대각선

1. 개요

평행사변형. 선분 [math(\rm \overline{AC})], [math(\rm \overline{BD})]가 대각선이다.

2. 일상적인 의미

3. 평면에서의 대각선

3.1. 대각선의 길이

• 직사각형에서 2개의 대각선의 길이는 같기 때문에, 직각을 낀 두 변의 길이를 [math(a,~b)]라 하면 그 대각선의 길이는 피타고라스 정리에 의하여 [math( \sqrt{a^2+b^2})]이 된다.
• 정사각형의 경우는 여기에서 [math(a=b)]라고 하면 되므로 대각선의 길이는 [math( \sqrt {2}a)]가 된다.
• 한 변의 길이가 [math(a)]인 정오각형의 대각선의 길이는 모두 서로 같은데, 이것의 길이는 [math(\dfrac{1+ \sqrt {5}}{2}a)]이다. [math(\cos 108\degree)]의 값이 [math(\dfrac{1- \sqrt {5}}{4})]라는 것을 이용하여 제2코사인 법칙을 활용하여 대각선의 길이([math(x)])를 구하면 [math(x^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(108\degree) = 2a^2(1 - \dfrac{1- \sqrt {5}}{4}) = \dfrac{a^2(3+ \sqrt {5})}{2})]이므로 [math(x = \dfrac{1+ \sqrt {5}}{2}a)]가 된다.
• 정육각형의 경우 2가지 경우가 있다. 한 변의 길이를 a라고 하면,
• 정육각형을 삼각형과 오각형으로 나누는 대각선: 삼각형의 짧은 변의 길이가 [math(a)]이고 그 사이각의 크기는 [math(120\degree)]이므로 대각선의 길이를 [math(x)]라 하면 제2 코사인 법칙에 의하여 [math(x^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(120\degree) = 3a^2)] 이므로 [math(x=\sqrt3a)]가 된다.
• 정육각형을 서로 합동인 사다리꼴 2개로 나누는 대각선: 그 대각선에 평행한 한 변의 끝에 해당하는 각각의 꼭짓점에서 수직으로 대각선에 내린 수선의 발(총 2개)을 이용하면, 대각선과 이와 이웃한 변 사이의 각은 [math(60\degree)]가 되므로 대각선의 길이는 [math(a\cos(60\degree) + a + a \cos(60\degree) = 2a)]가 된다. 더 간단히 생각해서 정육각형을 한 변의 길이가 [math(a)]인 정삼각형 6개로 나눌 수 있다는 점을 이용하면 이 대각선은 정삼각형 2개의 변을 합친 것에 해당하므로 길이가 [math(2a)]임을 쉽게 알 수 있다.

• 정팔각형의 경우 3가지 경우가 있다. 위 그림 참고. 한 변의 길이를 [math(a)]라고 하면,
• 정팔각형을 삼각형과 칠각형으로 나누는 대각선(파랑): 삼각형의 짧은 변의 길이가 [math(a)]이고 그 사이각의 크기는 [math(135\degree)]이므로 대각선의 길이가 [math(b)]이면 마찬가지로 제이코사인법칙에 의하여 [math(b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(135\degree) = 2a^2 + \sqrt{2}a^2)] 이므로 [math(b = \sqrt{2 + \sqrt{2}}a)]이다.
• 정팔각형을 마름모꼴과 육각형으로 나누는 대각선(빨강): 삼각비를 이용하면 위 그림에서 [math(a + a \cos(45\degree) + a \cos(45\degree) = (1 + \sqrt{2})a)]이다.
• 정팔각형을 합동인 두 오각형으로 나누는 대각선(녹색): 빨간색 대각선과 그 대각선과 한 점을 공유하는 변이 서로 수직이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 [math( \sqrt{((1 + \sqrt{2})a)^2 + a^2})] = [math( \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}a)] 이다. 또는 위 그림에서 서로 한 점을 공유하는 2개의 파란색 대각선이 서로 수직이라는 것을 이용할 수 있다. 이 2개의 파란색 대각선의 끝점의 합집합에 해당하는 3개의 점으로 직각이등변삼각형을 만들면 녹색 대각선이 빗변에 해당하므로 파란색 대각선의 길이의 [math( \sqrt{2})]배라는 점을 이용하면 같은 식을 도출할 수 있다.
• 정십각형의 경우 4가지 경우가 있다. 한 변의 길이를 [math(a)]라고 하면 [math(\left(\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}\right)a)], [math(\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)a)], [math(\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)a)], [math(\left(1+\sqrt{5}\right)a)] 이렇게 4가지가 존재한다.
• 정십이각형의 경우 5가지 경우가 있다. 한 변의 길이를 [math(a)]라고 하면 [math(\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right)a)], [math(\left(1+\sqrt{3}\right)a)], [math(\left(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right)a)], [math(\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)a)], [math(\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)a)] 이렇게 5가지가 존재한다.

