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1. 개요
直線 / straight line| |
| 두 점 [math(\mathbf{A})], [math(\mathbf{B})]를 지나는 직선 [math(\mathbf{AB})] |
힐베르트 공리계에서는 직선이 무정의 용어이다. 그 외의 무정의 용어로 점과 평면이 있다.
직선을 나타낼 때에는 직선 위의 임의의 두 점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]를 잡고 직선 [math(\mathrm{AB})], 혹은 직선 [math(\mathrm{BA})]라고 부른다. [math(\overleftrightarrow {\mathrm {AB}})]로 표기하거나 혹은 직선 통째로 [math(l)], [math(m)], [math(n)] 등 알파벳 소문자로 이름붙이는 경우도 있다.
2. 수학적 분석
2.1. 직선이 유일하게 결정될 조건
- 해당 직선 위 서로 다른 임의의 두 점이 주어졌을 때
- 해당 직선의 기울기와 해당 직선 위 임의의 한 점이 주어졌을 때
2.2. 좌표평면 상 직선의 기술
이 문서에서는 해석기하학적인 직선의 성질을 분석하는 것을 중점으로 두며, 분석의 용의성을 위해 평면(2차원) 상의 직선으로 국한 시켜 주로 다룬다.2.2.1. 직선의 방정식
결론부터 말하자면, 방정식 [math(ax+by+c=0)] (단, [math(a, b, c)]는 상수)은 좌표평면 상 직선을 기술한다.[2][1] [math(ab \neq 0)]일 경우
이 경우 위의 방정식을 다음과 같은 형식
[math( \displaystyle y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 기울기가 [math(-{a}/{b})], [math(y)]절편이 [math(-{c}/{b})]인 일차함수를 기술하는 직선임을 얻는다.
이때, [math(-{a}/{b} > 0)]이면 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} -({a}/{b})x = \infty)]인 증가함수이고, [math(-{a}/{b} < 0)]이면 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} -({a}/{b})x = -\infty)]인 감소함수이다. 극한값을 보면 알 수 있겠지만, 이 함수는 특정한 점으로 수렴하지 않는다. 이것은 위에서 말한 직선의 정의와 동치이다.
[2] [math(a \neq 0)], [math(b=0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( \displaystyle x=-\frac{c}{a} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((-c/a,\,y))]의 점의 집합이므로 [math(y)]축과 평행하고, [math(x)]절편이 [math(-c/a)]인 직선을 나타낸다.
[3] [math(a = 0)], [math(b \neq 0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( \displaystyle y=-\frac{c}{b} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x,\,-b/c))]의 점의 집합이므로 [math(x)]축과 평행하고, [math(y)]절편이 [math(-displaystyle {c}/{b})]인 직선을 나타낸다.
이상의 결과를 좌표평면 상에 나타내면, 아래와 같다.
서로 다른 두 점[math(A(x_{1}, y_{1}))], [math(B(x_{2}, y_{2}))]을 지나는 좌표평면 위의 직선 [math(l)]의 방정식은 다음과 같다. [math(x_{1} \neq x_{2})]일 때, 직선 [math(l)]의 기울기는 [math((y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1}))]이고, 점 [math((x_{1}, y_{1}))]을 지나므로
[math(\displaystyle y-y_{1} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1}))]
이며, 반대로 [math(x_{1} = x_{2})]일 경우에는 [math(x = x_{1})]이다.
2.2.1.1. 극좌표계에서
극좌표계에서 원점을 지나는 직선을 고려해보자. 직선의 특성을 고려해보면, 직선 위의 점은 [math(r)]은 변하지만, [math(\theta)]는 직선이 [math(x)]축과 이루는 각 [math(\alpha)]로 일정하다. 따라서 다음과 같이 나타내어진다.[math( \displaystyle \theta=\alpha )]
임의의 직선은 어떻게 나타낼까?
위 그림과 같이 직선을 고려했을 때, 원점 [math(\rm O)]에서 직선에 내린 수선의 발을 [math({\rm P_{0}}(r_{0},\,\theta_{0}))] (단, [math(r_{0} \geq 0)], [math(0 \leq \theta_{0} < 2\pi)])라 하자. 한편, 직선 위의 임의의 점 [math({\rm P}(r,\,\theta))]라 하면, 삼각형 [math(\rm{OP_{0}P})]로 부터
[math( \displaystyle r\cos{(\theta-\theta_{0})}=r_{0} )]
이것이 임의의 직선을 극좌표계에서 나타내는 극방정식이다.
