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1. 개요
Pythagoras' theorem유클리드 기하학에서 어떤 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 각각의 제곱의 합과 같다는 정리.
2. 상세
그림에서 [math(\triangle \rm ABC)]는 [math(\angle \rm C=90\degree)]인 직각삼각형이다. 이때, 빗변의 길이를 [math(c)], 나머지 두 변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)]라 하자. 이때, 다음이 성립한다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} a^2+b^2=c^2 \end{aligned} )] |
이를 응용하여, 두 변의 길이를 안다면, 다음과 같이 한 변의 길이를 추정할 수 있다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} a&=\sqrt{c^2-b^2} \\ b&=\sqrt{c^2-a^2}\\ c&=\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned} )] |
3. 피타고라스 세 쌍
이때, 자연수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 [math(a \le b )]일 때, 순서쌍 [math((a,\,b,\,c))]를 피타고라스 세 쌍이라 한다.[math((3,\,4,\,5))], [math((5,\,12,\,13))] 등이 있으며, 자세한 것은 해당 내용을 설명하는 문서를 참고하라.
어느 정도 외워두면, 근호를 벗기느라 소요되는 시간을 줄일 수 있어 시험 등의 상황에서 유리하다.[1]
4. 증명
| 증명법의 모음 |
여러 가지 증명법이 있다.
다만 이 문서에서는 몇 가지만 간추려서 살펴볼 것이다.
4.1. 사영 정리로 증명
그림에서 [math(\triangle \rm ABC)]는 [math(\angle \rm C=90\degree)]인 직각삼각형이다. 이때, 점 [math(\rm C)]에서 [math(\overline{\rm AB})]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하자. 이로써 [math(\overline{\rm AB})]는 [math(\overline{\rm AH}=x)], [math(\overline{\rm BH}=y)]로 분리되었다.
사영 정리를 사용하면,
| [math(\displaystyle \begin{aligned} a^2&=cx \\ b^2&=cy \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} a^2+ b^2&=c(x+y)=c^2 \end{aligned} )] |
4.2. 유클리드의 유도
그림에서 [math(\triangle \rm ABC)]는 [math(\angle \rm C=90\degree)]인 직각삼각형이다. 이제 각각의 변을 한 변으로 하는 세 정사각형을 그리고, 그것을 각각 정사각형 1, 정사각형 2, 정사각형 3으로 명명한다. 단, 정사각형 3은 삼각형의 빗변을 한 변으로 하는 정사각형이다.
정사각형 1, 정사각형 2, 정사각형 3의 넓이를 각각 [math(S_1=a^2)], [math(S_2=b^2)], [math(S_3=c^2)]이라 하자. 여기서 [math(\overline{\rm AC}=a)], [math(\overline{\rm BC}=b)], [math(\overline{\rm AB}=c)]이다.
이제 정사각형 1에 대각선을 그어 [math(\triangle \rm ACP)]를 보자. [math(\triangle 2{\rm ACP}=S_1)]이며, [math(\overleftrightarrow{\rm AP} \parallel \overleftrightarrow{\rm BC})]이기 때문에, [math(\rm\triangle ACP=\triangle APB)]이다.
또한 [math(\rm\angle PAB=\angle CAQ)]이고, [math(\overline{\rm AP}=\overline{\rm AC})], [math(\rm\overline{\rm AB}=\overline{\rm AQ})]이므로
| [math(\rm\triangle APB \equiv \triangle ACQ \qquad )] ([math(\rm SAS)] 합동) |
따라서 [math(2\triangle{\rm IHQ}=S_1)]이다. 이 방법을 통해 정사각형 2에 행하여 [math(S_2=2\triangle{\rm CBS}=2\triangle{\rm IHR})]임을 얻는다.
이상에서
| [math(S_1+S_2=S_3)] |
| [math(a^2+b^2=c^2)] |
4.2.1. 따름 정리
그림과 같이 닮음인 정다각형이나 반원을 삼각형의 각변에 맞게 붙힌다고 생각해보자. 이때, 삼각형의 빗변의 길이를 [math(c)], 나머지 두 변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)]라 하자.
닮은 도형은 닮음비의 제곱에 비례해 넓이비가 결정된다. 따라서 세 도형의 넓이비는 각각 [math(a^2:b^2:c^2)]이다.
