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1. 개요
linear system equation · 聯立一次方程式여러 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식.
2. 정의
다음은 미지수가 여러 개인 일차방정식이다.[math(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=a_0)]
여기서 [math(a_j)]는 [math(x_j)]의 계수, [math(a_0)]은 상수항이다.
이제 이것이 연립된 방정식을 생각할 수 있고,
[math(\begin{cases}a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n&=a_0\\b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_nx_n&=b_0\\c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n&=c_0\\\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\vdots\end{cases})]
이것을 [math(n)]원 연립일차방정식이라 한다.
이를 벡터를 이용해 아래처럼 간추릴 수 있다. [math(\ast)]는 수반 연산자를 뜻한다.
[math(\bf a^\ast x+b=0)]
3. 이원 연립일차방정식
이원 연립방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.[math(\begin{cases}ax+by&=p\\cx+dy&=q\end{cases} )]
3.1. 기본적인 해법
연립일차방정식은 행렬 등 다른 방법을 이용해서도 풀 수 있지만, 가장 기본적인 해법은 가감법, 대입법, 등치법 세 종류가 있다.3.1.1. 가감법
각 식의 양변에 적절한 상수를 곱한 뒤, 두 식을 더하여 한 문자를 소거하여 한 미지수에 대한 해를 찾은 뒤 다른 미지수에 대한 해를 찾는 방법.이원 연립일차방정식
[math(\begin{cases}ax+by=p\quad&\cdots\,\text{\textcircled a}\\cx+dy=q&\cdots\,\text{\textcircled b}\end{cases})]
에서 식 [math(\text{\textcircled a})]에 [math(c)]를 곱하고, 식 [math(\text{\textcircled b})]에 [math(a)]를 곱한 뒤 두 식을 빼어 [math(x)]를 소거한다.
[math(\begin{aligned}&&acx+bcy&=cp\\-&&acx+ady&=aq\\\hline &&-(ad-bc)y&=cp-aq\end{aligned} )]
이상에서
[math(y=\dfrac{aq-cp}{ad-bc})]
이제 이것을 [math(\text{\textcircled a})]에 대입하여 [math(x)]의 값을 찾는다.
[math(x=\dfrac{dp-bq}{ad-bc})]
이러한 방법을 가감법이라 한다.
3.1.2. 대입법
한 식을 한 미지수에 대하여 정리한 후 나머지 한 식에 대입하여 해를 구하는 방법.[math(\text{\textcircled a})]에 의하면
[math(x=\dfrac pa-\dfrac bay)]
이것을 식 [math(\text{\textcircled b})]에 대입한다.
[math(c\biggl[\dfrac pa-\dfrac bay\biggr]+dy=q\quad\to\quad y=\dfrac{aq-cp}{ad-bc})]
이것을 맨 위의 식에 대입하면,
[math(x=\dfrac pa-\dfrac ba\dfrac{aq-cp}{ad-bc}\quad\to\quad x=\dfrac{dp-bq}{ad-bc})]
이러한 방법을 대입법이라 한다.
3.1.3. 등치법
두 식을 같은 한 미지수에 대하여 정리한 후 나머지 미지수에 대한 일차방정식을 푸는 방법이다.[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{p}{a}-\frac{b}{a}y \\ x&=\frac{q}{c}-\frac{d}{c}y \end{aligned} )]
따라서 다음 일차방정식을 풀어서 구한 해를 대입하여 나머지 미지수의 값을 구하는 것이 등치법이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{p}{a}-\frac{b}{a}y=\frac{q}{c}-\frac{d}{c}y \end{aligned} )]
등치법은 대입법의 특수한 경우로 볼 수 있다. 식을 한 미지수에 대해 정리하는 것은 같지만 때마침 두 식이 모두 같은 미지수에 대해 정리되어 있는 상태이다.
일반적으로 초중등 교육과정에서는 소개하지 않는 방법이다.
3.2. 기하학적 의미
3.2.1. 해의 의미
두 식 [math(ax+by=p)], [math(cx+dy=q)]는 명백히 좌표평면상에서 직선을 나타내는 방정식이다.따라서 두 직선의 교점의 [math(x)]좌표가 [math(x)], [math(y)]좌표가 [math(y)]가 되게 된다.
3.2.2. 부정과 불능
위 논의를 이해했다면, 두 직선이 일치할 경우와 두 직선이 평행한 경우에는 그 해가 어떻게 되는지 예측할 수 있다.두 직선이 일치하는 경우 해는 무수히 많으며, 이를 부정이라 한다. 직선 문서를 참조하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{p}{q} \end{aligned} )]
일 때 부정이 된다.