2.2.2. 벡터 이용
2.2.2.1. 방향 벡터 사용
좌표평면 상 어떤 직선과 평행한 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '방향 벡터(Direction vector)'라 부른다.)[math(\mathbf{u}=(a,\,b))]
를 고려해보자. 이때, [math(a)], [math(b)]는 각각 상수이고, 직선이 점 [math((x_{0},\,y_{0}))]를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 [math((x, y))]과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터
[math(\mathbf{l}=(x-x_{0},\,y-y_{0}))]
는 위의 방향벡터와 평행하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\mathbf{l}=t \mathbf{u})]
이때, [math(t)]는 임의의 스칼라이다. 그렇다면, 각 축의 성분에 대해 아래의 결과를 얻는다.
[math( \begin{aligned} x-x_{0}=at \qquad \qquad y-y_{0}=bt \end{aligned} )]
[1] [math(ab \neq 0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b} (=t)\end{aligned} )]
를 얻으므로 이것을 우리가 잘 아는 일차함수 형태
[math( \displaystyle y=\frac{b}{a}x + \left(y_{0}-\frac{b}{a}x_{0} \right) )]
로 쓸 수 있고, 이것은 곧 기울기가 [math(b/a)], [math(y)]절편이 [math(y_{0}-(b/a)x_{0})]인 직선을 기술함을 알 수 있다.
[2] [math(a \neq 0)], [math(b=0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( \displaystyle \begin{aligned} x=at+x_{0} \qquad \qquad y=y_{0} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x,\,y_{0}))]의 점의 집합이므로 [math(x)]축과 평행하고, [math(y)]절편이 [math(y_{0})]인 직선을 나타낸다.
[3] [math(a = 0)], [math(b \neq 0)]일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
[math( \displaystyle \begin{aligned} x=x_{0} \qquad \qquad y=bt+y_{0} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x_{0},\,y))]의 점의 집합이므로 [math(y)]축과 평행하고, [math(x)]절편이 [math(x_{0})]인 직선을 나타낸다.
2.2.2.2. 법선 벡터 사용[3]
좌표평면 상 어떤 직선과 직교하는 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '법선 벡터(Normal vector)'라 부른다.)[math(\mathbf{u}=(a,\,b))]
를 고려해보도록 하자. 이때, [math(a)], [math(b)]는 각각 상수이고, 직선이 점 [math((x_{0},\,y_{0}))]를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 [math((x, y))]과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터
[math(\mathbf{l}=(x-x_{0},\,y-y_{0}))]
로 쓸 수 있고, 법선 벡터와 직선 위의 벡터는 수직하므로 두 벡터의 내적 [math( \mathbf{u} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{l}=0)]을 만족한다. 따라서
[math( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0 )]
이것은 [math(c := -(ax_{0}+by_{0}))]라 놓으면 [math(ax+by+c=0)] 꼴로 정리되므로 좌표평면 상 직선을 기술한다는 것을 알 수 있다.
2.3. 직선과 연립일차방정식
이제부터 다음의 연립일차방정식[math( \displaystyle \left\{\begin{matrix}
\ ax+by+c&=0 \\ a'x+b'y+c'&=0
\end{matrix}\right. )]
을 고려해보도록 하자. 연립일차방정식을 푼다는 것은 위의 두 방정식 [math(ax+by+c=0)], [math(a'x+b'y+c'=0)]을 모두 만족시키는 해 [math(x)], [math(y)]를 찾는 것과 같다. 그런데 두 방정식 [math(ax+by+c=0)], [math(a'x+b'y+c'=0)]는 좌표평면 상 직선을 나타내고, 이것이 모두 동시에 만족하는 것은 두 직선의 교점 뿐이다. 따라서 연립일차방정식을 푼다는 것은, 두 직선(혹은 그 이상의 차원이라면 그것을 기술하는 도형)들의 교점을 찾는 것과 동치임을 얻는다.
2.4. 좌표평면 상 직선의 위치 관계
좌표평면 위의 두 직선[math( \displaystyle \begin{aligned} ax+by+c&=0 \\ a'x+b'y+c'&=0 \end{aligned} )]
을 고려하자. 이때, [math(a \sim c)], [math(a' \sim c')]는 각각 [math(abc \neq 0)], [math(a'b'c' \neq 0)]인 상수이다. 이때, 상수의 조건에 따라 위 두 직선은 일차함수의 꼴
[math( \displaystyle \begin{aligned} y&=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} \\ y&=-\frac{a'}{b'}x-\frac{c'}{b'} \end{aligned} )]
로 쓸 수 있다.
