Polynomial Remainder Theorem
1. 개요
고등수학(상)에서 항등식의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 나눗셈 정리가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. 나눗셈 정리를 간단하게 설명하자면, 자연수 [math(b)]를 [math(a)]로 나누었을 때 ([math(b\geq a)]), [math(b=aq+r)]([math(0\leq r<a)])를 만족하는 정수 [math(q,r)]이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 다항식에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다.정식 [math(B(x))]를 정식 [math(A(x))]로 나누었을 때 [1], [math(B(x)=A(x)Q(x)+R(x),\,(0\leq\deg R(x)<\deg A(x)))]를 만족시키는 정식 [math(Q(x),R(x))]가 유일하게 존재한다. 이때, [math(Q(x))]를 몫, [math(R(x))]를 나머지라고 한다.
나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다.2. 나머지 정리
[math(x)]에 대한 다항식 [math(f(x))]를 일차식 [math(x-a)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(f(a))]이다.
위 정리는 일반적인 일차식 [math(ax+b)]에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다.[math(x)]에 대한 다항식 [math(f(x))]를 일차식 [math(ax+b)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(f\biggl(-\dfrac{b}{a}\biggr))]이다.
3. 활용
나머지 정리는 고차식의 인수분해를 하는 데 쓸 수 있다. 만약 어떤 수 [math(a)]를 대입했는데 값이 0이라면, 원 다항식 [math(f\left(x\right))]는 [math(x-a)]를 인수로 가진다.[2] 이 과정을 빠르게 할 수 있는 것이 바로 조립제법이며, 조립제법에 대한 더 자세한 내용은 항목 참조.4. 관련 항목
[1] 단, [math(\deg B(x)\geq\deg A(x))]이다. 참고로 deg는 방정식 최고차항 차수를 뜻한다.[2] 이를 인수정리(factor theorem) 이라고 부른다.