| 평면기하학 Plane Geometry | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#765432> 공통 | 도형 · 직선 (반직선 · 선분 · 평행) · 각 (맞꼭지각 · 동위각 · 엇각 · 삼각비) · 길이 · 넓이 · 다각형 (정다각형 · 대각선) · 작도 · 합동 · 닮음 · 등적변형 · 삼각함수 (덧셈정리) · 접선 · 벡터 | |
| 삼각형 | 종류 | 정삼각형 · 이등변삼각형 · 부등변삼각형 · 예각삼각형 · 직각삼각형 · 둔각삼각형 | |
| 성질 | 오심 (관련 정리 · 구점원) · 피타고라스 정리 · 사인 법칙 · 코사인 법칙 · 헤론의 공식 · 신발끈 공식 · 스튜어트 정리 · 우산 정리 · 오일러 삼각형 정리 · 데자르그 정리 · 메넬라오스 정리 · 나폴레옹의 정리 · 체바 정리 · 사영 정리 · 판아우벌 정리 | ||
| 기타 | 세모 모양 · 평범한 삼각형 · 젤곤 삼각형 · 랭글리 삼각형 · 페르마 점 | ||
| 사각형 | 정사각형 · 직사각형 · 마름모 · 평행사변형 · 사다리꼴 · 등변 사다리꼴 · 연꼴 · 네모 모양 | ||
| 오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 (정팔각형) · 구각형 · 십각형 · 십일각형 · 십이각형 · 백각형 | |||
| 원 | 단위원 · 원주율 · 호 · 부채꼴 · 할선 · 활꼴 · 방정식 · 원주각 · 방멱 정리 · 톨레미 정리 | ||
| 원뿔곡선 | 포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 파스칼 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 · 보조선 · 테셀레이션(펜로즈 타일) · 제곱근의 앵무조개 · 픽의 정리 · 논증 기하학 · 해석 기하학 · 3대 작도 불능 문제 | }}}}}}}}} | |
| {{{#!wiki style="margin-top:-10px;margin-bottom:-10px;" | <tablebordercolor=#2667a9><tablealign=center><tablewidth=310><tablebgcolor=#2667a9> | }}} | |
| {{{#!wiki style="margin: -0px -10px -5px; min-height: 26px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -2px -12px" | <colbgcolor=#2667a9> ㄱ | <colbgcolor=#ffffff,#191919> 각도 · 규칙 · 각기둥 · 곱셈 공식 · 공약수 · 그래프 · 각뿔대 ·겉넓이 · 거듭제곱 | |
| ㄴ | 내각 · 내접 · 농도 | ||
| ㄷ | 다각형 · 도형 · 단항식 · 등식 · 다항식 · 도수분포표 · 대푯값 · 동위각 · 도수분포다각형 ·등변사다리꼴 | ||
| ㅁ | 막대 그래프 · 무리수 · 미지수 · 면 · 맞꼭지각 · 마름모 | ||
| ㅂ | 부채꼴 ·부피 | ||
| ㅅ | 소수 · 사각형 · 삼각형 · 삼각비 · 실수 · 소인수분해 · 순환소수 · 사분면 · 선 · 수선 · 선분 · 상대도수 · 산포도 · 산점도 ·수직이등분선 | ||
| ㅇ | 원 · 원기둥 · 일차방정식 · 이차방정식 · 유리수 · 유한소수 · 일차함수 · 연립방정식 · 이차함수 · 완전제곱식 · 외각 · 엇각 · 외심 ·이등변삼각형 · 원주각 · 원주율 | ||
| ㅈ | 자연수 · 좌표평면 · 제곱근 · 정수 · 점 · 작도 · 전개도 · 중선 · 중근 · 지수 · 직사각형 | ||
| ㅊ | 최소공배수 · 최대공약수 | ||
| ㅍ | 피타고라스 정리 · 평행선 · 평행사변형 | ||
| ㅎ | 함수 · 합동 · 히스토그램 · 합성수 · 회전체 · 현 · 확률 | ||
| 기타 | 수학교육학 | ||
| 수학(교과) 관련 틀 둘러보기 | }}}}}}}}} | ||
1. 개요
合同 / Congruence두 도형의 크기와 형태가 같을 때, 두 도형이 서로 합동이라고 한다. 닮음의 특수한 꼴이라고 볼 수 있으며, 예를 들어 삼각형에서는
| [math(\rm \triangle ABC \sim \triangle DEF,~\triangle ABC = \triangle DEF)] |
| [math(\rm \triangle ABC \equiv \triangle DEF)] |
| [math(\rm \triangle ABC \cong \!\!\triangle DEF)] |
2. 대응점, 대응변, 대응각
대응점, 대응변, 대응각은 합동인 도형이나 닮음인 도형에서 찾을 수 있는 특징이다. 어떠한 두 도형이 합동이라는 것은 두 도형을 돌리거나 뒤집어서 겹치면 정확히 알맞게 겹친다는 뜻이기도 하다. 이렇게 겹쳤을 때 겹치는 점을 대응점, 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각이라고 한다. 대응변끼리는 서로 비가 같고, 대응각의 크기는 각각 같다.합동이나 닮음을 기호로 표기할 때는 도형의 기호에 따른 대응점을 순서에 맞게 써야한다.
