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1. 개요
楕圓 / ellipse기하학에 등장하는 도형의 일종으로, 수학적 정의는
| 평면 상의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 모든 점들의 집합 |
원뿔곡선 중 가장 간단한 형태로, 원을 잡아늘려서 만들 수도 있다.
유명한 알모양곡선(난형선, oval)의 하나이다.
2. 타원의 방정식
- 방정식: [math(\displaystyle {\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1} )]
- 그래프
- [math(a>b>0)]
- [math(b>a>0)]
- 조건: [math(\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP}=\textsf{const.})]
- 중심의 좌표: [math(\mathrm{C}(x_{0},\,y_{0}))]
- 초점의 좌표
- [math(a>b>0)]: [math(\mathrm{F}(\sqrt{a^{2}-b^{2}}+x_{0},\,y_{0}))], [math(\mathrm{F'}(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}+x_{0},\,y_{0}))]
- [math(b>a>0)]: [math(\mathrm{F}(x_{0},\,\sqrt{b^{2}-a^{2}}+y_{0}))], [math(\mathrm{F'}(x_{0},\,-\sqrt{b^{2}-a^{2}}+y_{0}))]
- 꼭짓점의 좌표
- [math(a>b>0)]: [math(\mathrm{A}(a+x_{0},\,y_{0}))], [math(\mathrm{A'}(-a+x_{0},\,y_{0}))]
- [math(b>a>0)]: [math(\mathrm{B}(x_{0},\,b+y_{0}))], [math(\mathrm{B'}(x_{0},\,-b+y_{0}))]
- 장축의 길이
- [math(a>b>0)]: [math(2a)]
- [math(b>a>0)]: [math(2b)]
- 단축의 길이
- [math(a>b>0)]: [math(2b)]
- [math(b>a>0)]: [math(2a)]
- 중심이 원점인 타원 [math(\boldsymbol{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1})] 위의 점 [math(\boldsymbol{(x_{1},\,y_{1})})] 위를 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
- 중심이 원점인 타원 [math(\boldsymbol{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1})]의 기울기 [math(\boldsymbol{m})]의 접선: [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )]
2.1. 유도
먼저 타원의 중심이 원점이고 두 초점(foci)[1]이 [math(x)]축 위에 있는, 가장 간단한 경우를 보자. 그림과 같이 두 초점이 [math(\mathrm{F}(c,\,0))], [math(\mathrm{F'}(-c,\,0))]이고, 꼭짓점(vertex[2], co-vertex[3])이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))], [math(\mathrm{B}(0,\,b))], [math(\mathrm{B'}(0,\,-b))]인 타원을 고려해보자. 타원의 정의에 따라 [math(\overline{\mathrm{F'P}}+\overline{\mathrm{FP}})]는 일정해야 하고, 타원 위의 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})] 위에 있다면, 그 길이는 [math(2a)]이어야 하므로,
[math(\displaystyle \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a )]
이것을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} )]
이고, 양변을 제곱하여 정리하면,
[math(\displaystyle cx+a^{2}=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} )]
다시 양변을 제곱하여 정리하면,
[math(\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2}))]
맨 처음 식에 점 [math(\mathrm{B})]를 대입하면,
[math(\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2} )]
이므로 이것을 이용하면, 아래의 타원 방정식이 나온다.
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
단, 다음을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle 0<b<a )]
만약, 중심이 원점이며, 초점이 [math(y)]축에 있고, [math(\mathrm{F}(0,\,c))], [math(\mathrm{F'}(0,\,-c))]이며, 타원의 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))], [math(\mathrm{B}(0,\,b))], [math(\mathrm{B'}(0,\,-b))]인 타원을 고려하면, 위와 같은 논법으로 타원의 방정식은 다음이 됨을 보일 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
단, 다음을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle 0<a<b \qquad \qquad a^{2}=b^{2}-c^{2})]
두 경우 모두 타원의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0}))]에 있다면, [math(x)]축으로 [math(x_{0})]만큼, [math(y)]축으로 [math(y_{0})]만큼 평행이동하면 되므로, 방정식은 아래와 같다.
[math(\displaystyle \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1 )]
이 경우, 초점과 각 꼭짓점 또한 평행 이동하게 됨에 유의해야 한다. 이와 같은 방정식 형태를 표준형이라 한다.
2.2. 일반형
타원의 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다.[math(\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 )]
이때, [math(A \sim E)]는 상수이며, 이 일반형을 표준형으로 바꾸면 방정식이 나타내는 타원을 알 수 있다.