3.2. 정다각형의 대각선 길이의 가짓수

• [math(n)]이 홀수일 때: [math(\dfrac{n-3}{2})]가지
• [math(n)]이 짝수일 때: [math(\dfrac{n-2}{2})]가지

• [math(n)]이 홀수일 때: 선택한 꼭짓점부터 시계 방향으로 이동하면서 각 꼭짓점이 선택한 꼭짓점으로부터 '몇 칸' 떨어져 있는지 세어 보면 각각 [math(0,~1,~2,~3,~...,~\dfrac{n-1}{2},~\dfrac{n-1}{2},~...,~3,~2,~1)]칸 떨어져 있게 된다. 이때 [math(2,~3,~...,~\dfrac{n-1}{2})]에서 가능한 경우의 개수는 [math(\dfrac{n-1}{2} - 1 = \dfrac{n-3}{2})]이다.
• n이 짝수일 때: 같은 방법으로 세어 보면 각각 [math(0,~1,~2,~3,~...,~\dfrac{n-2}{2},~\dfrac{n}{2},~\dfrac{n-2}{2},~...,~3,~2,~1)]칸 떨어져 있게 된다. 이때 [math(2,~3,~...,~\dfrac{n}{2})]에서 가능한 경우의 개수는 [math(\dfrac{n}{2} - 1 = \dfrac{n-2}{2})]이다.

3.3. 특정한 도형에서의 대각선의 성질

• 직사각형에서 두 대각선을 합쳐 만든 X자 형태는 직사각형의 각 변을 가로, 세로와 일치시켰을 때 좌우, 상하 대칭성을 가지며, 정사각형이 아닌 경우 [math(180\degree)] 회전시킬 때마다 같은 모양이 나온다. 각 대각선의 길이는 앞에서 서술한 것처럼 서로 같다.
• 마름모에서 두 대각선은 서로 수직이며, 두 대각선을 가로, 세로와 일치시킬 경우 좌우, 상하 대칭성을 가진다. 또한 정사각형이 아닌 경우 [math(180\degree)] 회전시킬 때마다 같은 모양이 나온다.
• 정사각형은 마름모이면서 직사각형이므로 두 대각선이 서로 수직이며, 길이가 서로 같다. 또한 이 두 대각선을 합친 X자 모양은 [math(90\degree)] 회전할 때마다 그 모양이 같아진다.
• 평행사변형의 두 대각선은 두 쌍의 맞꼭지각을 만든다. 직사각형, 마름모, 정사각형은 모두 평행사변형이므로 대각선에 의해 두 쌍의 맞꼭지각이 만들어진다.

평행사변형의 대각선
마름모의 대각선	직사각형의 대각선
정사각형의 대각선
이미지 출처

• 정[math(2n)]각형([math(n \ge 2)])에서 서로 마주보는 두 꼭짓점을 연결한 대각선은 해당 도형의 중심을 지나기 때문에, 서로 마주보는 두 꼭짓점을 모두 연결하면 그 대각선들은 중심에서 모두 만나면서 * 모양을 만든다. 이때 이 * 모양에서 나타나는 가장 작은 각은 [math(\dfrac{180\degree}{n})]이다. 예를 들어 정사각형의 경우 [math(n=2)]이므로 [math(90\degree)], 정육각형의 경우 [math(n=3)]이므로 [math(60\degree)]이다.
• 반면 정[math(2n+1)]각형([math(n \ge 2)])의 대각선 중에는 해당 도형의 중심을 지나는 것이 존재하지 않는다. 단 n이 클수록 중심과의 거리가 가장 가까운 대각선과 중심과의 거리는 짧아진다.
• 정[math(2n+1)]각형에서 해당 도형의 둘레 선분을 따라 갈 때 같은 개수의 선분만큼 떨어진 꼭짓점들을 모두 연결하여 만든 대각선들은 해당 도형의 중심부에 작은 정[math(2n+1)]각형을 만든다. 예를 들어 정오각형의 5개 대각선을 연결하면 별 모양이 만들어지는데, 이 별 모양의 중심부에 작은 정오각형이 존재한다. 이때 그 개수가 클수록 대각선과 도형의 중심 사이의 거리는 가까워지기 때문에 더 작은 도형이 된다.
• 정사각형을 제외한 정[math(n)]각형에서 2개의 선분만큼 떨어진 꼭짓점들을 모두 연결하여 대각선을 그리면 그 대각선들은 별 모양을 이룬다.[5] 이 때, 별 모양의 중심부에 있는 정[math(n)]각형의 크기는 [math(n)]이 클수록 커지며, 그 모양은 원에 가까워진다. 특히 정육각형에서의 이 별 모양은 중심인 정육각형의 넓이가 가장자리 부분인 정삼각형 6개의 넓이의 합과 같다.
• 일반적인 사다리꼴은 대각선에 아무런 특징이 없으나 등변사다리꼴의 경우에는 사다리꼴의 밑변을 가로와 일치시키면 두 대각선을 합친 X자 모양은 좌우 대칭이 된다. 따라서 두 쌍의 맞꼭지각을 만든다. 하지만 일반적인 등변사다리꼴의 경우 이 두 대각선을 합친 모양을 [math(360\degree)] 미만의 각으로 회전시켰을 때 같은 모양이 되지는 않는다.
• [math(n)]각형이라 할때 [math(n)]의 약수각형은 이을 수 있다.

