대론적([math(\beta \ll 1)]) 전하에만 적용된다는 것을 알 수 있다. 따라서 상대론적 점전하에 대해 위 공식을 써서 자기장을 계산하면, 올바르게 얻을 수 없고, 이 예제의 결과를 써야만 된다.

7.3. 점전하 방사 분석

우리는 윗 문단과 빠르게 가속하는 전하의 장이 결정되었음에 따라 이제부터는 포인팅 벡터와 방사 일률에 대해 이야기하고자 한다. 포인팅 벡터 [math(\mathbf{S}\equiv \mathbf{E} \times \mathbf{B}/\mu_{0})]에서
[math(\displaystyle \mathbf{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{E} \times \left( \frac{\hat{\mathbf{R}}}{c} \mathbf{} \times \mathbf{E} \right) )]
으로 구할 수 있다. 이때, [math(\mathbf{E} \perp \hat{\mathbf{R}})]임을 상기하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S}&=\frac{E^{2}}{\mu_{0}c}\hat{\mathbf{R}} \\ &=\frac{q^{2}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0} c K^{6}} \left| \mathbf{R} \times[ ({\mathbf{R}}-R\boldsymbol{\beta}) \times \mathbf{a} ] \right|^{2} \end{aligned} )]
으로 구할 수 있다.

그렇다면, 방사장의 방사 일률은 어떻게 구하는지가 이제 우리의 목적이 될 것이다. 중요한 것은 관측자에 대한 시간은 [math(t)]이지만, 전하에 대한 시간은 [math(t_{r})]이라는 점에 유의하여야 한다. 에너지가 방출되는 原은 전하 자체이기 때문에 시간 [math(t)]에서 [math(t+dt)]에 이르기 까지 입체각 [math(d \Omega)]에서 방사된 일률은
[math(\displaystyle dW=\mathbf{S} \cdot \hat{\mathbf{R}} R^{2}d\Omega dt )]
로 쓸 수 있다. 위에서 언급했던 유의점을 다시 상기하면, 단위 입체각 당 방사 일률은 다음으로 써야한다는 사실을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{dW}{dt_{r}}=\mathbf{S} \cdot \hat{\mathbf{R}} R^{2}d\Omega \frac{dt}{dt_{r}} )]
이때, [math(dW/dt_{r})]은 일률 [math(P)]가 된다.[11] 따라서 우리는 단위 입체각 당 방사 일률을 다음과 같이 결정할 수 있음을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{dP}{d\Omega}=\mathbf{S} \cdot \hat{\mathbf{R}} R^{2} \frac{dt}{dt_{r}} )]
이때, [math(t=t_{r}+R/c)]임을 이용하면,
[math(\displaystyle \frac{dt}{dt_{r}}=1+\frac{1}{c}\frac{dR}{dt_{r}} )]
우리는 윗 문단에서 나왔던
[math(\displaystyle \frac{dt}{dt_{r}}=1-\frac{1}{c}\frac{dR}{dt_{r}} \qquad \qquad \frac{dt}{dt_{r}}=\frac{R-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{R}}{R} )]
을 이용하면, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{1}{c}\frac{dR}{dt_{r}}=-\frac{\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{R}}{R} )]
이상에서
[math(\displaystyle \frac{dt}{dt_{r}}=1-\frac{\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{R}}{R}=\frac{K}{R})]
따라서 이 결과를 쓰면, 우리가 구하는 단위 입체각 당 방사 일률은
[math(\displaystyle \frac{dP}{d \Omega}=\frac{q^{2} R}{16 \pi^{2} \epsilon_{0} c K^{5}} \left| \mathbf{R} \times[ ({\mathbf{R}}-R\boldsymbol{\beta}) \times \mathbf{a} ] \right|^{2} )]
이로써 우리는 모든 입체각에 대해 적분하여 총 방사 일률을 구할 수 있다. 이것의 계산 과정은 매우 복잡함에 따라 다음의 결과만을 제시함으로써 논의를 끝내고자 한다.
[math(\displaystyle P=\frac{q^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3} }\frac{a^2-|\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{a}|^{2}}{(1-\beta^{2})^{3}} )]
이 식 에서 부터 [math(v \rightarrow c)]이면, [math(\beta \rightarrow 1)]이므로 방사 일률은 매우 커진다는 것을 알 수 있다. 이제 우리는 [math(\beta \ll 1)]인 영역을 보고자한다. 즉, [math(v \ll c)]인 경우를 다루고자 한다는 것이다. 이 경우에서 [math(1-\beta^{2}\simeq 1)]이고, [math(|\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{a}|^{2} \simeq 0)]이라 둘 수 있기때문에
[math(\displaystyle P=\frac{q^{2} a^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3} } )]
이다. 즉, 이전에 구했던 라모 공식으로 환원된다는 것을 알 수 있다.