[1] 두 직선이 한 점에서 만날 조건
두 직선이 한 점에서 만나려면 두 직선의 기울기만 다르면 된다. 따라서
[math( \displaystyle \frac{a}{b} \neq \frac{a'}{b'} \, \to \, \frac{a'}{a} \neq \frac{b'}{b} )]
를 만족시켜야 한다. 특히, 기울기는 다르고, y절편은 같은 경우, 두 직선은 서로 y축에서 한점으로 만난다.
[2] 두 직선이 평행할 조건
두 직선이 평행하려면 두 직선의 기울기는 같고, [math(y)]절편은 달라야 한다. 따라서
[math( \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\,\, \textsf{and}\,\, \frac{c}{b} \neq \frac{c'}{b'} \, \to \, \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} \neq \frac{c'}{c} )]
를 만족시켜야 한다.
[3] 두 직선이 일치할 조건
두 직선이 일치하려면 두 직선의 기울기와 [math(y)] 절편이 모두 같아야 한다. 따라서
[math( \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\,\, \textsf{and}\,\, \frac{c}{b} = \frac{c'}{b'} \, \to \, \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} )]
를 만족시켜야 한다. 이 사실을 특별히 '직선의 방정식이 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 0차 동차(homogeneous of degree 0)'라고 한다.[4]
[4] 두 직선이 직교할 조건
평행이동을 통하여 두 직선은 다음과 같이 원점을 지나는 직선으로
[math( \displaystyle \begin{aligned} y&=-\frac{a}{b}x \\ y&=-\frac{a'}{b'}x \end{aligned} )]
으로 평행이동시킬 수 있다.
파일:namu_두 직선 직교조건.png
그리고, [math(x=1)]의 직선과의 두 직선과의 각각의 교점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]를 고려하면, 각각의 점의 좌표는 아래와 같다.
[math( \displaystyle \mathrm{A} \left( 1, -\frac{b}{a} \right) \qquad \qquad \mathrm{B} \left( 1, -\frac{b}{a} \right) )]
이때, 삼각형 [math(\mathrm{OAB})]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 적용 가능하므로
[math( \displaystyle {\overline{\mathrm{AB}} }^{2}={\overline{\mathrm{OA}} }^{2} +{\overline{\mathrm{OB}} }^{2} )]
을 이용하면,
[math( \displaystyle 2+\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{a'^{2}}{b'^{2}}=\left( \frac{a}{b}-\frac{a'}{b'} \right)^{2} )]
이고, 이것을 정리하면,
[math( \displaystyle \frac{aa'}{bb'}=-1 )]
이고, 따라서 다음과 같은 결론을 얻는다:
[math( \displaystyle aa'+bb'=0 )]
이상의 결과를 정리하면 다음과 같다.
- 두 직선이 한 점에서 만날 조건
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \frac{a'}{a} \neq \frac{b'}{b} )]}}}
- 두 직선이 평행할 조건
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} \neq \frac{c'}{c} )]}}}
- 두 직선이 일치할 조건
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} )]}}}
- 두 직선이 직교할 조건
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle aa'+bb'=0 )]}}}
2.4.1. 연립일차방정식의 해의 특성과의 연관점
위에서 연립일차방정식을 푼다는 것은 곧, 직선의 교점을 찾는 것과 동치인 문제임을 논의했다. 그런데, 바로 윗문단에서 직선의 위치 관계에 대해 논의했다. 즉, 이 교점의 개수로 해의 개수는 결정되는데 이는 다음을 얻는다.- 두 직선이 한 점에서 만나거나 직교하는 경우는 곧 해당 연립일차방정식이 유일한 해가 존재한다는 것이다.
- 두 직선이 평행한 경우엔 교점이 없으므로 해당 연립일차방정식의 해가 존재하지 않는다는 것이다. 이 경우를 불능이라 한다.
- 두 직선이 일치하는 경우엔 교점이 무수히 많이 존재하므로 해당 연립일차방정식의 해가 무수히 많이 존재한다는 것이다. 이 경우를 부정이라 한다.