4. 입체에서의 대각선

• 정사면체: [math(\left\{ 3,3 \right\})]
• 정육면체: [math(\left\{ 4,3 \right\})], [math(\left\{ 3,3 \right\})]
• 정팔면체: [math(\left\{ 3,4 \right\})]
• 정십이면체: [math(\left\{ 5,3 \right\})], [math(\left\{ 5/2,3 \right\})], [math(\left\{ 4,3 \right\})], [math(\left\{ 3,3 \right\})]
• 정이십면체: [math(\left\{ 3,5 \right\})], [math(\left\{ 3,5/2 \right\})], [math(\left\{ 5/2,5 \right\})], [math(\left\{ 5,5/2 \right\})]

5. 초입체(4차원) 이상 도형에서의 대각선

• 정오포체: [math(\left\{ 3,3,3 \right\})]
• 정팔포체: [math(\left\{ 4,3,3 \right\})], [math(\left\{ 3,3,4 \right\})]
• 정십육포체: [math(\left\{ 3,3,4 \right\})]
• 정이십사포체: [math(\left\{ 3,4,3 \right\})], [math(\left\{ 4,3,3 \right\})], [math(\left\{ 3,3,4 \right\})]
• 정백이십포체: [math(\left\{ 5,3,3 \right\})], [math(\left\{ 3,3,5 \right\})], [math(\left\{ 3,3,5/2 \right\})], [math(\left\{ 5/2,3,3 \right\})], [math(\left\{ 3,5/2,5 \right\})], [math(\left\{ 5,5/2,3 \right\})], [math(\left\{ 5/2,5,5/2 \right\})], [math(\left\{ 5,3,5/2 \right\})], [math(\left\{ 5/2,3,5 \right\})], [math(\left\{ 5,5/2,5 \right\})], [math(\left\{ 5/2,5,3 \right\})], [math(\left\{ 3,5,5/2 \right\})], [math(\left\{ 3,4,3 \right\})], [math(\left\{ 4,3,3 \right\})], [math(\left\{ 3,3,4 \right\})], [math(\left\{ 3,3,3 \right\})]
• 정육백포체: [math(\left\{ 3,3,5 \right\})], [math(\left\{ 3,3,5/2 \right\})], [math(\left\{ 3,5/2,5 \right\})], [math(\left\{ 5,5/2,3 \right\})], [math(\left\{ 5/2,5,5/2 \right\})], [math(\left\{ 5,3,5/2 \right\})], [math(\left\{ 5/2,3,5 \right\})], [math(\left\{ 5,5/2,5 \right\})], [math(\left\{ 5/2,5,3 \right\})], [math(\left\{ 3,5,5/2 \right\})], [math(\left\{ 3,4,3 \right\})], [math(\left\{ 4,3,3 \right\})], [math(\left\{ 3,3,4 \right\})]

6. 유클리드 , 쌍곡에서 이어서 만들어지는 도형들

7. 일반화

8. 벡터와 대각선

• 원점 O에서 각각 A, B로 향하는 두 벡터의 합을 구할 때 평행사변형을 이용하기도 하는데, 이 평행사변형에서 벡터의 합은 O를 포함하는 대각선에 해당한다. 즉 이 대각선에서 O에서 출발하여 다른 꼭짓점에 도달하는 벡터이다.
• 마찬가지로, 공간상의 원점 O에서 서로 수직인 세 벡터의 합은 그 세 벡터의 길이를 각각의 변의 길이로 하는 직육면체의 원점 O를 포함하는 대각선에 해당한다. 역시 O에서 출발한다.
• 위의 유클리드 노름과 연관지어 본다면, 내적의 제곱근([math(\sqrt{\left< {\bold a},\,{\bold b} \right>})])이 벡터의 대각선의 크기가 된다.

