미세 구조 상수

1. 개요2. 상세3. 역사적 관심

3.1. 조머펠트의 발견3.2. 에딩턴 수 (Eddington's Number)

4. 다중우주론과의 관계5. 관련 문서

1. 개요

[math(\begin{aligned} \alpha &= \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar} = \frac{e^2}{2\varepsilon_0ch} = 7.297\,352\,564\,3(1\,1)\times10^{-3} \\ \cfrac1\alpha &= 137.035\,999\,177(21)\end{aligned})]

미세 구조 상수(fine structure constant, [math(\alpha)])란 물리학의 기본 상수의 하나이며, 기본 전하입자들의 전자기 상호작용 세기를 결정한다. 그 값은 2022 CODATA 값 기준으로 [math(\alpha = 0.007\,297\,352\,564\,3 = \cfrac1{137.035\,999\,177})][1]이다. 이 상수는 차원이 없는 무차원 물리량이며, 그렇기에 어떠한 단위계에서든 그 값이 동일하다. 이러한 점 때문에 다른 물리학의 기본 상수들(플랑크 상수, 광속 등)보다 더 근본적이라고 간주되기도 하며, 특히 역수값이 대략 137이라는 점에서 과거부터 여러 떡밥들이 돌아다녔다.

특히 137은 소수(prime number)인데, 이 점이 미세구조상수에 대한 수학적 및 과학적 흥미를 불러일으켜왔다. 그러나 현재 기준으로 소수와 미세구조상수 사이에 증명된 상관관계는 존재하지 않는다.

아르놀트 조머펠트가 수소 원자의 스펙트럼에서 나타나는 미세한 분열(미세구조)을 설명하기 위하여, 보어 원자모형에서 전자가 도는 궤도가 정상파를 만족하는 타원이어도 되는 조건으로 확장(보어-조머펠트 양자화 조건)[2]하는 과정에서 도입된 상수이다.

2. 상세

초등적으로는 보어 반지름을 구하는 과정에서 등장하는 전자의 속도 [math(v_n = \cfrac1n\cfrac{e^2}{2\varepsilon_0h})]이 [math(n=1)]일 때, 즉 가장 낮은 에너지 준위의 오비탈에 있을 때의 속력 [math(v_1 = \cfrac{e^2}{2\varepsilon_0h} = \cfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar})]과 [math(c)]의 비 [math(\cfrac{v_1}c)]을 [math(\alpha)]로 나타낸 것에서 유래한다. 오늘날에는 전자기력의 세기를 나타내는 무차원 상수로 인식된다. 그밖에도 다양한 물리적 해석이 존재한다.

가장 직관적인 해석은 기본전하량 [math(e)]와 진공에서의 유전율 [math(\varepsilon_0)], 진공에서의 투자율 [math(\mu_0)], 진공의 특성 임피던스 [math(Z_0)]사이의 관계로

[math(\alpha = \dfrac{e^2c\mu_0}{2h} = \dfrac{e^2}{2\varepsilon_0ch} = \dfrac{e^2}{2h}\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = \dfrac{e^2Z_0}{2h})]

가 성립함을 알 수 있으며 전도도 양자 [math(G_0 = \cfrac{2e^2}h)]를 이용하면 [math(\alpha = \cfrac14Z_0G_0)]로서, 양자화된 저항과 전도도의 곱이 미세구조상수와 연관이 있다는 것을 유추할 수 있다.
한편으론, [math(\varepsilon_0)]가 포함된 식은 다음과 같이 변형될 수 있는데

[math(\alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar} = \dfrac{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}}{\dfrac{c\hbar}r} = \dfrac{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}}{\dfrac{hc}{2\pi r}} = \dfrac{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}}{\dfrac{hc}\lambda} = \dfrac{E_{\rm ES}}{E_{\rm L}})]

