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#!style
.tpc {
border: 2px solid #0000; margin: auto; background: #0000 !important; } 1. 개요
물리량(物理量, physical quantity)은 어떤 현상이나 속성을 정량적으로 나타낸 것이다. 수학적으로는 수치와 단위의 곱으로 이루어져 있다.[1] 국제표준화기구에서 발행하는 지침 ISO:80000-1에 따르면 물리량 [math(Q)]의 수치 성분은 중괄호로 감싼 [math(\{Q\})], 단위 성분은 대괄호로 감싼 [math([Q])]로 나타내며, 수치 성분과 단위 성분 사이에는 줄바꿈이 없는 띄어쓰기(NBSP)를 넣어야 한다. 따라서 물리량의 성분은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.| <tableclass=tpc> [math(Q = \{Q\}\,[Q])] |
2. 기호와 단위
기호란 물리량을 나타내는 문자로, 주로 아랫첨자가 있거나 없는 로마자 혹은 그리스 문자를 쓴다. 국제단위계의 지침상 물리량을 나타낼 때 대소문자 구분은 사용자가 정의하기 나름이나 서체는 반드시 바탕체(Serif) 기반의 이탤릭체로 나타내게 되어있다. 예시에 관해선 수학·과학 기호/문자 문서를 참고하자.단위는 해당 물리량이 어떤 방법 혹은 기준에 따라 측정된 것인지 그 정보를 제공하는 개념[2]으로, 물리 법칙에 따라 수학적으로 정의된다. 국제단위계의 지침상 사람 이름에서 유래한 단위가 아니면 기본적으로 소문자로 나타내며, 사람 이름에서 유래한 단위는 대문자로 나타낸다.[3] 서체는 바탕체 기반의 직립체(로만체)로 나타내는 것이 원칙이며[4], 수기로 나타낼 때에는 서체를 지켜가며 쓰기가 어렵기 때문에 물리량과의 구분이 필요한 경우 괄호([], () 등)로 감싸서 나타내기도 한다.
| 예) 전압의 기호 [math(V)], 단위 [math({rm V})](혹은 [math([{\rm V}])]) |
보통 물리량을 나타내는 문자는 단위를 나타내는 문자와 다른 경우가 많은데, 특이하게도 전압은 기호 [math(V)]의 유래가 된 영단어 voltage와 단위인 볼트(volt, [math(\rm V)])가 모두 알레산드로 볼타의 이름에서 유래했기 때문에 기호와 단위 모두 V를 쓴다.
3. 차원
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[차원(물리량)#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[차원(물리량)#|]] 부분을}}}물리량을 구성하는 기본량이다. 정의 문단에서 논한 바와 같이 물리량은 수치 성분과 단위 성분의 곱인데, 수치는 물리량의 구체적인 값만 제시할뿐 양의 물리학적인 정보를 갖지 않으므로 물리량이 갖는 차원은 단위 성분에 있다고 할 수 있다.
4. 물리량의 종류
4.1. 스칼라
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[스칼라#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[스칼라#|]] 부분을}}}수치만을 가지며 좌표계의 변환에 의해 크기가 변하지 않는 물리량을 스칼라라고 한다.
4.2. 벡터
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
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의 [[벡터(유클리드 기하학)#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[벡터(유클리드 기하학)#|]] 부분을}}}수치와 방향을 모두 가지며 좌표계의 변환에 의해 변하는 물리량을 벡터라고 한다. 일반적으로 과학에서 벡터라 함은 유클리드 기하학에서의 벡터를 의미한다.[5]
4.2.1. 변환에 의한 스칼라와 벡터의 변화
상기한 벡터의 변환에 대해 자세하게 살펴보자.| |
| 2차원 좌표계 위의 위치벡터[math(\bold v)] |
좌표계가 달라지면
* 벡터는 방향이 달라진다.
*벡터의 크기(스칼라)는 달라지지 않는다.
로 볼 수 있다.* 벡터는 방향이 달라진다.
*벡터의 크기(스칼라)는 달라지지 않는다.
이를 수학적으로 증명해 보자.