따라서 [math(S_1)]을 기준으로 할 때,
| [math(\begin{aligned} S_2&=\frac{b^2}{a^2}S_1 \\ S_3&=\frac{c^2}{a^2}S_1\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} S_1+S_2&=S_1+\frac{b^2}{a^2}S_1\\&=\frac{a^2+b^2}{a^2}S_1 \\ &=\frac{c^2}{a^2}S_1 \\&=S_3 \end{aligned})] |
4.2.1.1. 히포크라테스 원
보통 히포크라테스 원이라 불리는, 위의 회색 영역의 넓이를 구하는 문제가 있다.
반원 1, 반원 2, 반원 3을 명명하고, 반원 3의 경우 지름이 삼각형의 빗변과 같다. 이때, 각 반원의 넓이를 [math(S_1)], [math(S_2)], [math(S_3)]라 하자. 또 중앙의 삼각형의 넓이를 [math(S)]라 하자.
회색 영역의 넓이는 [math((S_1+S_2+S)-S_3)]를 하면 된다. 그런데, 위 문단에서 [math(S_1+S_2=S_3)]임을 증명했다. 따라서 회색 영역의 넓이는 [math(S)], 즉 삼각형의 넓이와 같은 것이다.
4.3. 피타고라스의 유도
회색 영역을 살펴보면, 피타고라스 정리가 유효함을 알 수 있다.
5. 일반화
피타고라스 정리를 일반화하면, 코사인 법칙을 얻는다.세 변의 길이가 [math(a)], [math(b)], [math(c)]이고, [math(c)]에 대응되는 대각을 [math(C)]라 했을 때,
| [math(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C)] |
5.1. 따름 정리
[math(c)]가 세 변의 길이 중 가장 긴 변의 길이라 가정할 때, 다음이 성립한다.- [math(\bm{\angle\bf C<90\degree})]인 예각삼각형: [math(c^2<a^2+b^2)]
- [math(\bm{\angle\bf C=90\degree})]인 직각삼각형: [math(c^2=a^2+b^2)]
- [math(\bm{\angle\bf C=90\degree})]인 둔각삼각형: [math(c^2>a^2+b^2)]
6. 역 피타고라스 정리
직각삼각형의 직각을 사이에 둔 두 변의 길이를 [math(a)], [math(b)], 직각에서 빗변에 그은 수선의 길이를 [math(h)]라고 하면| [math(\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}=\dfrac1{h^2})] |
| [math(c^2=a^2+b^2)] |
그런데, 직각삼각형의 넓이는
| [math(S=\dfrac12ab=\dfrac12ch)] |
| [math(a^2b^2=c^2h^2)] |
| [math(\dfrac1{h^2}=\dfrac{c^2}{a^2b^2}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2})] |
| [math(\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2})] |
7. 피타고라스 정리의 역
임의의 삼각형이 [math(a^2+b^2=c^2)]을 만족하면 그 사이의 각은 직각이다. 이게 역이 성립한다는 건 피라미드가 세워질 때부터 세계 거의 모든 문화권에서 귀납적으로 알려져 있었지만 연역적으로 증명하는 건 은근히 어렵다. 2015 개정 교육과정에서는 "피타고라스 정리의 역은 직관적으로 이해하게 한다."라고 하여, 직관적으로 이해시킬 뿐 연역적 증명까지 다루지는 않고 있다.간단한 증명 2가지를 써보면 아래와 같다.
| 증명 1 코사인 법칙에 의해 [math(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A)] 이니 [math(a^2=b^2+c^2)]라면 [math(\cos A=0)]이 성립한다. 이때 삼각형의 내각의 크기는 [math((0,\,\pi))]안에 있으므로 [math(\angle \rm A = \pi/2)]이다. |
| 증명 2 길이가 [math(a\le b\le d)]인 직각삼각형을 가정하고, [math(a^2 + b^2 = d^2)] 이며, [math((a,\,b,\,d) = (a,\,b,\,c))] 에서 합동임을 얻는다. |
참고적으로 코사인 법칙을 사용하지 않고도 삼각형의 합동 조건으로 설명할 수도 있다. 피타고라스 정리를 만족하는 삼각형의 두 변을 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변의 길이는 피타고라스 정리에 의해 남은 한 변의 길이와 같으며 이 직각삼각형과 원래의 삼각형은 [math(\rm SSS)] 합동조건에 의해 합동이 된다. 따라서 원래 삼각형은 직각삼각형임을 알 수 있다.
