1. 개요
Conductivity전기 전도도 [math(\sigma)]는 물체에 전기가 얼마나 잘 흐르는지를 나타내는 물리량으로, 물질의 고유한 성질이다. 전기 전도도의 역수를 비저항(resistivity) [math(\rho)]라고 한다. SI 단위계에서 전기 전도도의 단위는 [math( \mathrm{S / m = kg^{-1} \cdot m^{-3} \cdot s^3 \cdot A^2} )]이며, 비저항의 단위는 [math( \mathrm{\Omega \cdot m = kg \cdot m^3 \cdot s^{-3} \cdot A^{-2}} )]이다.
2. 정의
물질에 전기장 [math(\mathbf{E})]를 걸어 주면 물질 내부에 전류 밀도 [math(\mathbf{J})]가 흐르게 된다. 이때 전류 밀도와 전기장의 방향이 같다면, [math(\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E})]로 쓸 수 있다. 이때 [math(\sigma = J / E)]를 전기 전도도로 정의한다. 마찬가지로 비저항은 [math(\rho = 1 / \sigma = E / J)]이다. 한편 대부분의 상황에서 전기 전도도 [math(\sigma)]는 전기장에 무관한 상수인데, 이것을 옴의 법칙이라고 한다.3. 전기 전도도 텐서
사실 전기장 [math(\mathbf{E})]의 방향과 전류 밀도 [math(\mathbf{J})]의 방향이 일치하지 않을 수 있다. 이 경우 전기 전도도는 다음과 같이 [math(3 \times 3)]의 텐서 [math(\boldsymbol{\sigma})]로 표시해야 한다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{J} = \boldsymbol{\sigma} \mathbf{E} \end{aligned} )]
성분별로 쓰면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{pmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix} \end{aligned} )]
마찬가지로, 전기 전도도 텐서의 역행렬 [math(\boldsymbol{\rho} = \boldsymbol{\sigma}^{-1})]를 비저항 텐서로 정의하여 [math(\mathbf{E} = \boldsymbol{\rho} \mathbf{J})]로 쓸 수 있다.
4. 다른 물리량과의 관계
- 길이가 [math(l)]이고 단면적이 [math(A)]인 전기 저항 [math(R)]을 전기 전도도와 비저항에 대한 식으로 나타내면 다음 관계가 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} R = \rho {l \over A} = {l \over \sigma A} \end{aligned} )]
- 홀 효과에서, 자기장이 [math(z)] 방향으로 [math(\mathbf{B} = B \hat{z})]가 걸려 있을 때 홀 계수(Hall coefficient) [math(R_H)]는 비저항 텐서의 xy성분과 관련이 있으며 다음과 같이 정의한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned} R_H = \frac{\rho_{yx}}{B} \end{aligned} )] }}}