위 그림의 벡터는
[math(\bold{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix})]
로 나타내어진다.벡터의 크기 [math(v)]는
[math(v=\sqrt{a^2+b^2})]
이며, 회전한 좌표계에선[math(v'=\sqrt{a'^2+b'^2})]
이다. 이때 좌표계의 회전은 벡터를 반대 방향으로 회전하는 것과 같으므로 그림의 변환을 나타내는 행렬은[6][math(\begin{bmatrix} \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix})]
이므로 회전한 좌표계에서의 벡터 [math(\bold v)]는[math(\begin{bmatrix} a' \\ b' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\cos \theta+b\sin \theta \\ -a\sin \theta+b\cos \theta \end{bmatrix})]
이다. 따라서[math(a'= a\cos \theta+b\sin \theta, b'=-a\sin \theta+b\cos \theta)]
이며, 회전한 좌표계에서 벡터의 크기는[math(v'=\sqrt{(a\cos \theta+b\sin \theta)^2+(-a\sin \theta+b\cos \theta)^2})]
으로, 전개해서 정리하면[math(v'=\sqrt{(a^2\cos^2 \theta+ab\cos \theta \sin \theta +b^2\sin^2 \theta)+(a^2\sin^2 \theta-ab\sin \theta \cos \theta +b^2\cos^2 \theta)})]
[math(\quad=\sqrt{(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)a^2+\cancel{ab\cos \theta \sin \theta} + (\sin^2 \theta+\cos^2 \theta)b^2 - \cancel{ab\sin \theta \cos \theta}})]
이때 [math(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta = 1)]이므로[math(\quad=\sqrt{(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)a^2+\cancel{ab\cos \theta \sin \theta} + (\sin^2 \theta+\cos^2 \theta)b^2 - \cancel{ab\sin \theta \cos \theta}})]
[math(v'=\sqrt{a^2+b^2}=v)]
이다.따라서, 아래 사실을 알 수 있다.
* 벡터는 좌표계의 회전(변환)에 의해 변하며, 이는 변환법칙을 따른다.
* 스칼라(벡터의 크기)는 회전(변환)에 관계없이 변하지 않는다.
이는 백터의 크기가 아닌 스칼라량인 내적에도 그대로 적용된다.* 스칼라(벡터의 크기)는 회전(변환)에 관계없이 변하지 않는다.
4.3. 텐서
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[텐서#s-2|2]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[텐서#|]] 부분을}}}벡터를 이루는 여러 쌍의 기저가 결합하여 좌표계의 변환에 대해 특정한 변환법칙을 따르는 물리량을 텐서라고 한다. 일반적으로 3차원 공간상에서 역학적인 요소를 기술하거나 곡률을 표현하는 그 기능에 따라 상대성 이론에 응용된다.
4.3.1. 스칼라, 벡터를 포함하는 개념으로서의 텐서
텐서에 대해 접하다 보면 흥미로운 내용을 볼 수 있는데, 텐서의 차수에 따라 0차 텐서는 스칼라, 1차 텐서는 벡터라는 것이다. 이것은 몇 쌍의 기저로 구성되어 있느냐에 관한 것으로, 스칼라는 기저가 없으며, 벡터는 1쌍의 기저를 가진다.이를 통해 2차 텐서를 기저쌍으로 이루어진 양을 입력받아 다른 양을 출력하는 함수로 이해하면 물리학에서 텐서의 기능을 알 수 있다.
가령 응력 텐서의 경우 응력이 가해지는 면의 법선벡터와 응력이 가해지는 방향의 벡터를 입력받아 그 방향의 힘의 크기를 출력한다.
4.4. 스피너
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[스피너(물리학)#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[스피너(물리학)#|]] 부분을}}}로런츠 변환에 대해 텐서와 다른 형태의 변환을 보이는 물리량으로, 입자의 스핀을 나타낸다.
5. 방정식
수학에서 쓰이는 방정식과는 달리, 과학에서는 '물리량'으로 구성된 방정식을 사용하기 때문에 꽤 많이 간과하게 되는 사항이 있다. 개요에서 언급한대로, (물리량)[math(=)](수치)[math(\times)](단위)이므로 과학에서 쓰이는 방정식은 본질적으로 (수치)들과 (단위)들로 구성되어있으나, (수치)[math(\times)](단위)를 (물리량)의 기호 하나로만 나타낼 수 있는 경우, 수학에서 쓰이는 수식처럼 기호로만 구성된 식으로 기술이 가능하다. 그러나 후술할 수치 방정식의 경우 수치 항이 (수치)[math(=)](물리량)[math(\div)](단위)로서 항에 단위가 직접적으로 드러나기 때문에 방정식에 단위가 반드시 포함되어야 한다. 각에 관련된 물리 방정식에 [math(\rm/rad)], [math(\rm/rad^2)], [math(\rm/sr)]와 같은 표기가 포함되어야 하는 이유가 바로 여기에 있다.물리량을 이용하여 수학적인 방법으로 방정식을 기술할 때에는 차원 동차성(dimensional homogeneity)의 원리에 따라 차원이 일관되도록 써야 하며, 차원 문서에 나와있듯 어떤 한 방정식의 모든 항은 같은 차원을 공유해야한다. 앞서 물리량의 차원 속성은 단위에 있다고 했으므로, 방정식이 제차 방정식의 꼴, 즉 어느 한쪽 변의 수치가 0이 된다 하더라도 0은 무차원량의 수치이기 때문에 단순히 [math(0)]만으로 기술해서는 안 되며 단위가 포함된 물리량의 형태로 기술해야 한다.