2.3. 긴 반지름과 짧은 반지름
타원의 중심과 두 초점을 지나는 유일한 선분을 장축 (major axis)이라고 한다. 그럴 때, 이 긴 지름으로부터 중심까지의 절반이 되는 선분을 긴 반지름(semi-major axis)이라고 한다. 간단하게 말하자면 타원의 중심에서 타원까지의 가장 먼 거리라고도 할 수 있다.[4] 긴 반지름과는 반대로, 짧은 반지름(semi-minor axis)은 타원의 중심에서 타원까지 이르는 가장 짧은 길이의 선분을 의미한다.[5] 아래의 그림을 참조하자.2.4. 이심률
타원의 이심률(eccentricity)은 타원이 원에 비해 얼마나 찌그러졌는지를 수치화한 양으로 다음과 같이 정의되며, [math(k)]로 표기한다.[math(\displaystyle k=\sqrt{1-\frac{r_{\text{min}}^{2}}{r_{\text{max}}^{2} }}=\frac{r_{\text{focus}} }{ r_{\text{max}} })]
이때, [math(r_{\text{min}})], [math(r_{\text{max}})]는 각각 타원의 짧은 반지름의 길이, 긴 반지름의 길이를, [math(r_{\text{focus}})]는 중심으로부터 한 초점까지의 거리를 의미한다. 즉 타원의 이심률은 타원의 긴 반지름의 길이와 중심으로 부터 한 초점까지의 거리의 비이다.
타원의 이심률은 0과 1 사이의 값이며, [math(k \to 0)]일 때 타원은 원에 가까워지며, [math(k \to 1)]일 때 타원은 포물선 둘을 이어 붙인 모습에 가까워진다.
2.5. 양함수 형태
위에서 유도한 타원의 방정식은 음함수 형태인데, 이를 양함수 형태로 바꾸면 다음과 같다.[math(\displaystyle y=\pm \sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}(x-x_{0})^{2}}{a^{2} }}+y_{0} )]
즉, 한 타원은 한 양함수 식으로 표현하지 못하며, 다음과 같이 반반으로 나뉘어 표현된다.
타원은 그 개형상 하나의 [math(x)]값에 두 개의 [math(y)]값이 대응할 수 있기 때문에 양함수로 나타낼 수 없는 것이다.
2.6. 매개변수 방정식
위와 같이 원 [math(C_{1}\, : \, x^{2}+y^{2}=b^{2})]과 [math(C_{2}\, : \, x^{2}+y^{2}=a^{2})]을 고려하자.[6] 원점에서 그은 한 직선과 각 원이 만나는 점을 [math(\mathrm{Q,\,R})]라 하자. 이때, 점 [math(\mathrm{R})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하고, 점 [math(\mathrm{Q})]에서 선분 [math(\mathrm{RH})]에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{P})]라 하자. 이때, [math(\mathrm{\angle QOH \equiv \theta})]라 하면, 점 [math(\mathrm{P})]의 좌표는
[math(\displaystyle x=a\cos{\theta} \qquad \qquad y=b\sin{\theta} )]
이때, 점 [math(\mathrm{P})]의 자취는 위 그림처럼 타원을 나타내는데,
[math(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{x}{a} \qquad \qquad \sin{\theta}=\frac{y}{b} )]
이에 따라
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1 )]
로, 타원의 방정식이 된다. 따라서 타원의 [math(\mathrm{\angle QOH \equiv \theta})]에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle x=a\cos{\theta} \qquad \qquad y=b\sin{\theta} )]
각각의 좌표가 극좌표계에서 직교 좌표계로 변환했을 때 각각의 좌표의 표현법과 유사하기 때문에 혼동하기 쉬우나 사용한 매개변수인 각이 극좌표계의 각(angle) 변수(즉, 위 그림에서 [math(\angle \rm POH)].)와 동일한 것이라 생각하면 안 된다. 극좌표계에서 각각의 변수를 어떻게 정의했는지 생각해보면 왜 그런지 알 수 있다. 그렇기 때문에 극좌표계에서 다시 직교 좌표계로 변환했을 땐 이 문단의 결과가 나오지 않으므로 반드시 주의하여야 한다.(바로 아래 문단 참조)
2.7. 중심이 원점에 있는 타원의 극 좌표계에서의 표현
타원[math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 )]
을 극 좌표계에서 직교 좌표계로 변환한다면, [math((r,\,\theta) \to (x,\,y))]에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\theta} \\ y&=r\sin{\theta} \end{aligned} )]
로 나타낼 수 있을 것이다. 이때, 이 결과는 앞서 밝혔듯이 매개변수로 타원을 나타냈을 때와 계산 결과가 같지 않다. [math(r)]을 구하기 위해 타원의 정의식을 이용하자. 타원의 정의식에 각 좌표를 대입하면,
[math(\displaystyle \frac{r^2\cos^{2}{\theta}}{a^2}+\frac{r^2\sin^{2}{\theta}}{b^2}=1 )]
이것은 아래와 같이 두 가지 형태의 유용한 꼴로 고칠 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{r^{2}}{a^2} \left[ 1-\left( 1-\frac{a^2}{b^2} \right )\sin^{2}{\theta} \right ]&=1 \qquad &&(0<a<b) \\ \frac{r^{2}}{b^2} \left[ 1-\left( 1-\frac{b^2}{a^2} \right )\cos^{2}{\theta} \right ]&=1 \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} )]
타원의 이심률
[math(\displaystyle k=\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{a^2}{b^2}} \qquad &(0<a<b) \\ \\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}} \qquad &(0<b<a) \end{cases} )]
을 이용하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{r^{2}}{a^2} [ 1-k^{2}\sin^{2}{\theta} ]&=1 \qquad &&(0<a<b) \\ \frac{r^{2}}{b^2} [ 1-k^{2}\cos^{2}{\theta} ]&=1 \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} )]
따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned}\;r&=\frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \qquad &&(0<a<b) \\ r&=\frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} )]
이상의 결과를 타원
[math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 )]
에 대하여 정리하면 아래와 같다(각각에서 [math(k)]는 타원의 이심률이다).
