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1. 개요
parallelogram ・ 平行四邊形두 쌍의 대변이 평행한 사각형.
볼록다각형의 한 종류이다.
2. 상세
[math(\Box\rm ABCD)]는 두 쌍의 대변이 평행하므로 평행사변형이다.
평행사변형에서 평행한 두 변을 밑변, 두 밑변 사이의 거리를 높이라 한다.
또한, 평행사변형의 한 꼭짓점에서 이웃하지 않은 한 점까지 이은 선분을 대각선이라 한다.
3. 성질
[math(\Box\rm ABCD)]는 평행사변형이다. 기본적인 성질은 다음과 같다.
| 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. |
이때, 정의에 의해 엇각 관계의 각은 모두 동일하다. 이로써 다음의 성질을 얻는다.
| 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다. |
| 이웃한 두 각의 크기의 합은 [math(\bm{180\degree})]이다. |
이제 [math(\triangle\rm ABD)]와 [math(\triangle\rm DBC)]를 보자. 두 삼각형은 [math(\overline{\rm BD})]가 공통이므로 [math(\rm ASA)]합동이다. 즉,
| [math(\begin{aligned}\overline{\rm AB}&=\overline{\rm CD}\\ \overline{\rm AD}&=\overline{\rm BC}\end{aligned})] |
| 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다. |
이번엔 [math(\triangle\rm APB)]와 [math(\triangle\rm PCD)]를 보자. [math(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD} )]이고, 각의 관계를 살펴보면 두 삼각형은 [math(\rm ASA)]합동이다. 즉, 다음을 얻는다.
| [math(\begin{aligned}\overline{\rm AP}&=\overline{\rm CP}\\ \overline{\rm BP}&=\overline{\rm DP}\end{aligned})] |
| 한 대각선이 서로를 이등분한다. |
3.1. 기타 성질
- 마름모도 직사각형도 아닌 평행사변형의 경우 두 대각선이 수직이 아니고, 두 대각선의 길이도 다르며, 내접원과 외접원이 모두 존재하지 않음.[1]
- 두 대각선의 교점에 대하여 대칭.
- 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음.
- 쌍대는 닮음 관계의 자기 자신.
4. 평행사변형이 되기 위한 조건
일반적인 사각형이 평행사변형이 된다는 것을 증명하려면 다음의 다섯 조건 중 한 가지 조건이 만족함을 보이면 된다.- 두 쌍의 대변이 각각 평행
- 두 쌍의 대변의 길이가 각각 동일
- 두 쌍의 대각의 크기가 각각 동일
- 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분
- 한 쌍의 대변이 평행하고, 길이 동일
이 조건들은 대부분 엇각의 크기가 같으면 두 변은 평행하다는 것과 삼각형의 합동으로 증명이 가능하다.
5. 둘레
평행사변형의 성질을 상기하면, 한 쌍의 대변의 길이는 같다. 따라서 이웃한 두 변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)]라 하면, 그 둘레는| [math(\displaystyle \begin{aligned} l=2(a+b) \end{aligned})] |
6. 넓이
위 그림과 같이 평행사변형의 넓이를 구할 땐, 적절히 조작하여 직사각형의 넓이로 등가교환가능하다.
따라서 밑변의 길이를 [math(a)], 높이를 [math(h)]라 하면, 그 넓이는
| [math(S=ah)] |
높이를 모르며, 이웃한 두 변의 길이 [math(a)], [math(b)]와 두 변이 이루는 각 [math(\theta)]를 알 경우 그 넓이는
| [math(S=ab\sin\theta)] |
위 그림과 같이 대각선 [math(\overline{\rm AC})]와 대각선 [math(\overline{\rm BD})]의 길이를 각각 [math(s)], [math(t)]라 하자. 또 두 대각선이 이루는 각 중 예각의 크기를 [math(\phi)]라 하자.
이때, 다음이 성립한다.
| [math(\begin{aligned}S&=2(\triangle\rm CPD+\triangle APD)\\&=2\biggl[\dfrac12\dfrac{st}4\sin\phi+\dfrac12\dfrac{st}4\sin{(180\degree-\phi)}\biggr]\\&=2\times\dfrac{st}4\sin\phi\\&=\dfrac12st\sin\phi\end{aligned})] |
6.1. 넓이와 관련된 성질
삼각형의 한 꼭짓점과 그 꼭짓점에 대응하는 밑변의 중점에 이은 선분은 해당 삼각형의 넓이를 이등분한다.
따라서 평행사변형의 성질을 추가하면, 결국 두 대각선으로 분할된 네 사각형의 각각의 넓이는 같다.
6.2. 두 벡터와 넓이
두 벡터 [math(\bf{A})], [math(\bf{B})]가 생성하는 평행사변형의 넓이는 벡터곱의 크기와 같다. 즉,| [math(\displaystyle \begin{aligned} S=|\mathbf{A} \boldsymbol{\times} {\mathbf{B}}| \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} S^2=A^2 B^2-(\mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} )^{2} \end{aligned})] |
7. 사각형의 중점을 연결한 사각형
[math(\Box\rm ABCD)]는 임의의 사각형이다. 이때, 각 변의 중점을 각각 [math(\rm M)], [math(\rm N)], [math(\rm O)], [math(\rm P)]라 하자.
이때, [math(\Box\rm MNOP)]는 어떤 사각형일까?
중점연결정리를 사용하면,
| [math(\begin{aligned}\overline{\rm MP}=\overline{\rm NO}=\dfrac12\overline{\rm AC}\end{aligned})] |
따라서 주어진 사각형은 한 쌍의 변의 길이가 같고, 평행하므로 평행사변형이다.
즉, 어떤 사각형의 각 중점을 연결해 만든 사각형은 평행사변형이다.[주의]
8. 다른 사각형과의 관계
| 평행사변형이 다음 조건 중 하나를 추가적으로 만족시키면, 그 사각형은 마름모이다. |
- 이웃한 두 변의 길이가 같음
- 한 대각선이 다른 대각선과 직교
| 평행사변형이 다음 조건 중 하나를 추가적으로 만족시키면, 그 사각형은 직사각형이다. |
- 한 내각이 직각
- 두 대각선의 길이가 같음
| 평행사변형이 다음 조건 중 하나를 추가적으로 만족시키면, 그 사각형은 정사각형이다. |
- 한 내각이 직각이며 이웃한 두 변의 길이가 같음
- 한 내각이 직각이며 한 대각선이 다른 대각선과 직교
- 두 대각선의 길이가 같고, 직교하는 경우
- 이웃한 두 변의 길이가 같고, 두 대각선의 길이가 같음
| 이 경우에는 결국 마름모가 될 조건과 직사각형이 될 조건을 조합한 것으로 볼 수 있다. |
9. 기타
- 초등학교 4학년 2학기 때 마름모, 사다리꼴과 같이 배우며 중학교 2학년 2학기가 되면 직사각형, 정사각형, 등변사다리꼴과 같이 엮여져 나온다. 이등변삼각형, 외심, 내심과 같이 섞어서 문제로도 많이 나온다.
- 네 변으로 둘러싸인 다각형은 보통 사변형으로 부르지 않고 사각형으로 부르는데, 특이하게도 '평행사각형'보다 '평행사변형'이라는 말을 훨씬 많이 쓴다. 초ㆍ중ㆍ고 교육과정에서도 '평행사변형'이라는 명칭을 채택하고 있다. 그 이유는 평행한 것이 각이 아니라 변이기 때문이라고 한다.
- 두 평면벡터의 합은 좌표평면상에서 두 벡터가 이루는 평행사변형의 꼭짓점으로 표현된다.