2.5. 점과 직선 사이의 거리
좌표평면 상 직선 [math( ax+by+c=0)]과 직선 외부의 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0}))]을 고려하자. 또한 이 직선이 [math(\mathrm{Q}(x_{1},\,y_{1}))]을 지난다고 생각해보자.우선 주어진 직선의 법선 벡터는 [math(\mathbf{n}=(a,\,b))]가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 [math(\mathbf{p} := \overrightarrow{\mathrm{PQ}})]
[math( \displaystyle \mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},\,y_{0}-y_{1}) )]
를 고려하자.
그렇다면, 구하는 점과 직선 사이의 거리는 한 점에서 직선 위에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 [math(\mathbf{p})]의 법선 벡터 [math(\mathbf{n})] 위로의 스칼라 사영[5]이 될 것이다. 구하는 점과 직선 사이의 거리를 [math(s)]라 놓으면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} s&= \operatorname{comp}_{\mathbf{n}}{\mathbf{p}} \\
&=\frac{|\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}|}{|\mathbf{n}|} \\&=\frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
&=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} )]
의 결과를 얻는다.
2.6. 기타 분석
2.6.1. 두 직선의 교점을 지나는 도형의 방정식
이 문단에서는 좌표평면 위의 두 직선 [math(ax+by+c=0)]과 [math(a'x+b'y+c'=0)]의 교점을 지나는 도형의 방정식을 구해보도록 하자. 우선 두 직선의 교점을 [math((\alpha,\,\beta))]라 놓고, 두 직선에 각각 점을 대입하면,[math(a \alpha+b \beta+c=0 \qquad \qquad a' \alpha+b' \beta+c'=0)]
이 성립한다. 다음의 방정식을 고려해보자.
[math(a x+b y+c+k(a' x+b' y+c' )=0 \quad )] (단, [math(k)]는 상수)
이 방정식은 [math(f(x,\,y)=0)] 꼴이므로 좌표평면 상 어떠한 도형[6]을 나타내는 것은 수학적으로 자명하다. 이 방정식에 두 직선의 교점을 대입하면,
[math(a \alpha+b \beta+c+k( a' \alpha+b' \beta+c' )=0)]
이고, 이것은 [math(k)]의 값에 관계 없이 성립하는 항등식이다.[7] 따라서 이 도형의 방정식은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 직선의 교점을 지난다는 것을 알 수 있고, 결국 찾는 도형의 방정식임을 얻는다. 쉽게 말하자면 항등식과 직선의 방정식을 결합한 유형이다.
다만, 위의 형태의 경우 [math(a' x+b' y+c'=0)]이 제외되는 문제점이 있어 이를 다음과 같은 형태로 쓰기도 한다.
[math(m(a x+b y+c)+n(a' x+b' y+c' )=0 \quad)] (단, [math(m)], [math(n)]은 상수)
2.6.2. 세 직선이 삼각형을 결정하는 조건
좌표평면 상 다음의 경우를 제외한 세 직선은 삼각형을 결정한다.- 두 직선 혹은 세 직선이 평행한 경우
- 세 직선이 한 점에서 만나는 경우
- 두 직선 혹은 세 직선이 일치하는 경우
2.6.3. 두 직선이 이루는 예각
좌표평면 위의 두 직선[math( \displaystyle \begin{aligned} l_{1}:&\,\,ax+by+c=0 \\ l_{2}:&\,\,a'x+b'y+c'=0 \end{aligned} )]
을 고려하자. 또한 각 직선의 기울기를 다음과 같이 두자
[math(\displaystyle -\frac{b}{a} := m \qquad \qquad -\frac{b'}{a'} := m' )]
이때, [math(l_{1})], [math(l_{2})]가 [math(x)]축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 [math(\theta_{1})], [math(\theta_{2})]라 하면,
와 같이 되고, 두 직선이 이루는 각 중 예각을 [math(\theta)]라 놓자. 그러면
[math(\displaystyle \theta=\theta_{2}-\theta_{1} )]
이 되고, 이미 주어진 두 직선으로 부터
[math(\displaystyle \tan{\theta_{1}}=m \qquad \qquad \tan{\theta_{2}}=m' )]
임을 알고있으므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}&=|\tan{(\theta_{2}-\theta_{1})}| \\ &=\left| \frac{\tan{\theta_{1}}-\tan{\theta_{2}} }{1+\tan{\theta_{1}\tan{\theta_{2}} }} \right| \\ &=\left| \frac{m-m' }{1+mm'} \right| \end{aligned} )]
주의해야 할 것은 예각을 구하고 있다는 점이다. 그래서 절댓값을 씌웠다는 것에 주의해야 한다.