- [math(\boldsymbol{0<a<b})]
- 극좌표계에서의 표현
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle (r,\,\theta)=\left( \frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }},\,\theta \right) )] }}} - 극좌표계에서 직교 좌표계로 변환
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle (x,\,y)=\left( \frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \cos{\theta},\,\frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \sin{\theta} \right) )] }}} - [math(\boldsymbol{0<b<a})]
- 극좌표계에서의 표현
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle (r,\,\theta)=\left( \frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }},\,\theta \right) )] }}} - 극좌표계에서 직교 좌표계로 변환
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle (x,\,y)=\left( \frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \cos{\theta},\,\frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \sin{\theta} \right) )] }}}
2.8. 원의 선형 변환에서의 유도
사실상 타원은 원을 [math(x)]축과 [math(y)]축으로 일정 배만큼 늘린 것이라고도 볼 수 있다. 이를테면, 좌표평면상 중심이 원점이고, 반지름이 1인 원의 방정식은[math(\displaystyle x^{2}+y^{2}=1 )]
이다. [math(x)]축 방향으로 [math(a(a \neq 0))]배, [math(y)]축 방향으로 [math(b(b \neq 0))]배한 선형 변환을 고려하면,
[math(\displaystyle \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a &0 \\ 0& b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \,\to\,\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{x'}{a}\\ \\y=\dfrac{y'}{b} \end{matrix}\right. )]
이고, 이를 원의 방정식에 넣으면 곧 중심이 원점이고 꼭짓점이 [math((\pm a,\,0))], [math(( 0,\,\pm b))]인 타원의 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
즉, 타원은 곧 원의 선형 변환이다.
3. 타원의 넓이와 둘레
3.1. 넓이
위에서 타원을 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식으로 다음과 같이 나타낼 수 있음을 논의했다.[math(\displaystyle \left.\begin{matrix} x=a\cos{\theta} \\ y=b\sin{\theta} \end{matrix}\right\} \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) )]
따라서 타원의 넓이에 대한 면적소 [math(dA=y\,dx)]를
[math(A = \displaystyle \int y\,dx )]
로 나타낼 수 있다. 그런데 중심이 원점인 타원을 고려하고 있고, [math(x)]축을 기준으로 위 영역과 아래 영역은 서로 합동이므로 한 영역의 넓이만을 구한 뒤 두 배 처리하여 구할 수 있다. 이때,
[math(\displaystyle y\,dx=-ab \sin^{2}{\theta} \,d\theta)]
이고, [math(x)]축을 기준으로 위 영역만 고려한다면, 적분 영역은 [math(-a \leq x \leq a)]에서 [math(\pi \leq \theta \leq 0)]으로 바뀌므로 구하는 타원의 넓이는 다음과 같다.
