| 평면기하학 Plane Geometry | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#765432> 공통 | 도형 · 직선 (반직선 · 선분 · 평행) · 각 (맞꼭지각 · 동위각 · 엇각 · 삼각비) · 길이 · 넓이 · 다각형 (정다각형 · 대각선) · 작도 · 합동 · 닮음 · 등적변형 · 삼각함수 (덧셈정리) · 접선 · 벡터 | |
| 삼각형 | 종류 | 정삼각형 · 이등변삼각형 · 부등변삼각형 · 예각삼각형 · 직각삼각형 · 둔각삼각형 | |
| 성질 | 오심 (관련 정리 · 구점원) · 피타고라스 정리 · 사인 법칙 · 코사인 법칙 · 헤론의 공식 · 신발끈 공식 · 스튜어트 정리 · 우산 정리 · 오일러 삼각형 정리 · 데자르그 정리 · 메넬라오스 정리 · 나폴레옹의 정리 · 체바 정리 · 사영 정리 · 판아우벌 정리 | ||
| 기타 | 세모 모양 · 평범한 삼각형 · 젤곤 삼각형 · 랭글리 삼각형 · 페르마 점 | ||
| 사각형 | 정사각형 · 직사각형 · 마름모 · 평행사변형 · 사다리꼴 · 등변 사다리꼴 · 연꼴 · 네모 모양 | ||
| 그 외 다각형 | 오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 (정팔각형) · 구각형 · 십각형 · 십일각형 · 십이각형 · 백각형 | ||
| 원 | 단위원 · 원주율 · 호 · 부채꼴 · 할선 · 활꼴 · 방정식 · 원주각 · 방멱 정리 · 톨레미 정리 | ||
| 원뿔곡선 | 포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 파스칼 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 · 보조선 · 테셀레이션(펜로즈 타일) · 제곱근의 앵무조개 · 픽의 정리 · 논증 기하학 · 해석 기하학 · 3대 작도 불능 문제 | }}}}}}}}} | |
1. 정의
isosceles triangle ・ 二等邊三角形초등학교 4학년 때 처음 맛보기로 배우며, 중학교 2학년 2학기 때 '삼각형의 성질' 단원에서 본격적으로 배운다.[1]
두 변의 길이가 같은 삼각형. 혹은 두 각이 같은 삼각형으로 정의해도 된다. 그렇지만 '이등변삼각형'이라는 명칭을 직접적으로 반영하는 일반적인 정의는 전자로, 후자는 보통 전자로 표현되는 정의에서 도출되는 성질로 간주된다. 물론 탈레스의 증명에 의하여 두 정의는 동치이긴 하다.
2. 개념
3. 이등변삼각형의 종류
- 예각이등변삼각형: 모든 각이 예각인 이등변삼각형, 예각삼각형과 이등변삼각형의 교집합[3]
- 직각이등변삼각형: 꼭지각이 직각인 이등변삼각형, 직각삼각형과 이등변삼각형의 교집합
- 둔각이등변삼각형: 꼭지각이 둔각인 이등변삼각형, 둔각삼각형과 이등변삼각형의 교집합
4. 성질
- 밑변의 수직이등분선은 꼭지각의 이등분선이며, 이등변삼각형의 대칭축으로서, 길이가 같은 양 변이 만나는 꼭짓점과 만남
- 직각이등변삼각형은 모든 각이 항상 [math(90\degree)], [math(45\degree)], [math(45\degree)]이므로 모든 직각이등변삼각형은 [math(\rm AA)] 닮음
- 쌍대는 닮음 관계의 자기 자신
5. 평면도형과의 관계
5.1. 삼각형
- 이등변삼각형의 밑변의 수직이등분선을 그으면 두 개의 합동인 직각삼각형이 나온다.
- 정삼각형은 세 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형이다.[4]
- 모든 직각이등변삼각형은 세 각의 크기가 [math(90\degree)], [math(45\degree)], [math(45\degree)]로 같기 때문에 [math(\rm AA)] 닮음이다.
5.2. 사각형
- 직사각형에 대각선 2개를 그으면 넓이가 같은 이등변삼각형 4개가 생긴다.[5][6]
- 서로 합동인 이등변삼각형 2개를 밑변을 공유하도록 이어 붙이면 마름모가 된다.