가령 맥스웰 방정식의 미분형에서 자속밀도 [math(\bf B)]의 미분에 관한 식은 일반적으로 다음과 같이
| <tableclass=tpc> [math(\bm{\nabla\cdot\bf B} = 0)] |
| <tableclass=tpc> [math(\bm{\nabla\cdot\bf B} = 0{\rm\,Wb/m^3})] |
| <tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \sum{\bf F} &= \bm0{\rm\,N} \\ \sum\bm\tau &= \bm0{\rm\,J/rad}\end{aligned})] |
5.1. 양 방정식과 수치 방정식
방정식이 물리량만으로 구성되어있을 경우 양 방정식(quantity equation) 혹은 물리량 방정식이라고 하며, 물리량을 단위로 나눈 수치가 방정식에 포함될 경우 수치 방정식(numerical-value equation)이라고 한다.[10] 양 방정식은 단위의 선택 여부에 상관없이 식의 꼴이 불변[11]이지만 물리량을 단위로 나눈 수치 방정식은 단위환산 관계식이 방정식에 포함되기 때문에 무슨 단위를 썼느냐에 따라 식의 형태가 변한다. 예를 들어 등속직선운동에서 속력 [math(v)]와 시간 [math(t)]로 거리 [math(d)]를 기술하는 방정식| <tableclass=tpc> [math(d = vt)] |
| <tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \frac d{\rm m} &= \frac{vt}{\rm m} \\ &= \frac{vt}{\rm (m/s){\cdot}s} \\ &= {\left(\frac v{\rm m/s}\right)}{\left(\frac t{\rm s}\right)}\end{aligned})] |
| <tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \frac d{\rm m} &= {\left(\frac v{\rm m/s}\right)}{\left(\frac t{\rm s}\right)} \\ &= {\left(\frac v{3.6\rm\,km/h}\right)}{\left(\frac t{\rm s}\right)} \\ &= \frac1{3.6}{\left(\frac v{\rm km/h}\right)}{\left(\frac t{\rm s}\right)}\end{aligned})] |
| <tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \frac P{\rm kW} &= \frac1{\left(\dfrac{30000}\pi\right)}{\left(\frac{\bm\tau}{\rm J/rad}\right)}\bm\cdot{\left(\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\right)} \fallingdotseq \frac1{9550}{\left(\frac{\bm\tau}{\rm J/rad}\right)}\bm\cdot{\left(\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\right)} \\ \frac P{\rm hp} &= \frac1{\left(\dfrac{33000}{2\pi}\right)}{\left(\frac{\bm\tau}{\rm lbf{\cdot}ft/rad}\right)}\bm\cdot{\left(\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\right)} \fallingdotseq \frac1{5252}{\left(\frac{\bm\tau}{\rm lbf{\cdot}ft/rad}\right)}\bm\cdot{\left(\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\right)}\end{aligned})] |
| <tableclass=tpc> [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}\underline\theta}\sin\underline\theta = \cos\underline\theta)] |
| <tableclass=tpc> [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}\underline{\theta_\degree}}\sin{\left(\dfrac\pi{180}\underline{\theta_\degree}\right)} = \dfrac\pi{180}\cos{\left(\dfrac\pi{180}\underline{\theta_\degree}\right)})] |
6. 측정
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[측정#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[측정#|]] 부분을}}}현상에 따라 물리량의 수치를 결정하는 것을 측정이라 한다.
6.1. 도량형
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[도량형#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[도량형#|]] 부분을}}}측정의 기준이다.
7. 단위 변환
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[단위 변환#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[단위 변환#|]] 부분을}}}특정 도량형으로 표현된 물리량을 선형사상을 이용해 다른 도량형으로 바꾸는 것이다.