[math(\displaystyle 2ab\int_{0}^{\pi} \sin^{2}{\theta} \, d\theta=ab \pi )]
3.2. 둘레
위에서 타원을 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식으로 다음과 같이 나타낼 수 있음을 논의했다.[math(\displaystyle \left.\begin{matrix} x=a\cos{\theta} \\ y=b\sin{\theta} \end{matrix}\right\} \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) )]
타원의 둘레는 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2} }\,d\theta )]
타원의 대칭성을 이용하면,
[math(\displaystyle 4 \int_{0} ^{\pi/2} \sqrt{ a^{2} \sin^{2}{\theta} +b^{2} \cos^{2}{\theta} }\,d\theta )]
로 구할 수 있고, 이것을 다시 쓰면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 4a\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta}}\,d\theta
\qquad & (0<b<a) \\ \\ \displaystyle 4b\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,d\theta
\qquad & (0<a<b) \end{cases} )]
\qquad & (0<a<b) \end{cases} )]
[math(k)]는 이심률이다. 위의 적분은 초등함수로 표현할 수 없는데, 위와 같은 적분 형태를 제2종 타원 적분(elliptic integral)이라 한다. 기호로는 [math(E(k))]로 나타내어,
[math(\displaystyle E(k) \equiv \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,d \theta )]
로 쓰고, 이를 사용하면 타원의 둘레는
[math(\displaystyle 4r_{\text{max}} E(k) )]
로 쓸 수 있다.[7] [math(r_{\text{max}})]는 타원의 긴 반지름이다.
3.2.1. 타원 적분
4. 타원과 직선
4.1. 위치 관계
|
판별식의 부호에 따라 포물선과 직선의 위치 관계가 달라진다.
- [math(\boldsymbol{D>0})]: 타원과 직선은 두 점에서 만난다.
- [math(\boldsymbol{D=0})]: 타원과 직선은 접한다.(즉, 타원과 직선은 한 점에서 만난다.)
- [math(\boldsymbol{D<0})]: 타원과 직선은 만나지 않는다.
4.2. 타원의 접선
4.2.1. 타원 위의 점을 지나는 접선의 방정식
문제 상황을 쉽게 하기 위해 우선은 타원의 중심이 원점인 경우를 먼저 다루자. 타원 위의 접선의 기울기는 음함수의 미분법을 이용하여 구할 수 있다.[math(\displaystyle \frac{2x}{a^{2}} +\frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx}=0 \, \to \, \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x}{y} )]
타원 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 고려하면, 이 점 위의 접선의 기울기는
[math(\displaystyle -\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{1}}{y_{1}} )]
따라서 이 점을 지나는 접선의 방정식은
[math(\displaystyle y-y_{1}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{1}}{y_{1}}(x-x_{1}) )]
이므로 이것을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}= \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} )]
이고, 우변은 타원 위의 점이므로
[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1)]
이다. 만약 타원의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0}))]이라면, 평행이동을 이용하면 되므로 평행이동을 한 뒤의 타원 위의 점 [math((x_{2},\,y_{2}))] 위의 접선의 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{(x-x_{0})(x_{2}-x_{0})}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})(y_{2}-y_{0})}{b^{2}}=1)]
4.2.2. 특정한 기울기의 접선의 방정식
구하는 접선을 [math(y=mx+n)] ([math(m,\, n)]은 상수)으로 놓자. 이것을 타원의 식에 대입하고 적절히 정리하면 다음과 같다.[math(\displaystyle (a^{2}m^{2}+b^{2})x^{2}+2a^{2}mnx+a^{2}(n^{2}-b^{2})=0 )]
위 이차방정식이 중근을 가지면, 직선과 타원은 접한다. 즉, 판별식이 0이어야 하므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle n=\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}})]
이상에서 구하는 접선의 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle y=mx\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}})]
만약, 타원의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0}))]이라면, 평행 이동을 이용해서
[math(\displaystyle y=m(x-x_{0})\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}+y_{0})]
임을 쉽게 증명할 수 있다.
5. 기타 성질
5.1. 성질 1
위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\, (a>b>0))]와 두 초점 [math(\rm F')], [math(\rm F)]가 있고, 임의의 외부의 점 [math(\rm A)]와 임의의 내부의 점 [math(\rm B)]를 고려하자. 이때, [math(\overline{\rm F'B})]의 연장선상 혹은 [math(\overline{\rm F'A})]에는 타원 위의 점 [math(\rm P)]가 있다. 단, 그림에서는 두 경우에 대하여 [math(\rm P)]가 같은 것으로 묘사돼 있지만 일반적으로는 다르다.