참고로, 상대성 이론에 등장하는 로런츠 인자 [math(\gamma)]를 이용하면, 위에서 구했던 총 방사일률은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle P=\frac{q^{2}\gamma^{6}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3} }[a^2-|\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{a}|^{2}] )]
다만, 우리는 상대성 이론은 아직 고려하지 않았음을 상기하라.

7.3.1.

우리는 이 예에서 특수한 조건에서 전자기파의 방사 패턴을 구하고자 한다. 다음의 가정을 사용한다:
  • 전하의 가속은 일정하게 일어난다.
  • 전하의 가속의 방향은 전하의 초기 운동 방향과 같다.
즉, 이 문제에서 [math(\boldsymbol{\beta})]와 가속도 [math(\mathbf{a} )]는 서로 평행하다. 따라서 방사장의 전기장은
[math(\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}c^{2}K^{3}}[ (\mathbf{R} \cdot \mathbf{a})\mathbf{R}-R^{2}\mathbf{a} ] )]
이제부터 우리는 [math(\theta)]를 [math(\mathbf{a})] 혹은 [math(\boldsymbol{\beta})]와 [math(\mathbf{R})] 사이의 각도라 하자. 따라서 우리는 이 방사장의 포인팅 벡터를 다음과 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{S}= \frac{q^{2}a^{2}R^{4}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} \mu_{0} c^{5} K^{6}}\sin^{2}{\theta}\hat{\mathbf{R}} )]
따라서 윗 문단의 논법을 참고하고,
[math(\displaystyle K=R(1-\beta\cos{\theta}) )]
로 쓸 수 있음 또한 참고하면, 우리는 단위 입체각 당 방사 강도를 다음과 같이 쓸 수 있음을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{dP}{d \Omega}= \frac{q^{2}a^{2}\sin^{2}{\theta}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} \mu_{0} c^{5} (1-\beta\cos{\theta})^{5}} )]
따라서 우리는 방사 패턴을 결정할 수 있으며, 아래는 몇몇의 [math(\beta)]에 대해 나타낸 것이다. 다만, 아래의 패턴들은 실제적 크기가 아닌 높이에 대해 규격화되어 있으므로 해석에 유의하여야 한다. 또한 두 벡터가 이룰 수 있는 각은 [math(0<\theta<\pi)]임도 참고하라.

파일:나무_제동방사패턴.png

위 그림과 같이 속도가 커짐에 따라 방사 강도가 최대가 되는 각은 상이한 것을 알 수 있다. 주목해야 할 것은 [math(\beta=0)]일 때는 우리가 다뤘던 쌍극자 방사에 의한 방사 패턴과 동일하다는 것이다. 따라서 전하의 속력이 [math(v \ll c)]라면, 방사 패턴은 쌍극자 방사의 패턴과 같으며, [math{\boldsymbol{\beta}}]와 평행한 축을 기준으로, 동일한 축 상에선 방사 일률이 없으며, 최대는 해당 축과 수직인 축에서이다.