위 두 도형에서 대응점은 각각 A-D, B-E, C-F 이다.
그래서 합동임을 기호로 표시할 때는 대응점의 순서에 맞춰서,
| [math(\rm \triangle ABC \equiv \triangle DEF)] |
3. 삼각형의 합동 조건
- 두 삼각형의 세 변의 길이가 같은 경우(SSS 합동[1])
- 두 삼각형의 두 변의 길이가 같고 그 끼인각이 같은 경우(SAS 합동)
- 두 삼각형의 한 변의 길이가 같고 양 밑각이 같은 경우(ASA 합동)
직각삼각형의 경우는 A를 R[3]로 고치고 R의 대변인 빗변을 H[4]로 바꾼다. 이 성질이 성립하는 이유는 직각삼각형의 경우 한 각이 반드시 [math(\angle)]R이라는 성질 덕분에 평행선 공준과 동치인 삼각형의 세 각의 합은 180도라는 명제에 의하여 한 예각이 주어지면 자연스럽게 다른 예각이 [math(90\degree -x)]로 결정되는 성질과 함께, 역시 평행선 공준의 동치명제인 피타고라스 정리에 따라 빗변과 한 변의 길이를 알면 다른 한 변의 길이가 자연스럽게 정해지기 때문.
- 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같을 때 (RHA 합동, ASA 합동의 일종)
- 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같을 때 (RHS 합동, SAS 합동의 일종)
참고로 위 조건은 유클리드 공간, 구면 공간에만 성립한다. 일반적인 타원 공간, 쌍곡 공간에서는 합동은커녕 닮음조차도 일반적으로 성립되지 않는다.
3.1. SSA 합동
SAS 합동의 조건 "두 삼각형의 두 변의 길이가 같고 그 끼인각이 같은 경우"에서, 끼인각이 아닌 다른 각이 같은 경우가 있다. 이 경우에는 합동이 될 수도 합동이 되지 않을 수도 있는데, 합동이 되더라도 이를 SAS 합동으로 부를 수 없다.가령 [math(\rm \overline{BC}=\mathbf{2}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]인 경우[5] 혹은 [math(\rm \overline{BC}=\mathbf{4}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]인 경우는 단 하나로 결정되나, [math(\rm \overline{BC}= \mathbf{2.1}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]로 바뀐다면 두 개가 존재하며 [math(\rm \overline{BC}= \mathbf{1.9}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]인 삼각형은 존재하지 않는다. 아래 그림은 이를 간단히 나타낸 것으로, 점 C가 검은색 작은 점에 놓였을 때 삼각형 ABC가 어떻게 생기는지를 보여 준다. 선분 옆의 수는 그 선분의 길이를 나타낸다.