8. 이용
8.1. 두 점 사이의 거리
좌표평면 위에 두 점 [math({\rm A}(x_1,\,y_1))], [math({\rm B}(x_2,\,y_2))]가 있다. 이 두 점 사이의 거리를 구하기 위해 그림과 같이 직각삼각형 한 개를 만든다. 이때, 그 삼각형은 각 점에서 각 축으로 수선을 그었을 때, 만나는 것으로 결정된다.
따라서 이 직각삼각형은 빗변의 길이가 우리가 구하기 원하는 두 점 사이의 거리이고, 나머지 두 변의 길이가 각각 [math(|x_2-x_1|)], [math(|y_2-y_1|)]인 직각삼각형이다. 여기에 피타고라스 정리를 사묭함으로써 다음의 두 점 사이의 거리를 얻는다.
| [math(\begin{aligned} \overline{\rm AB}^2&=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2 \\ &=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \end{aligned})] |
이상에서 다음을 얻는다.
| [math(\begin{aligned} \overline{\rm AB} &=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \end{aligned})] |
8.2. 삼각함수 항등식
위 식에서 [math(c^2)]으로 양변을 나눠주면
| [math(\biggl(\dfrac ac \biggr)^2+\biggl(\dfrac bc \biggr)^2=1)] |
| [math(\begin{aligned} \sin\theta &= \frac bc \\ \cos\theta &= \frac ac \end{aligned})] |
| [math(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1)] |
8.3. 삼각형과 사각형에서의 이용
8.3.1. 삼각형에서의 이용
그림과 같이 [math(\angle \rm A=90\degree)]인 직각삼각형 [math(\rm ABC)]을 고려하자. 피타고라스 정리에 의거하여
| [math(\rm\overline{BQ}^2+\overline{CP}^2=(\overline{AB}^2+\overline{AQ}^2)+(\overline{AP}^2+\overline{AC}^2))] |
| [math(\begin{aligned} \rm\overline{BQ}^2+\overline{CP}^2&=\rm(\overline{AP}^2+\overline{AQ}^2)+(\overline{AB}^2+\overline{AC}^2) \\ &=\rm\overline{PQ}^2+\overline{BC}^2 \end{aligned})] |
8.3.2. 사각형에서의 이용
파일:namu_피타고라스정리_이용_5.webp
그림과 같이 대각선이 직교하는 사각형 [math(\rm ABCD)]를 고려해보자. 피타고라스 정리에 의거하여
| [math(\rm\overline{AB}^2+\overline{CD}^2=(\overline{AO}^2+\overline{BO}^2)+(\overline{CO}^2+\overline{DO}^2))] |
| [math(\begin{aligned}\rm\overline{AB}^2+\overline{CD}^2&=\rm(\overline{BO}^2+\overline{CO}^2)+(\overline{AO}^2+\overline{DO}^2) \\&=\rm\overline{BC}^2+\overline{AD}^2 \end{aligned})] |
8.3.2.1. 직사각형에서의 이용
그림과 같이 직사각형 [math(\rm ABCD)] 내부에 점 [math(\rm P)]가 있다고 가정하자. 이때, 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립한다.
| [math(\begin{aligned} \rm\overline{AP}^2+\overline{CP}^2&=\rm(\overline{AH}^2+\overline{HP}^2)+(\overline{IP}^2+\overline{IC}^2) \\ &=\rm(\overline{AH}^2+\overline{IC}^2)+(\overline{IP}^2+\overline{HP}^2) \\ &=\rm(\overline{DJ}^2+\overline{PJ}^2)+(\overline{IP}^2+\overline{HP}^2) \\ &=\rm\overline{BP}^2+\overline{DP}^2\end{aligned})] |
9. 확장
9.1. 벡터
선형대수학에서는, 내적 공간으로 이 정리를 확장하여 사용한다.[math(\bf u)]와 [math(\bf v)]가 실벡터로 정의된 내적 공간에 속하는 직교 벡터라면, 다음이 성립한다.