이것은 각각의 직선의 방향벡터를 이용해도 구할 수 있다. 직선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]의 방향벡터를 각각 [math(\mathbf{u}_{1})], [math(\mathbf{u}_{2})]라 하자. 그렇다면, 이 두 벡터가 이루는 예각을 [math(\theta)]라 놓으면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{|\mathbf{u}_{1} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}_{2}|}{|\mathbf{u}_{1}||\mathbf{u}_{2}|} )]
여기서도 절댓값을 씌운 이유는 예각을 찾고 있기 때문이다.
2.7. 3차원 이상에서의 직선
3차원 이상의 고차원 공간에서는 직선을 기술하기 위해 방향벡터의 도입이 필수적이다.3차원 이상의 공간에서의 직선을 벡터로 기술하는 법 또한 2차원에서의 벡터를 이용한 직선 기술법과 같다. 즉, 방향벡터 [math(\mathbf{u})]와 직선 위의 임의의 벡터 [math(\mathbf{l})]이 평행한 성질을 이용한다. 즉,
[math(\mathbf{l}=t \mathbf{u})]
을 이용한다.(이것을 직선의 벡터 방정식이라 한다.) 이때, [math(t)]는 임의의 스칼라이다. 이때,
[math(\displaystyle \mathbf{l}=\sum_{i} (x_{i}-p_{i}) \hat{\mathbf{x}}_{i} \qquad \qquad \mathbf{u}=\sum_{i} a_{i} \hat{\mathbf{x}}_{i} )]
임을 이용하자. 여기서 [math(\displaystyle \hat{\mathbf{x}}_{i})]는 [math(x_{i})]축의 단위 벡터, [math(p_{i})]는 직선 위의 임의의 점의 [math(x_{i})]축의 좌푯값이다. 따라서
[math(\displaystyle \sum_{i} (x_{i}-p_{i}) \hat{\mathbf{x}}_{i} =t \sum_{i} a_{i} \hat{\mathbf{x}}_{i} )]
으로 쓸 수 있다. 즉, 직선에 대하여
[math(\displaystyle x_{i}-p_{i} = t a_{i} )]
임을 알 수 있다.(이것을 직선의 매개변수 방정식이라 한다.) 만일 [math(a_{i} \neq 0)]이라면, 직선의 방정식은
[math(\displaystyle \frac{x_{1}-p_{1}}{a_{1}}=\frac{x_{2}-p_{2}}{a_{2}}=\cdots=\frac{x_{i}-p_{i}}{a_{i}} )]
으로 쓸 수 있다. 예를 들어 3차원 상에서는
[math(\displaystyle \frac{x-p_{x}}{a_{x}}=\frac{y-p_{y}}{a_{y}}=\frac{z-p_{z}}{a_{z}} )]
의 형태로 쓸 수 있고, 이것은 방향벡터가 [math(a_{x},\,a_{y},\,a_{z})]이고, 점 [math((p_{x},\,p_{y},\,p_{z}))]를 지나는 직선이다.
만약, [math(a_{j}=0)]을 만족하는 [math(x_{j})]축 방향벡터의 성분이 있다면, [math(x_{j})]축을 제외한 것만 위와 같이 연달아 쓰고, [math(x_{j}=p_{j})]라는 조건들이 붙는데 이것은 직선들이 지나는 점 중 [math(x_{j})]축 좌푯값은 [math(p_{j})]로 고정되어야 한다는 것을 나타낸다. 예를 들어 3차원 상에서 [math(a_{z}=0)]이라면, 직선의 방정식은
[math(\displaystyle \frac{x-p_{x}}{a_{x}}=\frac{y-p_{y}}{a_{y}}, \, z=p_{z} )]
으로 기술되고 이것은 [math((x,\,y,\,p_{z}))]의 점을 집합으로 가지는 직선이므로 평면 [math(z=p_{z})] 위의 직선임을 얻는다.
위 식을 다중선형형식(Multilinear form)이라고 하며, 차원과 무관하게 항상 직선을 그린다는 사실이 밝혀져 있다.
