1. 개요
Théorème d'Ampère / Ampère's law / Ampère 法則앙드레 앙페르(André-Marie Ampère;1775~1836)가 발견한 앙페르 법칙은 특정 경로의 자기장과 경로 내부의 알짜 전류의 관계에 대한 법칙이다.
2. 초기 이론
앙페르 법칙은 다음과 같이 수학적으로 나타난다.| [math(\begin{aligned} \oint_C {\bf B}\bm\cdot{\rm d}{\bf l} &= \mu_0\iint_S{\bf J}\bm\cdot{\rm d}{\bf a} \\ &= \mu_0I_{\sf enc} \end{aligned})] |
즉, 어떤 폐곡선과 나란한 방향의 [math(\bf B)]의 성분은 그 폐곡면에 수직하게 투과하는 전류에 비례한다는 것을 나타내는 수식이며, 쉽게 설명하면, 전류가 자기장을 형성한다라는 것이다. 또한,
| [math(\displaystyle \oint_C {\bf B}\bm\cdot{\rm d}{\bf l} = \mu_0 \iint_S{\bf J}\bm\cdot{\rm d}{\bf a})] |
| [math(\displaystyle \iint_S (\bm{\nabla\times\bf B})\bm\cdot{\rm d}{\bf a} = \iint_S \mu_0{\bf J}\bm\cdot{\rm d}{\bf a})] |
| [math(\bm{\nabla\times\bf B} = \mu_0\bf J)] |
2.1. 물질에서의 앙페르 법칙
| [math(\begin{aligned} \int{\bf H}\bm\cdot{\rm d}{\bf l} &= I_f \\ \bm{\nabla\times\bf H} &= {\bf J}_f \end{aligned})] |
2.2. 관련 예제
2.2.1. 무한 원통
축이 [math(z)]위에 놓여있고, 반지름이 [math(R)]인 원통에 균일하고, [math(+\bf\hat z)]방향의 정상 전류 [math(I)]가 흐르는 도체를 고려해보자. 원통 좌표계에서 생각했을 때, 자기장은 [math(\bm{\hat\rho})], [math(\bm{\hat\phi})], [math(\bf\hat z)]방향으로 존재한다. 현재 문제에서는 [math(\phi)], [math(z)]에 대한 대칭성이 있으므로 자기장은 [math(\rho)]에만 의존할 것이다. 즉, 구하는 자기장은 아래의 꼴로 주어진다.| [math({\bf B}(\rho) = B_\rho(\rho)\bm{\hat\rho}+B_\phi(\rho)\bm{\hat\phi}+B_z(\rho){\bf\hat z})] |
우선 위 그림의 (가)처럼 반지름이 [math(\rho)]이고, 높이가 [math(L)]인 원기둥인 폐곡면을 잡는다. 자기에 관한 가우스 법칙에 따르면, 폐곡면 표면을 지나가는 총 선속(flux)은 [math(0{\rm\,Wb})]가 돼야하고, 자기장이 [math(\rho)]에만 의존하므로 윗면과 아랫면의 선속은 서로 상쇄된다. 따라서
| [math(\begin{aligned} \oint {\bf B}\bm\cdot{\rm d}{\bf a} &= B_{\rho}(\rho)\bm\cdot 2\pi RL \\ &= 0{\rm\,Wb} \\ \therefore B_{\rho}(\rho) &= 0{\rm\,Wb/m^2}\end{aligned})] |
또한, (나)처럼 직사각형의 폐곡선을 잡자. 폐곡선 안을 지나가는 전류는 없으므로
| [math(\displaystyle \oint {\bf B}\bm\cdot{\rm d}{\bf l} = 0{\rm\,Wb/m})] |
| [math([B_z(\rho_1)-B_z(\rho_2) ]{\cdot}L = 0{\rm\,Wb/m} \\ \therefore B_z(\rho_1) = B_z(\rho_2))] |
이번엔 위 그림과 같이 반지름 [math(\rho\,(\rho>R))]인 원을 폐곡선으로 잡자. 여기에 통과하는 전류는 [math(I_{\sf enc} = I)]이므로 앙페르 법칙을 적용하면,
| [math(\begin{aligned} \oint {\bf B}\bm\cdot{\rm d}{\bf l} &= B_\phi(\rho){\cdot}2\pi \rho \\ &= \mu_0I \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} B_\phi(\rho) &= \frac{\mu_0}{2\pi}\frac I\rho \\ \therefore {\bf B} &= \frac{\mu_0}{2\pi}\frac I\rho \bm{\hat\phi} \quad (\rho>R) \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} I_{\sf enc} &= \frac