[1] [math(\overline{\rm \bf F'A}+\overline{\rm \bf FA})]
[math(\displaystyle \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}=\overline{\rm F'P}+\overline{\rm PA}+\overline{\rm AF} )]
로 쓸 수 있다. 한편, 삼각형 [math(\rm PFA)]에서 삼각형의 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이보다 작아야 하므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm FP}<\overline{\rm PA}+\overline{\rm FA} )]
그런데 [math(\overline{\rm F'P}+\overline{\rm PA}+\overline{\rm AF}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP})]이고, 이에 따라
[math(\displaystyle \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP}=2a)]
한편, 타원의 정의에 따라 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합은 [math(2a)]로 일정하다. 따라서 이 결과는 다음으로 요약할 수 있다.
| 타원의 두 초점과 타원 외부의 점까지의 각각의 거리의 합은 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합보다 크다. |
[2] [math(\overline{\rm \bf F'B}+\overline{\rm \bf FB})]
[math(\displaystyle \overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB}=\overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm BF} )]
로 쓸 수 있다. 한편, 삼각형 [math(\rm PFB)]에서 삼각형의 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이보다 작아야 하므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm BF}<\overline{\rm PB}+\overline{\rm FP} )]
그런데
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm BF}&<\overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm PB}+\overline{\rm FP} \\ &=\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} \end{aligned} )]
이에따라
[math(\displaystyle\overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}<\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP}=2a)]
한편, 타원의 정의에 따라 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합은 [math(2a)]로 일정하다. 따라서 이 결과는 다음으로 요약할 수 있다.
| 타원의 두 초점과 타원 내부의 점까지의 각각의 거리의 합은 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합보다 작다. |
이 문단에서는 특정한 타원의 경우에만 증명했지만 일반적인 타원에서도 성립한다. 위 결과를 요약하면 식으로
[math(\displaystyle \overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB}<2r_{\text{max}}<\overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA} )]
로 쓸 수 있다. [math(r_{\text{max}})]는 타원의 긴반지름이다.
5.2. 성질 2
위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\,(a>b>0))]와 두 초점 [math(\rm F')], [math(\rm F)]가 있고, 해당 타원의 한 접선 [math(l)]이 있다고 하자. 이때, [math(\rm F')], [math(\rm F)]에서 [math(l)]에 내린 수선의 발을 각각 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 할 때, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}=b^{2})]
우선 접선 [math(l)]의 방정식은 기울기 [math(m)]일 때, [math(y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})]이고, [math(\overline{\rm F'A})], [math(\overline{\rm FB})]는 각각 [math(\rm F')], [math(\rm F)]에서 [math(l)]까지의 거리와 같다. 이에 [math({\rm F'}(-\sqrt{a^2-b^2},\,0))], [math({\rm F}(\sqrt{a^2-b^2},\,0))]이므로 직선 문서에서 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 참조하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'A}&=\frac{| -m\sqrt{a^2-b^2} \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} |}{\sqrt{m^2+1}} \\ \overline{\rm FB}&=\frac{| m\sqrt{a^2-b^2} \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} |}{\sqrt{m^2+1}} \\ \\ \therefore \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}&=\frac{| a^2 m^2+b^2-m^2(a^2-b^2) |}{m^2+1} \\&=\frac{|b^2||m^2+1|}{m^2+1}=b^2 \end{aligned})]
이 문단은 특정한 타원에 대해서 증명을 했지만 일반적으로
[math(\displaystyle \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}=r_{\min}^{2})]
이 성립한다. 여기서 [math(r_{\min})]은 타원의 짧은 반지름이다.
5.2.1. 부가 성질
위에서 증명한 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]는 위의 그림과 같이 한 원 [math(x^2+y^2=a^2)] 위에 있는데 더 일반적으로 말하면, 아래와 같이 정리된다.
| 한 초점에서 접선에 내린 수선의 발의 자취는 타원의 장축을 지름으로, 타원의 중심을 중심으로 하는 원이다. |
이것을 증명하기 위해 한 초점에서 내린 수선의 발을 [math({\rm C}(X,\,Y))]라 하자. 우선 점 [math({\rm C}(X,\,Y))]는 타원의 한 접선 [math(y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})] 위의 점이므로
[math(\displaystyle Y=mX \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \quad \to \quad Y-mX= \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )]
이고, 양변을 제곱하면,
[math(\displaystyle Y^{2}-2mXY+m^2 X^2=a^2 m^2+b^2)]
한편, 직선 [math(\rm FH)] (혹은 [math(\rm F'H)])의 직선의 방정식은 접선과 수직이므로 기울기는 [math(-m^{-1})]이고, [math(x)]절편의 절댓값은 타원의 초점 길이와 같으므로
[math(\displaystyle y=-\frac{x}{m} \pm \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{m} )]
[math({\rm C}(X,\,Y))]는 이 직선 위의 점이기도 하므로
[math(\displaystyle Y=-\frac{X}{m} \pm \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{m} \quad \to \quad mY+X= \pm \sqrt{ a^2 -m^2 } )]
이고, 양변을 제곱하면,
[math(\displaystyle m^2 Y^2+2mXY+X^2=a^2 - b^2 )]
위의 두 과정에서 나온 결과를 더하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} (m^2+1) Y^2+(m^2+1)X^2&=(m^2+1)a^2 \\ X^2+Y^2&=a^2 \end{aligned} )]
이때, [math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 중심이 원점이고 반지름이 타원의 장축의 길이인 [math(2a)]인 원이므로 맨 위의 결과가 나오게 된다.