우리는 단위 입체각 당 방사 일률을 구했으므로 총 방사 일률은 쉽게 구할 수 있다:
[math(\displaystyle P=\oint_{\Omega} \frac{q^{2}a^{2}\sin^{2}{\theta}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} \mu_{0} c^{5} (1-\beta\cos{\theta})^{5}}\,d \Omega=\frac{q^{2}a^{2}c^{2}}{6 \pi \epsilon_{0}} \gamma^{6} )]
[math(\gamma)]는 로런츠 인자이다. 이제 우리는 점전하가 감속되어서 정지할 때까지 전하가 방사한 에너지에 대해 알아보도록 하자. 만약 입자의 초기 속력이 [math(v_{0})]이고, 가속도가 [math(a)]인 경우를 고려하자. 이때, 입자가 방사한 에너지는
[math(\displaystyle E=\int P\,dt_{r} )]
로 쓸 수 있고, 광속으로 규격화된 속력은
[math(\displaystyle \beta(t_{r})=\frac{v_{0}-at_{r}}{c} )]
이다. 이때, 전하가 초기 속도로 부터 [math(\tau)]만큼의 시간 간격에 의해 정지했다고 가정하면,
[math(\displaystyle E=\int_{0}^{\tau} \frac{q^{2}a^{2}c^{2}}{6 \pi \epsilon_{0}}\frac{1}{(1-\beta^{2})^{3}}\,dt_{r} )]
변수 치환 [math(t_{r} \rightarrow \beta)]와 [math(v_{0}=a\tau)]를 이용하면,
[math(\displaystyle E=\frac{c}{a}\frac{q^{2}a^{2}c^{2}}{6 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{\beta_{0}} \frac{1}{(1-\beta^{2})^{3}}\,d\beta )]
으로 쓸 수 있다. [math(\beta_{0} \equiv v_{0}/c)]이다. 이 적분을 계산하면,
[math(\displaystyle E=\frac{q^{2}ac^{3}}{6 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{5\beta_{0}-3\beta_{0}^{2}}{8(1-\beta_{0}^{2})}+\frac{3}{16}\ln{\left[ \frac{1+\beta_{0}}{1-\beta_{0}} \right]} \right] )]
이 된다.

우리는 추가적으로 광속으로 규격화된 속도 [math(\boldsymbol{\beta})]와 가속도 [math(\mathbf{a})]가 직교하는 경우를 보고자한다. 우리는 쉽게 분석하기 위해 [math(\boldsymbol{\beta}=\beta \hat{\mathbf{z}})], [math(\mathbf{a}=a\hat{\mathbf{x}})]인 경우로 설정하면, 단위 입체각 당 복사 강도는 아래와 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \frac{dP}{d \Omega}= \frac{q^{2}a^{2}[(1-\beta\cos{\theta})^{2}-(1-\beta^{2}) \sin^{2}{\theta} \cos^{2}{\phi} ] }{16 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} \mu_{0} c^{5} (1-\beta\cos{\theta})^{5}} )]
로 상당히 복잡하게 주어진다. 이때, [math(\theta)], [math(\phi)]는 각각 [math(\boldsymbol{\beta})], [math(\mathbf{a})]와 이루는 각이다. 이 결과는 원운동을 하는 전하의 방사에 대해 논할 때 유용하게 쓰이게 된다. 이것의 방사패턴은 아래와 같다.[12]

파일:나무_점전하방사예.png

8. 방사 반작용

우리는 전자기파 방사 이론의 마지막 논의로 방사 반작용을 하고자한다. 윗 문단들로 부터 우리는 가속하는 전하는 전자기파를 방출하고, 전자기파 자체도 에너지이므로 전자기파가 방사될 때 입자에게 추가의 에너지를 공급하지 않는 이상은 전하의 에너지는 감소할 것이고, 이것은 곧 전하가 감속된다는 것을 뜻한다. 따라서 이 문단에서는 이러한 과정에 대해서 고찰할 것이다.

8.1. 방사 반작용력

우리는 이제부터 비상대론적([math(v \ll c)])의 전하를 고려할 것이다. 이런 점전하가 방사하는 일률을 라모 공식에 따라
[math(\displaystyle P=\frac{q^{2}a^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} )]
으로 쓸 수 있다. 그러나 우리는 위의 공식은 방사장만 고려해줬다는 것에 문제가 된다. 즉, 매우 먼 영역에서 방사되는 전자기파는 위와 같은 일률을 방사하지만, 이것은 매우 먼 영역일 뿐이고, 실제적으로는 근거리 장 즉, 속도장에 의한 에너지도 있으므로 방사 반작용력을 구할 때, 위만 갖고 셈하기에는 조금 무리가 있다. 따라서 이제 우리는 주기적인 운동에만 초점을 맞추도록 하자. 여기서 주기적인 운동이란, 조화 진동자나, 원운동 같은 운동을 의미한다. 이렇게 하면, 한 주기 간격에서 전하의 운동 상태가 같게 되므로 에너지를 고려할 때, 방사장만 고려해주면 된다.