두 직선이 평행한 경우 해는 정해지지 않으며, 이를 불능이라 한다. 마찬가지로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \neq \frac{p}{q} \end{aligned} )]
일 때 불능이 된다.
3.3. 해가 한 쌍만 존재하기 위한 조건
위에서 연립일차방정식[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} ax+by&=p \\ cx+dy&=q \end{aligned}
\end{cases} )]
의 해는
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{dp-bq}{ad-bc} \\ y&=\frac{aq-cp}{ad-bc} \end{aligned} )]
임을 다뤘다. 공통적으로 분모에 [math(ad-bc)]가 있다는 것을 알 수 있으며, 이것이 0일 경우 연립방정식은 해가 없거나 무수히 많은 해를 가지게 된다. 즉, 이원 연립일차방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면
[math(\displaystyle \begin{aligned} ad-bc \neq 0 \end{aligned} )]
을 만족하여야 한다.
3.4. 행렬과의 연계
위의 연립방정식은 행렬 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.[math(\displaystyle \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p \\
q \\
\end{bmatrix} )]
따라서 계수 행렬을 [math(A)], 미지수 행렬을 [math(X)], 상수항 행렬을 [math(P)]로 나타낸다면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} AX=P \end{aligned} )]
만약 [math(A)]가 역행렬을 갖는다면, 즉 [math(ad-bc \neq 0)]이라면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} A^{-1}AX=A^{-1}P \end{aligned} )]
이 되고,
[math(\displaystyle \begin{aligned} X=A^{-1}P \end{aligned} )]
이 된다.
따라서 이 방식을 통해서도 연립방정식을 풀 수 있다.
3.4.1. 크라메르 공식
위에서 해가[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{dp-bq}{ad-bc} \\ y&=\frac{aq-cp}{ad-bc} \end{aligned} )]
인데, 이것을 행렬식을 이용하면 쉽게 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{\begin{vmatrix}
p & b \\
q & d\\
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d\\
\end{vmatrix}} \\ y&=\frac{\begin{vmatrix}
a & p \\
c & q\\
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d\\
\end{vmatrix}} \end{aligned} )]
분자의 경우 분모와 같게 쓰고, [math(x)]의 경우 첫 번째 열을 [math(P)]로 바꾸고, [math(y)]의 경우에는 두 번째 열을 [math(P)]로 바꾼다.
이것을 크라메르 공식이라 한다.
3.4.2. 특수한 방정식 꼴
연립일차방정식[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} ax+by&=0 \\ cx+dy&=0 \end{aligned}
\end{cases} )]
은 행렬 꼴로
[math(\displaystyle \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\end{bmatrix} )]
로 바꿀 수 있는데, 이 방정식이 [math((x,\,y)=(0,\,0))]을 제외한 해를 가지려면 영년 방정식
[math(\displaystyle \begin{vmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{vmatrix}=0 )]
이어야 한다.
이것은 쉽게 기하학적 의미를 살펴보면, 그렇게 돼야 함을 알 수 있다.
우선 식의 형태를 보면, 두 식은 직선을 나타내며, 원점을 지나는 직선이다.
따라서 일반적인 경우에는 원점이 교점이 되니, 연립방정식의 해는 [math((x,\,y)=(0,\,0))]이 돼야 할 것이다. 그러나, 두 직선이 일치하면, 방정식은 해당 해 뿐만 아니라 다른 해를 갖는다.
그것을 만족하려면 결국 [math(ad-bc=0)]이어야 하는 것이다.
4. 일반화
삼원 연립일차방정식 부터는 행렬로 푸는 것이 훨씬 쉽다.4.1. 해법
4.1.1. 가우스 소거법
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[가우스 소거법#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[가우스 소거법#|]] 부분을4.1.2. 크라메르 공식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[크라메르 공식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[크라메르 공식#|]] 부분을5. 연립일차방정식의 해가 정해질 조건
모든 연립일차방정식은 행렬로 표현할 수 있으며, 계수 행렬을 [math(A)], 확대 행렬을 [math(A|P)]라 하자.이때, 다음이 성립한다.
- [math(\operatorname{rank}{(A)}<\operatorname{rank}{(A|P)})]이면 연립방정식은 해를 갖지 않는다.
- [math(\operatorname{rank}{(A)}=\operatorname{rank}{(A|P)}=n)]이면 연립방정식은 근이 하나 존재한다.
- [math(\operatorname{rank}{(A)}=\operatorname{rank}{(A|P)}<n)]이면 연립방정식은 무수히 많은 해가 존재한다.
[math(n)]은 미지수의 개수이다.
따라서 두 번째 조건이 만족할 때, 해는 하나로 결정된다.