I{\pi R^2}{\cdot}{\left(\pi\rho^2\right)} \\ &= \frac{\rho^2}{R^2}I \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \oint {\bf B}\bm\cdot{\rm d}{\bf l} &= B_\phi(\rho){\cdot}2\pi\rho \\ &= \mu_0{\left( \frac{\rho^2}{R^2}I \right)} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} B_\phi(\rho) &= \frac{\mu_0I}{2\pi R^2}\rho \\ \therefore {\bf B} &= \frac{\mu_0I}{2\pi R^2}\rho \bm{\hat\phi} \quad (\rho<R) \end{aligned})] |
| [math({\bf B} = \begin{cases} \cfrac{\mu_0I}{2\pi R^2}\rho\bm{\hat\phi} & (\rho<R) \\ \cfrac{\mu_0I}{2\pi\rho}\bm{\hat\phi} & (\rho>R) \end{cases})] |
2.2.2. 무한 평면
위 그림과 같이 [math(xy)]평면에 놓여있는 아주 넓고, 얇은 전도성 도체판에 표면 전류 밀도 [math({\bf K} = K{\bf\hat y})]로 전류가 흐를 때, 자기장을 구해보자. 위 문제에선 [math(x)], [math(y)]에 대한 대칭성 때문에 자기장은 [math(z)]에만 의존하므로 다음과 같이 주어진다.
| [math({\bf B}(z) = B_x(z){\bf\hat x} + B_y(z){\bf\hat y} + B_z(z){\bf\hat z})] |
| [math(\begin{cases} B_x(z) = -B_x(-z) \\ B_y(z) = B_y(-z) \\ B_z(z) = -B_z(-z) \end{cases})] |
다음과 같이 윗면과 아랫면의 면적이 [math(S)], 높이가 [math(2z)]인 원기둥을 폐곡면으로 잡자.
이때, 자기장이 [math(z)]에만 의존하므로 원기둥의 옆면을 통과하는 선속은 없다.[1] 폐곡면에 대한 총 선속은 [math(\rm0\,Wb)]가 되어야 하므로
| [math(\begin{aligned} \oint {\bf B}\bm\cdot{\rm d}{\bf a} &= [B_z(z)-B_z(-z) ]{\cdot}S \\ &= 0{\rm\,Wb} \\ \therefore B_z(z) &= B_z(-z) \end{aligned})] |
| [math(B_z(z) = 0{\rm\,Wb/m^2})] |
우선 ①과 같이 폐곡선 안에 전류가 들어오지 않게끔 [math(\bf K)]와 평행한 방향으로 잡은 경우를 생각해보자. 구하는 자기장은 [math(z)]에만 의존하므로 세로 부분에 대한 적분은 상쇄된다. 또한, 폐곡선안으로 유입되는 전류가 없으므로
| [math(\begin{aligned} \oint {\bf B}\bm\cdot{\rm d}{\bf l} &= [B_y(z)-B_y(-z) ]{\cdot}a \\ &= 0{\rm\,Wb} \\ \therefore B_y(z) &= B_y(-z) \end{aligned})] |
| [math(B_y(z) = 0{\rm\,Wb/m^2})] |
다음으로, ②와 같이 폐곡선 안에 전류가 유입되게 폐곡선을 잡는다. 이때, 방향은 [math(\bf K)]와 직교하는 방향이다. 마찬가지로 구하는 자기장은 [math(z)]에만 의존하므로 세로 부분에 대한 적분은 상쇄된다. 또, 폐곡선 안에 유입되는 전류는
| [math(I_{\sf enc} = Ka)] |
| [math(\begin{aligned} \oint {\bf B}\bm\cdot{\rm d}{\bf l} &= [B_x(z)-B_x(-z) ]{\cdot}a \\ &= \mu_0Ka \\ \therefore B_x(z)-B_x(-z) &= \mu_0K \end{aligned})] |
| [math(B_x(z) = \dfrac{\mu_0K}2)] |
| [math({\bf B} = \begin{cases} \cfrac{\mu_0K}2{\bf\hat x} & (z>0) \\ -\cfrac{\mu_0K}2{\bf\hat x} & (z<0) \end{cases})] |
| [math({\bf B} = \dfrac{\mu_0}2({\bf K\bm\times \hat n}))] |
여담으로 이 결과는 비오-사바르 법칙으로도 도출해낼 수 있다. 맨 위 그림에서 미소 길이 [math({\rm d}x)]에 흐르는 미소 전류 [math({\rm d}I = K{\rm\,d}x)]는 무한 직선 도선에 전류가 흐르는 것과 같이 취급할 수 있음을 이용하면 된다.