| [math(\|{\bf u} + {\bf v}\|^2 = \|{\bf u}\|^2 + \|{\bf v}\|^2)] |
9.2. 복소수
복소수의 절댓값을 정의할 때에도 쓰인다. 절댓값의 정의가 원점으로부터의 거리이기 때문에 자연스레 나온다.[math(z = x+iy)]로 둘 경우
| [math(|z| = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{x^2 + y^2})] |
9.3. 행렬
행렬에 나오기도 하는데, 단위행렬의 제곱근행렬 중에 피타고라스의 정리를 만족하는 자연수로 이뤄진 행렬이 등장한다.| [math(\sqrt{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}} = \begin{cases}\dfrac1h\begin{bmatrix} b & a \\ a & -b \end{bmatrix} \\\\ \dfrac1h\begin{bmatrix} -b & -a \\ -a & b \end{bmatrix} \\\\ \dfrac1h\begin{bmatrix} -b & a \\ a & b \end{bmatrix} \\\\ \dfrac1h\begin{bmatrix} b & -a \\ -a & -b \end{bmatrix}\end{cases}\textsf{ or }\begin{cases}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\end{cases})] |
10. 기타
- 피타고라스의 정리에 대한 역사를 다룬 책이 갈릴레오 총서에서 번역되어 나왔다. 제목은 "피타고라스의 정리 4천년 비밀의 역사(원제: The Pythagorean Theorem : A 4,000-Year History)" 관심있으면 구해볼 것.
- 주요 문명권에서는 직각삼각형을 그리기 위해 3, 4, 5를 활용했다. 직각을 활용하는 것은 매우 중요했는데, 피라미드 같은 건축물은 말할 것도 없고, 문명권이 발생한 범람원에서 범람으로 인해 땅의 모양이 바뀌었을 때 땅을 분배하기 위해 땅의 면적을 정확히 특정하는 데에도 직각을 그리는 것이 필수적이었다.
- [math(\textsf{Win} = \dfrac{\textsf{runs scored}^2}{\textsf{runs scored}^2 + \textsf{runs allowed}^2} = \dfrac1{1 + \left(\dfrac{\textsf{runs allowed}}{\textsf{runs scored}}\right)^2})]
야구를 원자단위로 분해하는 것을 업으로 하는 세이버메트릭스에서는 팀의 득실점을 가지고 시즌 승률을 예측하는 공식을 개발했는데, 그 공식의 생김새가 피타고라스의 정리와 닮았다 하여 피타고리안 승률이라 부른다. 공식은 위와 같은데 해석을 하자면 득점의 제곱/(득점의 제곱+실점의 제곱)이다.[4] - 건축에서는 건축물의 모서리 직각을 잡는 규준틀을 세울 때 응용된다.
- 영미권 서브컬쳐계에서는 갑자기 천재가 된 캐릭터가 피타고라스 정리를 줄줄 읊는 식으로 묘사되는 경우가 간혹 있다. 틀린 버전으로. '이등변삼각형'의 두 변의 '제곱근'의 합은 다른 한 변의 '제곱근'의 합과 같다는 게 주된 바리에이션이다. 그런데 그 이후에 천재가 되는 것은 또 맞는 게 아이러니.
10.1. 역사 관련
피타고라스는 이 정리를 발견한 후 기쁨에 가득차 신에게 감사의 제사를 지냈다는 기록[5]까지 존재한다. 그러나 이 때문에 자연수의 비, 즉 분수로는 표현할 수 없는 무리수의 존재가 증명되었다.[6] 그 후 피타고라스학파는 혼란에 빠졌다. 피타고라스 학파가 거의 종교 단체 수준이었기에, 세상은 숫자(유리수)만으로 이루어졌다는 진리에 어긋난다는 이유로 함구하고 '신의 실수'로 만들어졌으며 없는 수로 취급하기로 했다. 하지만 히파소스라는 제자가 세상에 알리려다가 참수당했다느니 수장당했다느니 하는 이야기도 있다.[7]10.2. 교육 관련
- 대한민국에서는 중학교 과정에서 배우는 수학의 진리 중 하나. 본래 3학년 2학기 내용에서 다루었으나 2학년 2학기에서 다루는 것으로 변경되었다.[8] 다만 2학년 과정에서는 아직 무리수를 배우지 않았으므로[9] 자연수 범위 내에서의 피타고라스 수만 다룬다. 이후 3학년 때 무리수를 배우면서 피타고라스의 정리의 활용[10]을 배우게 된다. 이렇게 한 이유는 세계 국가 대부분이 피타고라스 정리를 중2 나이대에 배우는데[11] 유독 한국만 무리수와 묶어서 중3 나이대에 배우니 국제적으로 학력을 비교, 평가할 때 문제가 된다는 이유에서이다. 다만 일본은 아직도 피타고라스 정리가 중3 과정에 있다. 과거 중3 과정에 실려 있었을 시 원의 성질과 같이 나왔다.