9. 관련 사례

9.1. 현실에서

• 요즘 주차장에는 직선 주차장이 없어지고 대각선 주차장이 많아지고 있는 상황이다. 운전자 중심의 대각선 주차는 주차가 편리하고 안전 거리 확보도 잘 되기 때문이다. 그러나 예산이 없어 안 되는 곳도 있다고 한다. 또 대각선 형태는 필연적으로 직사각형 형태인 자동차를 배치할 때 공간 효율이 떨어지게 되는 문제가 있어, 주어진 면적에 주차공간을 최대한 확보해야 하는 아파트 주차장 등에는 잘 사용하지 않는다.

원 안에 대각선이 있는 모양	대각선을 교차한 가위표 모양

• 금지, 정지, 틀림과 기타 부정을 나타내는 기호로 원 안에 대각선이 있는 모양이나 대각선을 교차한 가위표가 많이 쓰인다.
• 갤럭시 노트7을 홍보하는 그림 중에는 스마트폰 화면의 검은색의 7자 모양 왼쪽 아래에 노트7의 상징이라고 할수있는 S펜 형태의 대각선이 여러 개 그려져 있는 것이 있다. 보기
• 차량용 신호등의 신호 중에는 직진, 좌회전뿐만 아니라 대각선 방향 신호도 있다. 주로 오거리나 육거리 등의 교차로에서 볼 수 있으며, 가끔씩 삼거리나 사거리에도 설치된 경우가 있다.
• 일부 교차로에는 직선 횡단보도뿐만 아니라 대각선 횡단보도가 있다.
• 핸드폰 등 전자제품의 크기는 대각선으로 잰다. 4인치 5인치 하는 게 바로 이거다. 가로와 세로 길이로 나타내려면 두 개의 수치가 필요하므로 하나만 있어도 되는 대각선을 사용하는 것이다. 그래서 4.8인치가 5인치보다 클 수 있다.