3. 맥스웰의 수정
거시적인 전자기장의 방정식은 아래의 네 가지로 나타낼 수 있다. 식에 대한 자세한 설명은 맥스웰 방정식을 참고하는 것을 권한다.| [math(\begin{aligned} \bm{\nabla\cdot\bf D} &= \rho_f \\ \bm{\nabla\cdot\bf B} &= 0{\rm\,Wb/m^3} \\ \bm{\nabla\times\bf E} &= -\frac{\partial\bf B}{\partial t} \\ \bm{\nabla\times\bf H} &= {\bf J}_f \end{aligned})] |
마지막 식에 발산 연산을 하면, 좌변의 경우 회전을 취하고, 발산을 취했으므로 [math(0{\rm\,A/m^3})]이 돼야 한다. 즉,
| [math(\bm\nabla\bm\cdot(\bm{\nabla\times\bf H}) = 0{\rm\,A/m^3})] |
| [math(\bm{\nabla\cdot\bf J}_f = -\dfrac{\partial\rho_f}{\partial t})] |
| [math(\bm{\nabla\cdot\bf J}_f \ne 0{\rm\,A/m^3})] |
| [math(\bm{\nabla\cdot\bf J}_f = -\dfrac\partial{\partial t}(\bm{\nabla\cdot\bf D}))] |
| [math(\bm\nabla\bm\cdot{\bf J}_f = \bm\nabla\bm\cdot{\left(-\dfrac{\partial\bf D}{\partial t}\right)} \\ \therefore \bm\nabla\bm\cdot{\left({\bf J}_f + \dfrac{\partial\bf D}{\partial t}\right)} = 0{\rm\,A/m^3} )] |
| [math(\bm{\nabla\times\bf H} = {\bf J}_f + \dfrac{\partial\bf D}{\partial t})] |
이렇게 수정된 식을 앙페르-맥스웰 법칙이라 하기도 한다. 이것을 기초로 하여, 맥스웰은 전자기 진동 방정식을 유도하였고, 전자기파의 존재를 수학적으로 증명하기에 이른다.
또한, 추가된 항은 변위 전류와 관계있으며, 자세한 내용은 전자기파 문서를 참조하라.
4. 고등학교 물리학 수준의 설명
앙페르 법칙 또는 오른나사 법칙은 '직선 전류에 의한 자기장의 방향은 오른손의 엄지손가락이 전류의 방향을 향하게 할 때 나머지 네 손가락을 감아쥐는 방향이다.'라는 뜻이다.또한 직선전류에 의한 자기장의 세기는 도선으로부터의 수직거리 [math(r)]에 반비례하고, 전류의 세기 [math(I)]에 비례한다. 이를 수식으로 나타내면 이렇게 된다.
| [math(B \propto \dfrac Ir)] |
다만 솔레노이드에 의한 자기장의 경우는 조금 다르다. 솔레노이드 내부에서 자기장의 방향은 오른손 네 손가락을 전류의 방향으로 감아쥘 때 엄지손가락이 가리키는 방향이다.
솔레노이드 내부에서의 자기장의 세기에 대한 공식도 조금 달라지는데, 이때 자기장의 세기는 무한히 긴 솔레노이드라고 가정했을 때, 솔레노이드 내부의 자기장은 균일하며 전류의 세기 [math(I)]와 길이당 도선의 감은 수 [math(n)]에 비례한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.
| [math(B \propto nI)] |
5. 관련 문서
[1] 이 부분이 이해가 안되면 적당한 벡터를 두어 직접 옆면에 대해 면적분을 해보아라.