5.3. 성질 3
위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]에 외부의 점 [math(\rm P)]로부터 접선을 그었을 때, 두 접선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]가 점 [math(\rm P)]에서 직교한다면, 점 [math(\rm P)]의 자취는 원 [math(x^2+y^2=a^2+b^2)]이다. 더욱 일반적으로 말하면 아래와 같이 정리할 수 있다.
| 타원 외부의 점에서 두 접선을 그었을 때, 두 접선이 직교하는 점의 자취는 원이다. |
이것의 증명은 우선 접선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]의 방정식을 결정하는 것부터 시작된다. [math(l_{1})]의 기울기를 [math(m)]이라 놓으면,
[math(\displaystyle l_{1}:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )]
그런데 [math(l_{1})], [math(l_{2})]는 직교하므로 [math(l_{2})]의 기울기는 [math(-m^{-1})]이다. 즉,
[math(\displaystyle l_{2}:\, y=-\frac{x}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} )]
으로 쓸 수 있다. 한편, [math({\rm P}(X,\,Y))]라 놓으면 각각은 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y&=mX \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,Y&=-\frac{X}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} \end{aligned} )]
이때 식을 변형하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y-mX&= \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,mY+X&= \pm \sqrt{a^2+b^2 m^2} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 각각의 양변을 제곱하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y^2-2mXY+m^2X^2&= a^2 m^2+b^2 \\ l_{2}:\,m^2 Y^2+2mXY+X^2&= {a^2+b^2 m^2} \end{aligned} )]
각각을 더하고 정리함으로써
[math(\displaystyle \begin{aligned}
X^2+Y^2&=a^2+b^2 \end{aligned} )]
이 나오게 된다. [math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 제곱이 [math(a^2+b^2)]인 원이므로 맨 위의 결과가 나오게 된다.
5.4. 성질 4
위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]을 고려하고, 타원 위의 한 점 [math(\rm P)]를 지나는 접선 [math(l)]과 원점을 통과하며, [math(l)]과 평행한 직선과 타원과의 두 교점을 각각 [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))]라 하자. 이때, [math(\triangle \rm PAB)]는 일정하다.
이것의 증명은 [math(l)]의 기울기를 [math(m)]이라 놓으면, [math(l:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})]이고, 직선 [math(\rm AB)]의 방정식은 [math(y=mx)]로 놓을 수 있다. 해당 직선과 타원의 방정식을 연립하면
[math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2 x^2}{b^2}=1 \quad \to \quad \frac{m^2 a^2+b^2}{a^2 b^2}x^2-1=0 )]
따라서 이 방정식의 해는 [math(x_{1})] 혹은 [math(x_{2})]인데 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 [math(x_{1}+x_{2}=0)], 두 근의 곱은
[math(\displaystyle x_{1}x_{2}=-\frac{a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} )]
이므로 [math((x_{1}-x_{2})^2=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2})]에서
[math(\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{4a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} )]
이다. 이때, [math(y_{1}=mx_{1})], [math(y_{2}=mx_{2})]에서
[math(\displaystyle (y_{1}-y_{2})^{2}=m^2(x_{1}-x_{2})^2 )]
따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned}\overline{\rm AB}&=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} \\&=\frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \end{aligned} )]
을 얻을 수 있고, 삼각형 [math(\rm PAB)]의 높이는 원점에서 접선 [math(l)]까지의 거리이므로 다음과 같이 일정하다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \end{aligned} )]
따라서 아래의 결과를 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}\triangle \rm PAB &=\frac{1}{2} \cdot \frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \cdot \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \\&=ab \end{aligned} )]
이 문단에서는 특정한 타원을 예로 들었지만 이는 일반적인 타원에서 성립한다.
복잡하게 계산했지만 타원이 원의 선형변환인 것을 생각한다면 매우 당연한 성질이다.
5.4.1. 부가 성질
타원이 하나 주어져 있고, 두 초점 [math(\rm F)], [math(\rm F')]과 타원 위의 임의의 점 [math(\rm P)]에 대하여 삼각형 [math(\rm PF'F)]가 직각삼각형이라면 그 넓이는 짧은 반지름의 제곱의 값으로 일정하다.이것의 예로 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]을 고려하여 증명하여 보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm FF'}&=2c \\ \overline{\rm FP}&=t \\ \overline{\rm F'P}&=s \end{aligned} )]
라 놓으면 타원의 성질에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} t+s=2a \end{aligned} )]
삼각형 [math(\rm PF'F)]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여
[math(t^2+s^2=4c^2)]
이에
[math(\displaystyle \begin{aligned} 2ts&=(t+s)^2-(t^2+s^2) \\ &=4(a^2-c^2) \\ &=4b^2 \end{aligned} )]
한편 다음과 같이 일정하다.