- 피타고라스 정리가 중학교 3학년에서 중학교 2학년으로 내려간 것에 불만을 가지고 있는 사람이 많다. 기하 문제를 풀이하는 과정에서 피타고라스 정리는 아주 유용한 것 중 하나다. 닮음파트에서 꼼수로 써먹을 수 있다. 그런데 공간에서의 피타고라스 정리의 활용 부분이 교육과정에서 제외되고, 평면의 경우에도 제한적으로 사용할 수 있어 관련 심화 문제를 풀이할 때 어려움을 겪는 경우가 많다. 차라리 제곱근을 배울 때 같이 배우는 게 더 낫다고 말하는 사람들도 적지 않다. 게다가 2020년 코로나19 사태로 인하여 당시 중학교 2학년들은 학교를 안 가서 그 '축소된' 피타고라스 정리도 EBS e학습터로 배운 경우가 매우 많다.
- 피타고라스 정리의 활용이 편리한 특성상 고등 수(상) 인수분해 파트에서 주어진 식을 인수분해하고 삼각형의 성질과 엮어서 내는 등 다양한 분야에서 다양한 방식으로 활용된다. 적어도 공식이라도 알아두자.
- 고등학교에 들어가면 인수분해 심화 문제에 삼각형과 같이 나오기도 한다.
- 고차원 공간에서 공간 대각선의 길이를 구하는데에 자주 사용된다. 이는 피타고라스 정리가 2차원 외의 고차원에서도 확장되기 때문이다.[12]
10.3. 증명 관련
- 가장 많이 증명된 정리이기도 하다. 피타고라스의 정리의 증명들만 모아놓은 책도 있을 정도.[13] 혹시 다른 증명법이 있으면 학계에 발표해보자. 자신의 이름을 따서 증명법을 만들어줄 것이다. 하지만 이게 말처럼 쉬운 건 아닌 게, 지금까지 피타고라스의 정리를 증명하는 방법으로 알려진 것만 400개가 넘어간다.# 그리고 이 방법 중에는 제임스 A. 가필드 20대 미국 대통령이 발견한 것도 있다.[14]
- '증명' 자체는 고대 그리스에서 이루어졌지만, 직각삼각형의 3변 길이 공식 자체는 3800년 전 메소포타미아의 라르사에서 발견된 점토판 Plimton 322(1820–1762 BC)에서 이미 등장했다.# 중국에서는 3000여년 전에 진자란 사람에 의해 '구고현의 정리[15]'로 독자적으로 발견했다.#
- 기존에는 피타고라스 정리를 삼각법만을 사용하여 증명하는 것이 불가능하다는 주장이 대세였으나, 2023년에 미국 뉴올리언스의 두 고등학생이 사인 법칙만을 사용한 증명을 내놓았다. 물론 무한등비급수라는 해석학의 영역을 끌어다 쓰기는 했지만 다행히도 순환논증을 피할 수 있었다.#
- 드가의 정리(de Gua's theorem)라는, 3면이 직각삼각형이고 직각인 꼭짓점이 한 점에 모이는 삼각뿔에서 각각 세 직각삼각형의 넓이의 제곱의 합이 나머지 한 삼각형의 넓이의 제곱이라는 버전.[16]
- 일반적인 유클리드 공간 [math(\Bbb R^n)]에서 [math(m~(m<n))]차원 르베그 가측인 부분집합 [math(S)]가 있을 때 [math(\Bbb R^n)]의 표준기저(standard basis)에서 [math(m)]개의 원소를 뽑아 만들 수 있는 부분공간 [math(W_1,\,W_2,\,\cdots,\,W_x)]에 대하여([math(x={}_n{\rm C}_m)]) [math(S)]의 [math(W_i)]로의 정사영을 [math(S_i)]라고 할 때, [math(\displaystyle \mu(S)^2=\sum_{i=1}^x\mu(S_i)^2)]이 성립한다. Donald R. Conant와 William A. Beyer가 증명하였다.
- 참고로 피타고라스의 정리는 유클리드 기하학에서만 성립한다. 예를 들어, 구의 표면에 직각삼각형을 그렸을 때에는 피타고라스의 정리는 성립하지 않는다. 유클리드 제5공준의 다른 표현이 피타고라스의 정리란 말도 있는 이상 당연한 결론. 애초에 구면 위에선 모든 각이 직각인 정삼각형도 아무렇지 않게 그릴 수 있다.