보다 일반적으로, [math(\rm \triangle ABC)]에서 [math(\rm \overline{AB}, \overline{BC}, \angle A)]가 주어졌을 때
1) [math(\rm \overline{BC}>\overline{AB})] 인 경우, 즉 위 그림의 초록 선분 경우처럼 각 A의 마주보는 변이 더 긴 경우
2) [math(\rm \overline{BC}=\overline{AB})] 이고 [math(\angle A<90 \degree)]인 경우, 즉 위 그림의 검은 선분 경우처럼 이등변삼각형의 두 변과 한 밑각이 주어지는 경우
2) [math(\rm \overline{BC}=\overline{AB}\sin (\angle A))] 이고 [math(\angle A<90 \degree)]인 경우, 즉 위 그림의 빨간 선분처럼 변 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형이 만들어지는 경우
위 세 가지 조건 중 하나를 만족하면 삼각형이 유일하게 결정된다. 이를 간략히 SSA 합동 조건이라 부르기도 한다.[6]
4. 사각형의 합동
삼각형에는 SSS, SAS, ASA 등의 합동조건이 있지만, 이를 사각형으로 일반화하기는 어렵다. 가령 사각형에서는 네 변의 길이가 모두 같더라도(SSSS) 합동이 아닐 수 있다.[7] 이는 닮음도 마찬가지인데, 삼각형에는 AA 닮음 조건이 있지만 사각형에는 네 각의 크기가 모두 같더라도 닮음이 아닐 수 있다.[8]그래서 사각형은 8개의 각과 변 중 5개를 사용한다. 종류는 합동을 기준으로 SSSAS, SASAS, ASASA 합동이 있으며, 3개 모두 두 도형에서 변과 각의 순서가 같아야 합동이 된다.[9]
5. 교과과정에서
초등학교 5학년 때 처음 배우며, 중학교 1학년에서 SSS, SAS, ASA 합동조건을 배운다. 중학교 2학년에서 RHS와 RHA 합동조건을 배우고, 닮음과 연계되어 다루어진다.대학 이상으로 가면 뜬금없이(?) 대수학에서 준동형 사상이라는 이름으로 배우게 된다. 함수나 집합 몇 개를 던져주고 이들이 닮았는지, 그리고 합동(동형 사상)인지를 직접 증명하는 문제를 낸다.[10]
[1] S는 side(변)의 첫 글자, A는 angle(각)의 첫 글자[2] 다만 이는 충분조건일 뿐, 필요조건은 아니다. 아래 SSA 합동 문단 참고.[3] Right angle(직각)의 첫 글자[4] Hypotenuse(빗변)의 첫 글자[5] 이 경우 직각삼각형이 된다.[6] 증명은 여러가지 방법이 있겠으나, 코사인법칙을 이용하여 주어지지 않은 변 [math(\rm CA)]의 길이를 구할 때 이것이 [math(\rm \overline{CA})]에 대한 이차방정식임을 이용하는 것이 제일 간편하다. 계산하고자 하는 이차방정식이 단 하나의 양의 실근을 가지면 변 [math(\rm CA)]의 길이가 유일하게 하나로 결정되므로, 각각 부호가 다른 두 실근을 가질 조건, 0과 양의 실근 하나를 가질 조건, 양수인 중근을 가질 조건을 찾으면 된다. 참고로 이 이차방정식이 허근을 가지는 경우, 또는 실근을 갖더라도 양의 실근이 아니라 0 또는 음의 실근만을 갖는 경우는 조건을 만족하는 삼각형이 그려질 수 없음을 알 수 있다. 이는 [math(\rm \overline{BC})]가 너무 짧아 주어진 반직선에 닿는 것이 불가능한 경우를 의미한다. (닿고자 하는 반직선의 반댓방향 반직선에 닿는 경우는 음수근, 아예 직선에 닿을 수조차 없는 경우 허근.)[7] 일례로 한 변의 길이가 같은 마름모와 정사각형이 있다. 이유는 정사각형이 마름모에 포함될 수 있어서이다.[8] 일례로 직사각형과 정사각형이 있다. 이유는 정사각형이 직사각형에 포함이 되어서이다.[9] 즉, 변의 길이와 각의 크기만 같아서는 안 되고, 각이 어떤 변 사이에, 또는 어떤 변의 끝에 있는지까지 같아야 합동이 된다는 거다.[10] 동형사상을 나타내는 기호도 합동과 동일한 [math(\cong)]이다.