2.8. 꼬인 위치에 있는 두 직선 사이의 거리
두 평행한 평면에 각각 놓인 두 직선 [math(l)], [math(m)]은 꼬인 위치에 있다.[8]직선 [math(l)], [math(m)]의 방향 벡터를 각각 [math(\mathbf{u}_{l})], [math(\mathbf{u}_{m})]이라 하자. 이때 두 직선 사이의 거리는 위 그림의 선분 [math(\rm PQ)]와 같이 두 직선에 모두 수직한 선분의 길이로 정의된다. 선분 [math(\rm PQ)]의 방향 벡터를 [math(\mathbf{u}_{h})]라 하자. 이 벡터는 두 방향 벡터에 수직하므로 [math(\mathbf{u}_{l} \times \mathbf{u}_{m})]의 실수배에 해당하는 벡터가 될 것이다.
한편, [math(l)], [math(m)]의 위의 점 [math(\rm B)], [math(\rm A)]를 고려하면, 벡터 [math(\overrightarrow{\rm AB} )]를 생각할 수 있다.
점과 직선 사이의 거리에서 했듯 유사한 논법으로
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm PQ}&=\textrm{comp}_{\mathbf{u}_{h}}\,\overrightarrow{\rm AB} \\ &=\textrm{comp}_{\mathbf{u}_{l} \times \mathbf{u}_{m}}\,\overrightarrow{\rm AB} \\&=\frac{|\overrightarrow{\rm AB} \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{u}_{l} \times \mathbf{u}_{m})|}{|\mathbf{u}_{l} \times \mathbf{u}_{m}|} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \overline{\rm PQ}=\frac{\displaystyle\begin{Vmatrix} x_{2}-x_{1} \quad & y_{2}-y_{1} \quad & z_{2}-z_{1} \\ l_{1} \quad & l_{2} \quad & l_{3} \quad \\ m_{1} \quad & m_{2} \quad & m_{3} \\ \end{Vmatrix}}{\displaystyle\sqrt{{\begin{vmatrix} l_{2} \quad & l_{3} \\ m_{2} \quad & m_{3} \\ \end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix} l_{1} \quad & l_{3} \\ m_{1} \quad & m_{3} \\ \end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix} l_{1} \quad & l_{2} \\ m_{1} \quad & m_{2} \\ \end{vmatrix}}^{2} }} )] |
3. 다른 뜻
표준국어대사전에는 다음과 같이 정의되어 있다.1. 꺾이거나 굽은 데가 없는 곧은 선.
2. 두 점 사이를 가장 짧게 연결한 선.
1번 의미는 곡선의 반대말이며[9], 2번 의미는 수학에서는 선분이라고 한다.2. 두 점 사이를 가장 짧게 연결한 선.
4. 기타
- 대한민국 교육과정 상에서는 직선의 경우 중학교 2학년 일차함수 단원을 통해 일차함수의 그래프 개형이 직선이라는 것을 먼저 배운 후 본격적으로 고등학교 1학년 도형의 방정식 단원을 통해 해석기하학적으로 직선의 성질을 배우게 된다. 그리고, 고2~3 기하 단원을 통해 벡터를 이용한 직선을 해석하는 법을 배운다.
- 구면 공간에서는 '구의 지름을 갖는 원'을 직선으로 정의하며, 쌍곡 공간에서는 별별 모양의 '직선'을 정의할 수 있다.
- 택시 거리 공간에서는 축에 평행하지 않는 직선은 '직선'이 아니라, 꺾은선이 된다.
5. 관련 문서
[1] 즉 곡률과 열률이 0인[2] 고등학교 교육과정에서는 지나는 한 점과 기울기를 알 때의 직선의 방정식은 점 [math(A(x_{1}, y_{1}))]을 지나고 기울기가 [math(m)]인 경우, [math(y-y_{1} = m(x-x_{1}))]으로 구한다.[3] 직선을 유도하는 과정에서 법선 벡터를 쓸 수 있는 것은 2차원 뿐이다.[4] 일차식으로 표현되는 소비자이론의 예산선이 대표적인 예로서, 예산집합은 가격과 소득에 대하여 0차 동차라고 할 수 있다.[5] 정사영 문서의 벡터 사영 문단 참조. 벡터 사영의 크기가 스칼라 사영이다.[6] 사실 이차항 이상의 고차항이 없기 때문에 해당 도형은 직선만 가능하다.[7] 교점에서 [math(a \alpha+b \beta+c=0,\, a' \alpha+b' \beta+c'=0)]이 성립함을 상기하라.[8] 꼬인 위치의 정의를 생각해보면, 두 직선은 그림과 같이 각각 평행한 두 평면 위에 놓여있을 수밖에 없다.[9] 수학적으로는 직선이 곡률과 열률이 0인 곡선, 즉 곡선의 특수한 형태이다.