[1] 미세구조상수처럼 수치만 남아있는 게 반례처럼 보일 수 있는데, 무차원량은 차원이 [math(\sf1)]인 단위 [math(1)]이 곱해진 것으로 본다.[2] 도량형학 관점에서 보면 물리량의 차원 정보를 담고 있는 셈이다.[3] 단, 리터는 [math(\rm l)]로 나타내면 인쇄 환경에 따라 대문자 I, 숫자 1과 헷갈릴 여지가 많기 때문에 대문자 표기 [math(\rm L)]이 표준이다.[4] 바탕체가 아닌 돋움체(Sans-serif)인 경우, 차원 기호가 된다.[5] 단, 상대성 이론이나 양자역학에서는 선형대수학에서 말하는 '일반화된 벡터'를 다룬다.[6] 이에 관한 내용은 선형 변환, 행렬표현 문서를 참조하라.[7] [math(\bm\nabla = \cfrac\partial{\partial x} + \cfrac\partial{\partial y} + \cfrac\partial{\partial z})]로 차원이 [math(\sf L^{-1})]인 연산자이므로 SI 기본 단위로 나타내면 [math(\rm m^{-1})]이 곱해지는 것과 동일하다.[8] 여담으로 자속밀도의 단위 [math(\rm Wb/m^2)]은 [math({\rm d}{\bf F} = I{\rm\,d}{\bf l\bm\times B})]로부터 전류와 길이가 곱해져서 힘이 되는 물리량의 차원과 같으므로 SI 기본 단위로 나타내면 [math({\rm Wb/m^2} = {\rm N/(A{\cdot}m)} = {\rm kg/(s{\cdot}C)})]이고, 최종적으로 [math({\rm Wb/m^3} = {\rm kg/(m{\cdot}s{\cdot}C)})]가 된다.[9] 즉 첫 번째 식의 양변에 변위를 곱하고 [math(\rm rad)]을 나누는 등.[10] 즉 후술할 수치만으로 구성된 방정식뿐만 아니라 반지름 [math(r)]과 중심각 [math(\theta)]로부터 호의 길이 [math(l)]을 구하는 공식 [math(l=r\theta/{\rm rad})]같은 것도 수치 방정식이다.[11] 단, CGS 단위계의 전자기학 분야처럼 국제단위계와 차원 관계가 호환하지 않는 경우는 해당되지 않으며, 맥스웰 방정식이 단위계에 따라 식의 형태가 바뀌는 근본적인 이유이기도 하다. 이를테면 쿨롱의 법칙을 정전기 단위계(ESU)와 가우스 단위계에서는 [math(F = \cfrac{q_1q_2}{r^2})], 헤비사이드-로런츠 단위계에서는 [math(F = \cfrac1{4\pi}\cfrac{q_1q_2}{r^2})]로 정의해서 진공의 유전율 [math(\varepsilon_0)]를 도입하지 않기 때문에, 전하의 차원이 [math(\sf IT)]가 아닌 [math(\sf M^{0.5}L^{1.5}T^{-1})]이다. 게다가 똑같은 CGS 단위계의 일종인 정자기 단위계(EMU)에서는 같은 법칙을 [math(F = c^2\cfrac{q_1q_2}{r^2})]로 기술하기 때문에 전하의 차원이 [math(\sf M^{0.5}L^{0.5})]로 또 달라진다. 물론 현행 국제단위계가 따르는 국제 양체계(International System of Quantity; ISQ) 관점에서 전하는 오로지 (전류)[math(\times)](시간) 차원이며 다른 차원으로 환산될 수 없기 때문에 CGS 단위계의 이러한 약속은 자연 단위계처럼 특정 물리 상수를 규격화한(즉 앞선 예시에선 [math(4\pi\varepsilon_0 \to 1)] 따위) 단위계의 일종으로 해석된다.[12] 물론, 가령 [math([d] = {\rm m})], [math([v] = {\rm ft/s})]이고 계산 결과값에서 두 단위를 [math(\rm m)]로 통일하고 싶은 경우에는 두 단위 간의 환산식 [math(1{\rm\,ft} = 0.3048{\rm\,m} \Leftrightarrow 1 = \cfrac{0.3048\rm\,m}{1\rm\,ft} = 0.3048{\rm\,m/ft})]가 포함되어야 하며 단위 환산식은 수치 방정식이기 때문에 양 방정식이 아니게 된다. 이를 적용하면 [math(d = 1{\cdot}vt = (0.3048{\rm\,m/ft})vt)]가 되어 기존 양 방정식 [math(d=vt)]의 우변에 수치 0.3048이 곱해지면서 식의 형태가 달라진다. 후술할 예도 참고. 물론 허블 상수의 단위 [math(\rm km/(s{\cdot}Mpc))]에 포함된 [math(\rm km)]와 [math(\rm M)][math(rm pc)]처럼 분야에 따라서는 구태여 환산하지 않는 경우도 있으며 이 경우 차원만 같은 두 단위가 공존하는 상태가 되고 양 방정식의 형태를 유지할 수 있다.