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1. 개요
| |
| 정육각형 |
여섯 개의 변으로 둘러싸인 도형이며, 당연히 각도 여섯 개다.
2. 성질
육각형의 내각의 총합은 720도이고 외각은 360도이며, 정육각형의 경우 한각은 720도에서 6을 나눈 120도이다. 이 도형부터는 세 면이 닿는 각의 합이 360도 이상이 되어 하이퍼볼릭 타일링이 되기 때문에 이 정다각형 이상의 변을 갖는 정다각형을 면으로 삼는 정다면체는 만들어질 수 없다.정육각형의 경우, 정육각형의 두 꼭짓점을 이은 선분이 정육각형을 이등분하도록 하는 서로 다른 선분을 세 개 그으면 정확히 정삼각형 6개로 등분된다.
견고하면서도 삼각형보다 재료가 덜 드는 효율적인 도형이다. 육각형 모양으로 된 물건들은 외부 충격에 버티는 힘이 매우 강하다.
정육각형의 공식들
- 둘레의 길이:[math(\left(6\right)a)]
- 외접원의 반지름(R):[math(\left(1\right)a)]
- 내접원의 반지름(r):[math(\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)a \approx \left(0.866\right)a)]
- 면적:[math(\left(6\right)\times\dfrac12ra = \left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)a^2 \approx \left(2.598\right)a^2)]
| 허니콤 | {6,3,...,3} | {3,6,3,...,3} | {3,3,6,3,...,3} | {3,3,3,6,3,...,3} |
| 이포각 -1 | 3차원 | 3차원 | 3.8차원 | ~4.71428차원 |
| [math(\cos^{-1}\left(3\right))] | [math(\cos^{-1}\left(3\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{24}{5}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{40}{7}\right))] | |
| 이포각 ±∞ | 4차원 | 4차원 | 4.8차원 | ~5.71428차원 |
| 이포각 1 | 5차원 | 5차원 | 5.8차원 | ~6.71428차원 |
| 허니콤 | {3,...,3,6} | {3,...,3,6,3} | {3,...,3,6,3,3} | {3,...,3,6,3,3,3} |
| 이포각 -1 | 3차원 | 3차원 | 3.8차원 | ~4.71428차원 |
| 이포각 ±∞ | x | 4차원 | 4차원 | 4.8차원 |
| 이포각 1 | x | x | 5차원 | 5차원 |
| 이포각 임계점 | ~-2 | ~2 | ~0.66667 | ~0.4 |
| [math(\cos^{-1}\left(-2\right))] | [math(\cos^{-1}\left(2\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{5}\right))] | |
| ~180-100.99797i° | ~180-100.99797i° | ~48.1897° | ~66.4219° |
3. 활용
- 벌집의 방 모양이 정육각형을 이루고 있는 이유도 육각형 구조가 튼튼하기 때문이라고 알려져 있었으나, 최근 벌들은 자신의 집을 원형으로 만든다는 사실이 밝혀졌다. 자세한 사실은 항목 참고. 다만 이런 형태의 벌집이 충격, 특히 위에서 아래로 내리누르는 충격에 강한 건 사실이다.
- 원에 가까우면서도[1] 빈틈없이 공간을 채울 수 있고,[2] 충격에도 강한 구조 + 삼각형으로만 구조물 만들 때보다도 훨씬 재료가 덜 들어가는 점 등등으로 인해 비행기 등에 들어가는 허니콤 페이퍼 등에도 활용되는 도형이다.
- 견고하다는 이미지와 벌집이나 주상절리, 눈송이나 얼음결정 등 묘하게 SF스럽거나 튼튼해 보여서인지 헤일로, 크라이시스 시리즈 , 코드기어스의 다모클레스 등 주로 속이 비치는 형태의 방어막 등이 육각형으로 표현되는 경우가 많다. 탄소나노튜브도 육각형이다. 스타크래프트 시리즈의 프로토스 보호막 역시 불멸자(스타크래프트 2) 등 투명한 구체 표면에 육각형의 패턴이 나타난다. 스타크래프트 2로 들어오면서 그래픽이 발전함에 따라 생긴 디테일한 묘사 중 하나이다. 이 또한 육각형을 통해 프로토스 보호막의 엄청난 내구성을 표현하려 한 듯하다.
- 다만, 인간은 공간 활용을 이유로 육각형이나 삼각형보다는 사각형을 선호한다. 도시계획을 짤 때에도 사각형 단위로 도시계획을 짜면 건물로 꽉 채울 수 있어서 빈 공간이 남지 않지만, 육각형 단위로 도시구조를 짜게 되면 육각형 체계의 중심부는 필연적으로 건물이 들어설 수 없는 광장이 형성된다. 사각형 단위는 거미줄형 확장성이 용이한 반면, 육각형 단위 도시는 육각형의 중심부 광장을 위시로 한 철저한 종주형 모양이 된다. 육각형 단위 도시는 직진을 하기가 어려워지며 이렇게 되면 다른 마을과 소통이 어려워진다. 삼각형 단위로 도시계획을 짜게 된다면 거미줄형 확장을 할 수는 있지만 길이 차지하는 비중이 높아지며 귀퉁이에는 빈 공간이 생기고 광장같은 것을 설치하기가 어려워진다.
- 또한 미래적이거나 사이버틱한 것을 표현하고자 할 때 육각형 패턴이 많이 표현된다. 디지털 앱스트랙트 같은 게 많이 발달한 2010년대 이후 3D 추상 CG 미술계에서는 조금 식상한 감도 없지 않지만 여전히 디자인 소재로써 많이 쓰이고 있다.
- 물은 분자 구조 때문에 응고하여 얼음이 되면 육각형 모양의 결정이 되며, 그 결정이 사각형으로 연결되어 있을 때보다 커지므로 얼음의 부피가 물보다 커지는 이유가 된다. 눈송이를 확대하면 위 사진처럼 육각형의 결정 모양을 볼 수 있다.
- 더 지니어스 시리즈에서는 설명 영상에서 플레이어 이미지가 육각형으로 각진 디자인이고, 메인 홀 테이블이나 로고 등 여러가지 면에서 육각형이 들어갔다.
- 히어로즈 오브 더 스톰의 마크(시공 마크)는 육각형이다.
- 멕시코 프로레슬링 단체 루차 리브레 AAA 월드와이드는 다른 프로레슬링 단체와는 달리 사각형 링이 아닌 육각형 링으로 사용하고 있다.[3]
4. 기타
- hex- 의 접두어가 있으며 hexed 처럼 보통 주술로 번역되고, 이것이 왈도체로 번역되면 '마녀'가 된다.#
- 눈송이도 육각형에 가깝다.
- 육각형 형태의 분자 구조를 가진 화합물로 사이클로헥세인, 사이클로헥센, 벤젠 등이 있다. 벤젠 고리 7개가 육각형으로 붙어있는 화합물은 코로넨(coronene)이라고 하는데, 공명 구조에 따라 가운데 정사각형에는 이중 결합이 없는 듯한 모양으로 그릴 수도 있다.
5. 정육각형을 확장시킨 도형들의 면적
5.1. 정십이각형
모양: https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Regular_dodecagon.svg겉길이:[math(\left(12\right)a)]
면적:[math(\left(6+3\sqrt{3}\right)a^2)]
외접원의 반지름:[math(\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right)a)]
내접원의 반지름:[math(\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\right)a)]