랭글리 삼각형

평면기하학 Plane Geometry
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1. 개요2. 풀이

2.1. 평행선을 사용한 풀이2.2. 정삼각형을 사용한 풀이2.3. 원을 사용한 풀이

Langley's Adventitious Angles[1], 랭글리 三角形

1. 개요

랭글리 삼각형은 1922년 영국의 수학자 에드워드 맨 랭글리가 발표한 기하 퍼즐, 내지는 이 문제에서 나오는 삼각형을 일컫기도 한다. 퍼즐의 내용은 다음과 같다.

[math(\triangle\rm ABC)]는 [math(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm BCA}=80\degree)]인 이등변삼각형이다. [math(\angle{ABE}=20\degree,\ \angle{\rm ACF=30\degree})]가 되도록 두 점 [math(\rm E, F)]를 각각 [math(\overline{\rm CA},\ \overline{\rm AB})]위에 잡자. 이때, [math(\angle\rm BEF)]의 크기는 몇 도인가?

2. 풀이

랭글리 삼각형의 풀이는 굉장히 다양하며, 대표적인 풀이는 평행선을 이용하는 풀이, 정삼각형을 이용하는 풀이, 원을 이용하는 풀이 등이 있다.

2.1. 평행선을 사용한 풀이

점 [math(\rm E)]를 지나는 [math(\overline{\rm BC})]와의 평행선과 [math(\overline{\rm AB})]의 교점을 G라 하고, [math(\overline{\rm CG} \cap \overline{\rm AE}=\rm P)]라 하자.

[math(\overline{\rm BP}=\overline{\rm CP},\ \overline{\rm PG}=\overline{\rm PE},\ \angle{\rm PBC}=\angle{\rm PEG}=60\degree)]이므로 [math(\triangle\rm BPC,\ \triangle\rm GPE)]는 정삼각형, [math(\therefore \overline{\rm PB}=\overline{\rm BC})]

[math(\angle{\rm BFC}=50\degree=\angle{\rm BCF})]이므로 [math(\overline{\rm BF}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm PB})], 따라서 [math(\triangle\rm BPF)]는 이등변삼각형이 된다. [math(\angle{\rm FBP}=20\degree)]이니 [math(\angle{\rm BFP}=80\degree, \angle{\rm GFP}=100\degree,\ \angle{\rm BGC}=180\degree-(80\degree+60\degree)=40\degree)]이므로 [math(\triangle\rm FPG)]도 이등변삼각형이다.

[math(\square\rm GFPE)]에서 [math(\overline{\rm GF}=\overline{\rm PF},\ \overline{\rm GE}=\overline{\rm PE})]이므로 이 사각형은 연꼴.
[math(\therefore \overline{\rm FE})]는 [math(\angle{\rm GEP})]의 이등분선.

[math(\therefore \angle{\rm BEF}=\angle{\rm PEF}=\frac{1}{2} \angle{\rm GEP}=30\degree)]

2.2. 정삼각형을 사용한 풀이

2.3. 원을 사용한 풀이

[1] 직역시 랭글리의 우연한 각