즉 곧 부호가 같은 두 하전 입자가 거리 [math(r)]만큼 떨어진 상태에서 작용하는 정전기적(electrostatic) 척력 [math(E_{\rm ES})]와 파장 [math(\lambda)]가 [math(\lambda = 2\pi r)]인 광자의 에너지 [math(E_{\rm L})]사이에 일정한 비가 성립한다는 것을 의미하기도 한다. 특히 질량이 플랑크 질량 [math(m_{\rm P})]이고 전하가 기본 전하량 [math(e)]인 두 입자 사이에는 정전기력 [math(F_{\rm ES})]에 의한 척력과 만유인력 [math(F_{\rm G})]에 의한 인력이 작용하는데 이 둘의 비 [math(\cfrac{F_{\rm ES}}{F_{\rm G}})]가 입자의 거리 [math(r)]에 관계없이 딱 미세구조상수가 된다. 즉

[math(\dfrac{F_{\rm ES}}{F_{\rm G}} = \dfrac{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\cancel{r^2}}}{\dfrac{\cancel G}{\cancel{r^2}}\sqrt{\dfrac{\hbar c}{\cancel G}}^2} = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar} = \alpha)]

3. 역사적 관심

3.1. 조머펠트의 발견

미세구조상수를 최초로 도입한 것은 독일의 이론물리학자 아르놀트 조머펠트로 알려져있다. 보어의 원자 모형을 연구하던 그는, 보어의 이론이 수소와 다른 원소들의 스펙트럼선에서 나타나는 미세하게 갈라진 구조를 설명하지는 못한다는 것을 깨달았다. 스펙트럼의 이러한 미세구조를 조머펠트는 보어의 양자이론에 아인슈타인의 특수상대성 이론을 적용해서 해결했다. 원자속의 전자는 빛과 비교해도 빠른속도로 움직이고 있기때문에 당연히 특수상대성 이론의 영향을 받고, 스펙트럼선에 나타나는 미세구조는 특수상대성이론의 영향이라는 것이다. 이 과정에서 조머펠트는 수소원자와 알칼리 금속 원소들의 스펙트럼선 미세구조를 성공적으로 설명해냈다.

조머펠트가 [math(\alpha)]를 처음 도입했을때에는 단지, 스펙트럼선에 나타나는 작은 불일치를 수정하기 위한 추가 항으로 간주되었었다. 그러나 이후 양자전기역학(QED) 이론에서도 [math(\alpha)]가 다시 등장하면서, 미세구조상수가 어떤 근본적인 물리량이 아닌가 하는 의견들이 점차 늘어났다.

사실 미세구조상수는 아직까지도 이론적 유도가 발견되지 않았으며, 실험으로만 측정 가능한 것으로 알려져있다.

3.2. 에딩턴 수 (Eddington's Number)

영국의 천체물리학자 아서 스탠리 에딩턴 경은 미세구조상수의 값을 수치적으로 설명하기 위해 많은 연구를 진행했다. 에딩턴 경은 137이라는 숫자가 순수 수학적으로 유도될 수 있으며, 우주의 구조와 근본적으로 연관이 되어있는 보편적 상수라는 믿음을 가지고 있었다. 그러나 이러한 생각은 수학적 신비주의에 근거하고 있다는 비판이 있으며, 과학계의 주목을 받은적은 한 번도 없다.

4. 다중우주론과의 관계

특히 스티븐 호킹을 비롯한 여러 물리학자들은 [math(\alpha)]의 값이 물리법칙에 따라 필연적으로 고정되었다기보단, 다중우주 개념을 도입하며 우리 우주가 우연히도 현재의 [math(\alpha)]값을 가지는 우주였을 뿐이라고 설명하기도 한다.

5. 관련 문서

[1] [math(alpha)]의 끝자리값이 9로 다른 문헌(Fan et al., 2023)도 있는데 2022 CODATA의 값의 오차 범위 이내이긴 하다.[2] 보어의 조건에서는 정상파를 만족하는 원궤도이다.