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1. 개요
- Langley's Adventitious Angles
- 랭글리의 우연한 각, 랭글리 삼각형
랭글리 삼각형은 1925년 영국의 수학자 에드워드 맨 랭글리가 발표한 기하 퍼즐, 내지는 이 문제에서 나오는 삼각형을 일컫기도 한다. 퍼즐의 내용은 다음과 같다.
[math(\triangle\rm ABC)]는 [math(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm BCA}=80\degree)]인 이등변삼각형이다. [math(\angle{\rm ABE}=20\degree,\ \angle{\rm ACF=30\degree})]가 되도록 두 점 [math(\rm E, F)]를 각각 [math(\overline{\rm CA},\ \overline{\rm AB})]위에 잡자. 이때, [math(\angle\rm BEF)]의 각도는?
2. 풀이
점 [math(\rm E)]를 지나는 [math(\overline{\rm BC})]와의 평행선과 [math(\overline{\rm AB})]의 교점을 G라 하고, [math(\overline{\rm CG} \cap \overline{\rm BE}=\rm P)]라 하자.
[math(\overline{\rm BP}=\overline{\rm CP},\ \overline{\rm PG}=\overline{\rm PE},\ \angle{\rm PBC}=\angle{\rm PEG}=60\degree)]이므로 [math(\triangle\rm BPC,\ \triangle\rm GPE)]는 정삼각형, [math(\therefore \overline{\rm PB}=\overline{\rm BC})]
[math(\angle{\rm BFC}=50\degree=\angle{\rm BCF})]이므로 [math(\overline{\rm BF}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm PB})], 따라서 [math(\triangle\rm BPF)]는 이등변삼각형이 된다. [math(\angle{\rm FBP}=20\degree)]이니 [math(\angle{\rm BFP}=80\degree, \angle{\rm GFP}=100\degree,\ \angle{\rm BGC}=180\degree-(80\degree+60\degree)=40\degree)]이므로 [math(\triangle\rm FPG)]도 이등변삼각형이다.
[math(\square\rm GFPE)]에서 [math(\overline{\rm GF}=\overline{\rm PF},\ \overline{\rm GE}=\overline{\rm PE})]이므로 이 사각형은 연꼴.
[math(\therefore \overline{\rm FE})]는 [math(\angle{\rm GEP})]의 이등분선.
[math(\therefore \angle{\rm BEF}=\angle{\rm PEF}=\frac{1}{2} \angle{\rm GEP}=30\degree)]
3. 설명
답이 30으로 딱 깔끔히 맞아떨어지는 정수가 나오는 것은 단순한 우연에(adventitious) 불과하다.수를 바꾸는 걸로 다른 문제들을 만들 수 있고 그러한 문제들 역시 '랭글리의 우연한 각'으로 통칭되곤 한다. 앞서 말했듯 정수가 아닐 수 있고 아닐 확률이 매우 더 높다.
풀이는 위에 적힌 것말고도 다양하다.
얼핏 보면 중학교 과정의 기하학 문제로 보이지만 실제론 어려운 걸로 악명높다. the math teacher can't figure it out 2025년 7월 영상인데 수학 교사가 못 풀었고 레딧 댓글 작성자도 못 풀었다는 경험담을 볼 수 있다.