우리는 이제 방사 일률이란 단어의 참뜻에 대해 생각해보자. 전자기파에 의해 방사되는 일률은 곧, 어떤 반작용력이 전하에 작용하여, 손실시킨 일률과 같을 것이다. 따라서 우리는 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{F}_{r} \cdot \mathbf{v}=-\frac{q^{2}a^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} )]
우리는 고려하고 있는 반작용력을 [math(\mathbf{F}_{r})]라 썼다. 따라서 우리는 이것을 한 주기에 대해 양변을 적분한다.
[math(\displaystyle \int_{\text{1 period}}\mathbf{F}_{r} \cdot \mathbf{v}\,dt=- \frac{q^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} \int_{\text{1 period}}a^{2}\,dt )]
이때, 부분적분법을 쓰면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{\text{1 period}}a^{2}\,dt &=\int_{\text{1 period}} \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dt \\ &=\left. \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\mathbf{v} \cdot\mathbf{v} ) \right|_{\text{1 period}}-\int_{\text{1 period}} \frac{d^{2} \mathbf{v}}{dt^{2}} \cdot \mathbf{v} \,dt \end{aligned} )]
우리는 주기적인 운동을 고려하므로 한 주기 간격으로 운동 상태는 같다. 따라서 우변의 제 1항은 없어진다. 따라서
[math(\displaystyle \int_{\text{1 period}}\mathbf{F}_{r} \cdot \mathbf{v}\,dt= \int_{\text{1 period}} \left( \frac{q^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}}\frac{d^{2} \mathbf{v}}{dt^{2}} \right) \cdot \mathbf{v} \,dt )]
이상에서 방사 반작용력은 다음과 같이 구해짐을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{F}_{r} = \frac{q^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}}\frac{d \mathbf{a}}{dt} )]
성분만을 고려하면, 다음과 같은 방사 반작용력이 구해진다.
[math(\displaystyle F_{r}=\frac{q^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}}\frac{da}{dt} )]

이제 우리는 위의 논의를 가지고, 고유 진동수가 [math(\omega_{0})]인 진동자에 전하량 [math(q)]이고, 질량 [math(m)]인 점전차의 운동 방정식을 기술해보도록 하자.

점전하는 진동자에 매달린 채 두 가지 힘인 진동자에 의한 힘과 방사 반작용력을 받는다. 여기서는 구동력은 고려하지 않을 것이고, 전하가 만약 [math(z)]축에서 운동한다면,
[math(\displaystyle m \frac{d^{2}z}{dt^{2}}=-m \omega_{0}^{2}z+\frac{q^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}}\frac{d^{3}z}{dt^{3}} )]
으로 쓸 수 있을 것이다.

9. 관련 문서



[1] 이제부터는 전기 퍼텐셜을 스칼라 퍼텐셜이라 부를 것이다.[2] 퍼텐셜 뿐만 아니라 전하 분포, 전류 모두 해당된다.[3] [math(t)]는 관측자 기준에서 잰 시간이다.[4] 이제부터는 자기 퍼텐셜을 벡터 퍼텐셜이라 칭할 것이다.[5] [math(R=\left|\mathbf{r-r'} \right|)], [math(\mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} )], [math(\mathbf{r'}=z'\hat{\mathbf{z}} )]이다.[6] 우리는 단색광을 고려하고 있으므로 모든 장의 시간 항은 [math( e^{-i \omega t})]인 점을 상기하라.[7] 물론 수신에도 사용하기도 한다.[8] 이것을 쌍극자 근사라 한다.[9] 물론 쌍극자 근사로만으로는 설명을 할 수 없는 경우도 있다. 그런 경우엔 쌍극자 이상의 다중극 근사를 이용해야 할 것이나, 그런 경우는 여기서 다루지 않는다.[10] 이것은 수준 상 제시만 할 것이다. 궁금한 위키러전자기학 교재를 찾아볼 것.[11] 굳이 dt_{r}을 나눠서 일률을 구하는 지 의심간다면, 지금의 내용을 제대로 이해하지 못하고 있는 것이다. 전하에 대한 시간은 [math(t_{r})]이라는 점을 상기하라. 그렇다면, 전하에서 방사된 장이 일률을 방사하는 것은 [math(t_{r})]과 관련되어있다는 것을 알 수 있을 것이다.[12] 그러나, 이 방사 패턴의 경우엔 [math(\phi)]에도 의존하기 때문에 실제론 [math(\phi)]에 따라 달라진다. 아래의 패턴은 임의의 [math(\phi)]를 기준으로 한 것이므로 해석에 유의하여야 한다.