9.2. 게임 및 창작물에서

• 장기 계열의 보드게임 중에 대각선으로 움직이는 말이 존재하는 것들이 많이 있다.
• 한국의 장기에는 대각선으로만 이동하는 말은 없으나, 마(馬)와 상(象)같은 경우는 직선과 대각선 이동을 병행한다. 마는 직선으로 1칸, 대각선으로 1칸 이동하며, 상은 직선으로 1칸, 대각선으로 2칸 이동한다. 둘 다 직선 이동 후의 대각선 이동은 이동경로의 반대방향으로는 갈 수 없다. 또, 장기판의 양쪽 끝에는 교차된 대각선이 그어진 곳이 있고 이를 궁성이라고 하는데, 그 안에 있으면 직선 이동하는 말들이 대각선으로 이동할 수 있다.
• 체스의 비숍은 장애물이 없을 때 대각선으로 몇 칸이든 이동할 수 있으며, 폰은 상대방의 기물을 잡을 때 대각선으로 한 칸 이동한다. 비숍과 룩의 기능을 합친 퀸도 대각선 이동이 가능하다. 다만 한국 장기에서도 궁성(장기말 양쪽 끝의 교차된 대각선이 그어진 곳) 안에 있으면 직선 이동하는 말들이 대각선으로 이동할 수 있다.
• 체커 말은 대각선 전방으로 움직이며, 판 끝에 다다라 킹으로 승급하면 대각선 후반으로도 움직일 수 있다.
• 태국의 전통 보드게임인 막룩에서도 대각선으로 움직일 수 있는 말들이 있으나, 체스의 비숍처럼 여러 칸씩 이동할 수 있는 건 없고 모두 한 칸씩만 이동한다. 체스의 폰에 대응되는 비아(เบี้ย)는 상대의 기물을 잡을 때만 대각선으로 진행하고, 콘(โคน)은 대각선 네 방향과 전진 방향으로 한 칸씩만 진행하며, 멧(เม็ด)은 대각선 방향으로만 한 칸씩 전진하고, 체스의 킹과 대응되는 쿤(ขุน)은 전후좌우와 대각선으로 한 칸씩 움직인다.
• 중국의 샹치에서는 한국 장기와 달리 사(士)를 제외한 다른 말들은 궁성에서도 대각선 이동을 할 수가 없다. 그리고 사는 대각선 방향으로 1칸씩만 움직인다. 샹치의 상(象)은 대각선으로 2칸 움직인다.
• 일본의 쇼기에서는 왕장(전후좌우 + 대각선 1칸씩), 각행(체스의 비숍과 동일, 승급을 하면 전후좌우 한칸 씩이 추가됨), 금장(전후좌우 + 앞쪽 대각선 1칸씩), 은장(막룩의 콘과 동일)이 대각선 이동을 할 수 있다. 또한 승격을 한 말 중에서도 비차(장기의 차(車)와 동일)가 승격한 용왕(비차의 움직임에서 대각선 네 방향 1칸씩 이동이 추가됨)과, 은장, 계마, 향차, 보병이 승격한 성은, 성계, 성향, 토금(모두 금장과 움직임이 동일해져 앞쪽 대각선으로 1칸씩 이동이 가능해짐)은 대각선 이동을 할 수 있다.
• 소설, 게임, 만화 등에서 마법진을 표현할 때도 정다각형에 대각선이 있는 형태가 많이 등장한다. 예를 들어 오망성의 겉부분에 정오각형을 그려서 그 오각형의 대각선 5개로 이루어진 것으로 만들거나, 육망성의 겉부분에 정육각형을 그려서 마찬가지로 만드는 것이 있다.
• 보통 3차원 게임(fps 등) 에서는 앞, 뒤나 오른쪽, 왼쪽이 아닌 서로 다른 두 키를 누르면 대각선으로 이동한다.
• 틱택토, 오목에서는 가로, 세로, 대각선으로 각각 3개, 5개의 같은 색 말을 놓으면 승리하는데, 일반적으로 가로, 세로보다 대각선으로 놓을 수 있는 경우를 찾기가 어렵다.
• 사진 등 미술 작품의 구도 중에는 '대각선 구도' 가 있다.

10. 여담

• 2013년 여름 '강력한 티켓 파워를 가진 고3 수험생들이' 라는 대각선 착시 현상이 이슈가 된 적이 있었다. 한 줄의 길이가 반복되는 부분 2개의 길이보다 약간 짧고, 여기에다가 '강력한' 부분으로 인해 내용 전체를 볼 경우 대각선이 있는 듯한 착각을 불러일으키기 때문. 관련기사
• 우리민족끼리 테러 사건에서 어떤 용자가 북한 김부자 찬양글을 가장한 아 시발 김정일이란 희대의 명문을 대각선으로 써서 올린 적이 있다.

10.1. 대각선의 법칙

• AOS게임 리그 오브 레전드에서는 위쪽 공격로가 잘 풀리면 아래쪽 공격로가 망하고, 아래쪽 공격로가 잘 풀리면 위쪽 공격로가 망하는 식으로 양 팀의 균형이 맞게 되는 경우가 자주 있는데 이런 상황을 롤 유저들이 반 장난식으로 대각선의 법칙 이라 부르곤 한다. 상세하게 분석을 하자면, 탑라이너와 바텀라이너들의 각 전투력이 같은 상황에서 한 쪽이 무너지려면 정글러 내지 미드라이너의 개입이 필수인데, 이러한 개입으로 한 라인이 무너지면 다른 한 라인 쪽에 정글러가 있을 확률이 높기에 이 곳으로 다른 정글러의 개입이 있거나, 정글러가 오지 않더라도 한 쪽이 정글러의 위치를 완전히 알기 때문에 위협적으로 공격할 수 있기에 양 쪽 라인이 균형을 이룰 수 있다. 그러므로 정글러들의 소규모 한타에서는 어느 쪽에서 일어나도 크게 영향을 받지 않는 법칙이다. 물론 각자의 전투력이 같을 때의 가능하므로 항상 적용되는 법칙도 아니다.

11. 관련 문서

• 대각선 논법: 자연수의 집합과 실수의 집합의 원소의 개수가 서로 다르다는 것을 증명할때 사용했던 논법.
• 대각선 화살표: 특수 기호 중 하나다.
• 슬래시 · 백슬래시: 대각선 화살표와 마찬가지로 특수 기호 중 하나이다.
• 비숍(체스): 체스에서 대각선으로만 이동할 수 있다.
• 최단거리