[math(\displaystyle\triangle{\rm PF'F}=\frac{1}{2}ts=b^2)]
5.5. 성질 5: 타원의 광학적 성질
광학에서 빛은 반사한 표면에 대하여 입사각과 반사각이 같게 반사된다. 이러한 광학적 성질이 타원에선 어떻게 적용되는지 알아보자.위 그림과 같이 초점이 각각 [math(\rm F)], [math(\rm F')]인 타원 위의 임의의 점 [math(\rm P)]에서의 접선 [math(l)]을 고려해보자. 만약 광선을 [math(\rm F \to \rm P)]로 방사하여 [math(\rm F')]에 도달했다고 하자. 이때, 빛이 이 경로로 따름을 증명하려면 [math(\angle \rm FPT=\angle \rm F'PQ)]임을 증명하면 된다.[8]
점 [math(\rm P)]가 아닌 접선 위의 임의의 점 [math(\rm Q)]를 고려해보자. [math(\rm Q)]가 [math(\rm P)]가 아니기 때문에 [math(\rm Q)]는 항상 타원의 외부에 위치한다. 따라서 성질 1에서 증명했던 바와 같이 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm F'Q}+\overline{\rm FQ}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} )]
따라서 접선 위의 임의의 점 [math(\rm R)]을 고려하면
[math(\displaystyle \overline{\rm F'R}+\overline{\rm FR} \geq \overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} )]
를 만족시킨다. 따라서 이 조건을 만족시키려면, 점 [math(\rm F)]를 [math(l)]에 대해 대칭시킨 점 [math(\rm G)]와 [math(\rm P)], [math(\rm F')]은 한 직선 상에 있어야 한다.
한편, 삼각형 [math(\rm GPF)]는 [math(\overline{\rm PG}=\overline{\rm PF})]인 이등변삼각형이고, 점 [math(\rm T)]는 [math(\overline{\rm GF})]의 수직이등분점이므로
[math(\displaystyle \angle{\rm GPT}=\angle{\rm FPT} )]
이고, 맞꼭지각으로
[math(\displaystyle \angle \rm FPT=\angle \rm F'PQ)]
가 성립한다. 따라서 광선은 [math(\rm F \to \rm P \to \rm F')]에 도달한다. 이 결과는 아래와 같이 정리할 수 있다.
| 타원 내부의 한 초점에서 방사된 빛은 다른 초점에서 모인다. |
타원 당구대와 같이, 기구 제작에 이러한 성질을 이용하고 있다.
5.6. 성질 6
위 그림과 같이 중심이 [math(\rm O)]인 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\, (a>b>0))] 위의 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]를 지나는 직선 [math(l)]을 고려하자. 이때, 평행한 [math(l)]들에 대하여 그 교점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 중점의 자취는 타원의 원점을 지나는 직선 위에 위치하게 된다. 더욱 일반적으로 아래와 같이 정리할 수 있다.
| 타원의 두 점을 지나는 평행한 직선들에 대하여 그 교점의 중점의 자취는 타원의 원점을 지나는 직선이다. |
이것의 증명은 [math(l:\, px+q)]이라 놓는 것부터 시작된다. [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))]라 두자. 이때, 직선 [math(l)]과 타원의 방정식을 연립함으로써 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2}+\frac{(px+q)^2}{b^2}&=1 \\ b^2 x^2+a^2 (px+q)^2-a^ 2b^2 &=0 \\ (a^2 p^2 +b^2)x^2+2a^2 pqx+a^2 q^2+a^2 b^2&=0 \end{aligned} )]
이것의 해는 [math(x_{1})]과 [math(x_{2})] 중 하나이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} x_{1}+x_{2}=-\frac{2a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \end{aligned} )]
만약 [math({\rm M}(X,\,Y))]라 놓으면
[math(\displaystyle \begin{aligned} X&=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\&=-\frac{a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \\ Y&=p \left( \frac{x_1+x_2}{2} \right)+q \\&=-\frac{a^2 p^2 q}{a^2 p^2 +b^2}+q \\&=\frac{-a^2 p^2 q+q(a^2 p^2 +b^2)}{a^2 p^2 +b^2} \\&=\frac{qb^2}{a^2 p^2 +b^2} \end{aligned} )]
위 결과를 사용하면 [math(X)]와 [math(Y)]의 관계식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle Y=-\frac{b^2}{a^2 p}X)]
[math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 원점(타원의 중심)을 지나는 직선이므로 해당 내용이 증명되었다.
