최근 수정 시각 : 2019-02-22 11:19:28

사인 법칙

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1. 개요2. 증명
2.1. 원주각을 이용한 증명2.2. 외적을 이용한 증명
3. 활용4. 관련 항목

1. 개요

Sine law

한국의 수학 교육과정상 고등학교 때 배우게 되는 평면기하학의 공식 중 하나.

삼각형에서 변의 길이와 각의 크기를 알 때, 나머지 모르는 변의 길이와 각의 크기를 삼각함수를 이용해서 구할 수 있게 해준다. 자세한 내용은 아래와 같다.
[math(\triangle{\mathrm{ABC}})]의 세 각의 크기 [math(\angle A)], [math(\angle B)], [math(\angle C)], 세 변의 길이 [math(a)], [math(b)], [math(c)], 그리고, 외접원의 반지름 길이 [math(R)]에 대해

[math( \displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R )]

이 성립한다.

2. 증명

2.1. 원주각을 이용한 증명

[math(\triangle \mathrm{ABC})]의 외접원의 중심을 [math(\mathrm{O})]라 하고, [math(\overline{\mathrm{BO}})]의 연장선이 원과 만나는 점을 [math(\mathrm{A'})]라 하자. 그렇게 하면, [math(\overline{\mathrm{BA'}})]은 외접원의 지름이므로, [math(\overline{\mathrm{BA'}}=2R)]이 된다. 또한,
[math(\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=a\qquad \qquad \overline{\mathrm{AC}}=b \qquad \qquad \overline{\mathrm{AB}}=c)]
임을 참고하라.

(ⅰ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때

파일:사인법칙_증명_예각.png

위 그림에서 원주각의 성질에 따라
[math(\displaystyle \angle{A}=\angle{A'} )]
이고,
[math(\displaystyle \angle{\mathrm{BCA'}}=90^{\circ} )]
이다. 따라서
[math(\displaystyle \sin{A}=\sin{A'}=\frac{a}{2R} )]
이고 이것을 정리하면,
[math(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R )]
이 얻어진다.


(ⅱ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 둔각 삼각형일 때

파일:사인법칙_증명_둔각.png

위 그림에서 원주각의 성질에 따라
[math(\displaystyle \angle{A}=180^{\circ}-\angle{A'} )]
이고,
[math(\displaystyle \angle{\mathrm{A'BC}}=90^{\circ} )]
이다. 따라서
[math(\displaystyle \sin{A}=\sin{(180^{\circ}-A')}=\sin{A'}=\frac{a}{2R} )]
이고[1] 이것을 정리하면,
[math(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R )]
얻어진다.


(ⅲ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 직각 삼각형일 때

파일:사인법칙_증명_직각.png

위 그림에서 [math(\angle{A}=90^{\circ})]이다. 따라서
[math(\displaystyle \sin{A}=1 \qquad \qquad a=2R )]
이므로
[math(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R )]
이 성립한다.


위에서는 각 [math(\angle A)]에 대해서만 구했지만, 각 [math(\angle B)], [math(\angle C)]에 대해서도 동일한 방법을 거치면 각 각에 대해서도 얻어진다.

2.2. 외적을 이용한 증명

파일:사인법칙_증명_벡터외적.png

임의의 벡터에 대해 자기 자신과의 외적은 항상 0이다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{B} \times \mathbf{B}=\mathbf{0} )]
따라서 임의의 벡터에 대해 아래의 등식은 성립한다.
[math(\displaystyle (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B}=\mathbf{A \times B} )]
이때, 새로운 벡터 [math(\mathbf{C})]를 아래와 같이 정의해보자.
[math(\displaystyle \mathbf{C} \equiv \mathbf{A-B} )]
이제 벡터 [math(\mathbf{A})], [math(\mathbf{B})], [math(\mathbf{C})]는 서로 삼각형을 이루게 된다. 각각의 벡터의 대각을 각각 편의상 [math(A)], [math(B)], [math(C)]라 부르고, 각각의 벡터의 길이를 아래와 같이 부르자.
[math(\displaystyle \left| \mathbf{A} \right| \equiv a \qquad \qquad \left| \mathbf{B} \right| \equiv b\qquad \qquad \left| \mathbf{C} \right| \equiv c )]
이렇게 하면, 위에서 두 번째 식의 좌변은 아래와 같이 변형된다.
[math(\displaystyle \left| (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B} \right|=bc\sin{A} )]
우변은,
[math(\displaystyle \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right|=ab\sin{C} )]
위에서 다섯 번째 식과 위에서 여섯 번째 식은 이미 같음을 보였기 때문에 이를 잘 조합하면,
[math(\displaystyle \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{C}}{c} )]
같은 방법으로 나머지 부분에 대한 증명도 가능하지만, 충분히 유도 과정을 보였기 때문에 나머지 과정은 위키러들의 몫으로 남겨둔다.

이 방식은 좀 더 간결하지만, 외접원에 대한 정보를 제공하지 않는다는 단점이 있다.[2]

3. 활용

  • 각을 변으로 바꾸기
    [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{A} &=\frac{a}{2R} \\ \sin{B}&=\frac{b}{2R} \\ \sin{C}&=\frac{c}{2R} \end{aligned} )]
  • 변을 각으로 바꾸기
    [math(\displaystyle \begin{aligned} a&=2R\sin{A} \\ b&=2R\sin{B} \\ c&=2R\sin{C} \end{aligned} )]
  • 변의 비와 각의 비
    [math(\displaystyle a:b:c=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C} )]


그 외에도 삼각형에서 삼각함수의 등식을 증명하거나, 넓이를 찾을 때에는 위 세 가지 변형과 코사인 법칙을 잘 활용하면 쉽게 해결할 수 있다.

4. 관련 항목



[1] 내접 사각형의 대각의 합이 [math(180^{\circ})]인 것을 이용했다.[2] 다만, 위의 식에서 sinCc=12R \dfrac{\sin{C}}{c} = \dfrac{1}{2R}로 보고 외접원의 반지름 정도는 구할 수 있다.

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