- 서로 합동인 이등변삼각형 2개를 밑변이 아닌 변[7]을 공유하도록 엇갈리게 이어 붙이면[8] 평행사변형이 된다.
- 서로 합동인 이등변삼각형 3개를 밑변이 아닌 변[9]을 공유하도록 엇갈리게 이어 붙이면 등변사다리꼴이 만들어진다.
5.3. 육각형
5.4. 부채꼴
6. 입체도형과의 관계
6.1. 각뿔
6.2. 원뿔
- 이등변삼각형은 회전축을 따라서 원뿔을 세로로 자른 단면이다.
- 직각이등변삼각형의 한 변을 회전축[16]으로 하여 1회전시키면 원뿔이 된다.
- 원뿔을 앞에서 본 모양은 이등변삼각형이다.[17]
7. 둘레
이등변삼각형의 밑변의 길이를 [math(a)], 밑변이 아닌 변[18]의 길이를 [math(b)], 둘레의 길이를 [math(l)]이라 하면| [math(l=a+2b)] [19] |
8. 넓이
이등변삼각형의 밑변의 길이를 [math(a)], 밑변이 아닌 변[20]의 길이를 [math(b)], 높이를 [math(h)], 꼭지각의 크기를 [math(\theta)], 넓이를 [math(S)]라 하면| [math(S=\dfrac 12 ah=\dfrac 12 b^2 \sin \theta)] [21] |
[1] 중학교 1학년 2학기 부채꼴의 호의 길이에서도 많이 쓰인다.[2] 밑변이 아닌 변이다.[3] 사실상 꼭지각만 예각이여도 모든 각이 예각이 된다.[22][4] 이때 꼭지각과 밑각의 크기는 [math(60\degree)]로 같다.[5] 직사각형이 정사각형인 경우 넓이가 같은[23]인 직각이등변삼각형 4개로 분할된다.[6] 직사각형의 가로의 길이를 [math(a)], 세로의 길이를 [math(b)]라 하면 밑변의 길이가 [math(a)]인 이등변삼각형의 넓이는 [math(\dfrac 12 \cdot a \cdot \dfrac 12b=\dfrac 14ab)]이고, 밑변의 길이가 [math(b)]인 이등변삼각형의 넓이는 [math(\dfrac 12 \cdot b \cdot \dfrac 12a=\dfrac 14ab)]이므로 4개의 이등변삼각형의 넓이가 서로 같음을 알 수 있다.[7] 길이가 같은 두 변이다.[8] 밑변이 서로 평행하게 이어 붙인다.[9] 길이가 같은 두 변이다.[10] 만드는 방법은 위에 적혀있다.[11] 다만 부채꼴의 중심각의 크기 [math(\theta)]가 [math(180\degree \leq \theta \leq 360\degree)]인 경우 이등변삼각형이 선분이 되거나[24]부채꼴 외부에 생기기 때문에 예외이다.[12] 하지만 이등변삼각형의 밑변과 길이가 같은 현을 갖는 임의의 활꼴을 붙여놓는다고 부채꼴이 되지는 않는다.[13] 이때, [math(n)]의 범위는 [math(n \geq 3)]이다.[14] 이 정[math(n)]각뿔을 앞에서 본 모양도 이등변삼각형이다.[15] [math(n=3)]인 경우 밑면[25]까지 포함해서 [math((n+1))]개[26]의 이등변삼각형이 생긴다.[16] 이때, 회전축은 빗변이 아닌 변으로 한다.[17] 여기서 원뿔은 원의 중심으로부터 높이 [math(h)][27]만큼 떨어진 점이 원뿔의 꼭짓점인 경우의 원뿔을 말한다.[18] 길이가 같은 두 변이다.[19] 이등변삼각형이 정삼각형인 경우 [math(a=b)]이므로 둘레의 길이는 [math(3a)]이다.[20] 길이가 같은 두 변이다.[21] 이등변삼각형이 정삼각형인 경우 [math(a=b)]이므로 넓이는 [math(\dfrac {\sqrt{3}}4 a^2)] 또는 [math(\dfrac {\sqrt{3}}4 b^2)]이다.