- 하지만 [math(c^n = a^n + b^n)] 에서 자연수 [math(n)]이 [math(n\ge3)]이면 이 방정식을 만족시키는 세 자연수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]는 한 쌍도 존재하지 않는다. 이 놀라운 명제를 전세계의 수학자들이 수백년간 증명하려고 했으나 줄줄이 실패하였고, 앤드루 와일스가 최종적으로 증명에 성공하였다. 이 명제를 페르마의 마지막 정리라고 한다.
10.4. 선분의 명칭
직각삼각형의 선분의 명칭은 밑변과 높이 그리고 빗변이다. 유클리드 기하학 원론 제1권 법칙47에서 피타고라스 정리는 밑변의 정보와 높이의 정보가 함께 등적변형의 원리에서 빗변의 정보를 만들어 낸다는 사실을 보여준다. 바꾸어 말하면 각 변의 정보들은 서로 연관되어있다는 정보를 제공한다. 각 변의 정보들에는 선분의 길이 뿐만아니라 인접한 변들이 만들어내는 각도도 포함된다.11. 관련 문서
[1] 특히나 2025년 기준으로 피타고라스 정리가 중2 과정으로 내려오며, 변의 길이를 찾는 문제는 자연수나 세 쌍을 기준으로 상수배만 나오기 때문에 더 유리해진다.[2] 등적변형과 삼각형의 합동을 이용[3] 아인슈타인이 어렸을 때 발견하였다고 하나, 사실 이미 다른 사람이 발견하여 Loomis의 책에 실려 있다.[4] 반쯤 우스갯소리로는 야구에서 뜬공을 잡으려고 수비수 3명이 모이면 거의 대부분 공을 놓친다는 야타고라스의 법칙이 있다. 전문용어로는 텍사스 안타.[5] 황소 100마리를 바쳤다고.[6] 정확하게 무리수임을 증명한 것으로 기록에 남는 것은 유클리드의 증명. 흔히 아는 대표적인 귀류법을 이용한 증명 중 하나이다.[7] 정확히는 신념과 어긋나는 사실을 발견했다는 이유로 비밀을 지키기 위해 살해했다고 한다.[8] 비상과 동아출판(강옥기)에서는 중간고사범위(삼각형의 성질 끝나고), 기타 출판사에서는 기말고사범위(도형의 닮음 끝나고)에서 배운다.[9] 정확히는 무리수가 있다는 식으로 배우고 자세한 건 3학년 때 제곱근 배우면서 배운다.[10] 정삼각형의 높이와 넓이, 직육면체의 대각선의 길이 등[11] 미국은 철저하게 수학을 수준별로 운영해서 수학을 잘 하는 학생들은 8학년 때 기하를 배우지만 수학에 약한 학생은 10학년 때 기하를 배우는 등 유동적이다.[12] 2차원에서의 공간 대각선 길이는 [math(\sqrt{a^2+b^2})]이고, 3차원에서는 공간 대각선의 길이가 [math(\sqrt{a^2+b^2+c^2})]이다. 이는 고차원으로 확장해도 계속 성립한다.[13] Elisha Scott Loomis가 쓴 The Pythagorean Proposition이란 책이다. 371개의 정리가 수록되어 있다.[14] 이 네임밸류 때문인지 교과서나 참고서에 이 방법이 같이 실려있는 경우가 있다. 그런데, 사실 가필드의 증명에 등장하는 사다리꼴을 뒤집어 붙이면 완벽하게 바스카라의 증명이다.[15] 구고현(勾股弦)이란 각각 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변 중에서 짧은 변(勾), 긴 변(股), 빗변(弦)을 의미한다.[16] 직각삼각형인 세 면을 구성하는 세 변의 길이가 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 하면 남은 한 면의 세 변의 길이는 [math(\sqrt{a^2+b^2})], [math(\sqrt{b^2+c^2})], [math(\sqrt{c^2+a^2})]이다. 헤론의 공식에 의해 이 삼각형의 넓이는 [math(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=2s)]라 할 때 [math(\sqrt{s{\left(s-\sqrt{a^2+b^2}\right)}{\left(s-\sqrt{b^2+c^2}\right)}{\left(s-\sqrt{c^2+a^2}\right)}})], 이를 풀어 간략히 하면(가독성 등을 위해 식 전개 주석으로 추가 서술) [math(\dfrac{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}2)]이다. 직각삼각형 세 면의 넓이는 각각 [math(\cfrac{ab}2)], [math(\cfrac{bc}2)], [math(\cfrac{ca}2)]이므로 드가의 정리에 대입하면 성립한다.