위의 성질들을 이용하여 임의의 타원의 중심을 쉽게 찾을 수 있다. 다음의 단계를 따른다.
- 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 [math(a)], [math(b)]를 그린다.
- 직선 [math(a)]와 타원의 교점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 중점 [math(\rm M)]을 찾는다.
- 직선 [math(b)]와 타원의 교점 [math(\rm C)], [math(\rm D)]의 중점 [math(\rm N)]을 찾는다.
- 직선 [math(\rm MN)]을 그린다.
- 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 [math(c)], [math(d)]를 그린다. 단, 1에서 그린 직선의 기울기와는 다른 직선을 사용한다.
- 직선 [math(c)]와 타원의 교점 [math(\rm D)], [math(\rm E)]의 중점 [math(\rm P)]을 찾는다.
- 직선 [math(d)]와 타원의 교점 [math(\rm F)], [math(\rm G)]의 중점 [math(\rm Q)]를 찾는다.
- 직선 [math(\rm PQ)]를 그린다.
- 두 직선 [math(\rm MN)], [math(\rm PQ)]의 교점 [math(\rm O)]가 타원의 중심이 된다.
5.7. 성질 7
타원의 중심, 단축, 장축으로 초점을 찾아 보자. 타원의 중심에 타원의 긴 반지름을 반지름으로 하는 원을 그린 후 그 원의 중심을 짧은 지름상의 꼭짓점으로 옮기면 장축과 해당 원이 만나는 두 교점이 타원의 초점이 된다.계산의 단순화를 위해 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\,(a>b>0))]로 계산해 보자.
위 그림과 같이 짧은 지름상에 있는 한 꼭짓점 [math(\rm P)]에 대해 타원의 성질에 의하여
[math(\displaystyle \overline{\rm F'P}+\overline{\rm PF}=2a )]
이고, 두 삼각형 [math(\rm POF)], [math(\rm POF')]에서 [math(\overline{\rm OP})]는 공통, [math(\rm O)]는 타원의 중심이므로 [math(\overline{\rm OF'}=\overline{\rm OF})]이고, [math(\angle{\rm POF}=\angle{\rm POF'})]이므로 두 삼각형은 합동이므로 [math(\displaystyle \overline{\rm F'P}=\overline{\rm PF} )]이다. 따라서
[math(\displaystyle \overline{\rm F'P}=\overline{\rm PF}=a )]
임을 얻는다. 따라서 두 초점은 중심이 [math(\rm P)]이고, 반지름이 [math(a)]인 원 위에 있다. 또, 타원의 초점은 장축 위에 있으므로 곧 해당 원과 장축의 교점이 두 초점이 된다.
6. 중심력장과 타원
중력장, 전자기장 등의 역제곱법칙을 만족하는 중심력장 하에서 중심력장에 속박된 물체는 외부의 힘을 받지 않을 경우 타원 운동을 한다. 행성과 항성들은 이러한 타원 궤도 위에서 케플러 법칙을 따라가며 움직인다.7. 어원
- 한자어
본래는 橢圓(타원)[9]이며 楕(타)는 橢(타)의 약자이다. 楕(타)와 橢(타)에는 '둥글 길쭉하다'라는 의미가 있다. 타원이라는 용어는 자코모 로(Giacomo Rho, 나아각羅雅各, 1598~1638)의 「측량전의測量全義」(1631년)에 처음 등장한다.#
- 영문
8. 관련 문서
[1] 타원은 초점이 2개이므로 focus의 복수형인 foci를 쓴다.[2] 긴 지름 위에 있는 꼭짓점[3] 짧은 지름 위에 있는 꼭짓점[4] 일부에서는 긴 지름을 장축, 긴 반지름을 장반경이라고 하기도 한다.[5] 일부에서는 짧은 지름을 단축, 짧은 반지름을 단반경이라고 하기도 한다.[6] [math(a>b>0)]인 경우를 다루고 있지만, 그 반대의 경우도 성립한다.[7] 두 경우 모두 같은 형태를 얻는다. 이는 타원 적분의 정의식을 활용하여 증명할 수 있다.[8] 다만 해당 각들이 각각 입사각, 반사각은 아님에 주의하여야 한다. 입사각과 반사각은 접선과 수직이면서 접점과 수직인 직선과 광선과의 각도를 측정함으로써 결정할 수 있다.[9] 원래는 수나라의 국명에 쓰였던 隋에 길쭉하다는 의미도 있었는데 여기에 木을 붙여서 의미를 분화시킨 것이다.