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1. 개요
linear system equation · 聯立一次方程式여러 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식.
2. 정의
다음은 미지수가 여러 개인 일차방정식이다.[math(\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=a_{0} )]
여기서 [math(a_{j})]는 [math(x_{j})]의 계수, [math(a_{0})]은 상수항이다.
이제 이것이 연립된 방정식을 생각할 수 있고,
[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}&=a_{0} \\
b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+\cdots+b_{n}x_{n}&=b_{0} \\
c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}&=c_{0} \end{aligned} \\
\qquad \qquad \qquad \,\,\,\, \vdots
\end{cases} )]
이것을 [math(n)]원 연립일차방정식이라 한다.
이를 벡터를 이용해 아래처럼 간추릴 수 있다. [math(\ast)]는 수반 연산자를 뜻한다.
[math({\bold a}^{\ast}{\bold x} + {\bold b} = {\bold 0})]
3. 이원 연립일차방정식
이원 연립방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} ax+by&=p \\ cx+dy&=q \end{aligned}
\end{cases} )]
3.1. 해법
3.1.1. 가감법
각 식의 양변에 적절한 상수를 곱한 뒤, 두 식을 더하여 한 문자를 소거하여 한 미지수에 대한 해를 찾은 뒤 다른 미지수에 대한 해를 찾는 방법.이원 연립일차방정식
[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} ax+by&=p \quad && \cdots \, \small{(*)} \\ cx+dy&=q && \cdots \, \small{(\#)} \end{aligned}
\end{cases} )]
에서 식 [math(\small{(\ast)})]에 [math(c)]를 곱하고, 식 [math(\small{(\#)})]에 [math(a)]를 곱한 뒤 두 식을 빼어 [math(x)]를 소거한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} && acx+bcy&=cp \\ -&& acx+ady&=aq \\ \hline && -(ad-bc)y&=cp-aq \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} y=\frac{aq-cp}{ad-bc} \end{aligned} )]
이제 이것을 [math(\small{(\ast)})]에 대입하여 [math(x)]의 값을 찾는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x=\frac{dp-bq}{ad-bc} \end{aligned} )]
이러한 방법을 가감법이라 한다.
3.1.2. 대입법
한 식을 한 미지수에 대하여 정리한 후 나머지 한 식에 대입하여 해를 구하는 방법.[math(\small{(\ast)})]에 의하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} x=\frac{p}{a}-\frac{b}{a}y \end{aligned} )]
이것을 식 [math(\small{(\#)})]에 대입한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} c\biggl[\frac{p}{a}-\frac{b}{a}y\biggr]+d y =q \quad \to \quad y=\frac{aq-cp}{ad-bc} \end{aligned} )]
이것을 맨 위의 식에 대입하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} x=\frac{p}{a}-\frac{b}{a}\frac{aq-cp}{ad-bc} \quad \to \quad x=\frac{dp-bq}{ad-bc} \end{aligned} )]
이러한 방법을 대입법이라 한다.
3.2. 기하학적 의미
3.2.1. 해의 의미
두 식 [math(ax+by=p)], [math(cx+dy=q)]는 명백히 좌표평면상에서 직선을 나타내는 방정식이다.따라서 두 직선의 교점의 [math(x)]좌표가 [math(x)], [math(y)]좌표가 [math(y)]가 되게 된다.
3.2.2. 부정과 불능
위 논의를 이해했다면, 두 직선이 일치할 경우와 두 직선이 평행한 경우에는 그 해가 어떻게 되는지 예측할 수 있다.두 직선이 일치하는 경우 해는 무수히 많으며, 이를 부정이라 한다. 직선 문서를 참조하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{p}{q} \end{aligned} )]
일 때 부정이 된다.
두 직선이 평행한 경우 해는 정해지지 않으며, 이를 불능이라 한다. 마찬가지로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \neq \frac{p}{q} \end{aligned} )]
일 때 불능이 된다.
3.3. 해가 존재하지 않는 경우
위에서 연립일차방정식[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} ax+by&=p \\ cx+dy&=q \end{aligned}
\end{cases} )]
의 해는
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{dp-bq}{ad-bc} \\ y&=\frac{aq-cp}{ad-bc} \end{aligned} )]
임을 다뤘다. 공통적으로 분모에 [math(ad-bc)]가 있다는 것을 알 수 있으며, 이것이 0일 경우 연립방정식은 해를 가질 수 없다. 즉, 이원 연립일차방정식이 해를 가지려면
[math(\displaystyle \begin{aligned} ad-bc \neq 0 \end{aligned} )]
을 만족하여야 한다.
3.4. 행렬과의 연계
위의 연립방정식은 행렬 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.[math(\displaystyle \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p \\
q \\
\end{bmatrix} )]
따라서 계수 행렬을 [math(A)], 미지수 행렬을 [math(X)], 상수항 행렬을 [math(P)]로 나타낸다면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} AX=P \end{aligned} )]
만약 [math(A)]가 역행렬을 갖는다면, 즉 [math(ad-bc \neq 0)]이라면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} A^{-1}AX=A^{-1}P \end{aligned} )]
이 되고,
[math(\displaystyle \begin{aligned} X=A^{-1}P \end{aligned} )]
이 된다.
따라서 이 방식을 통해서도 연립방정식을 풀 수 있다.
3.4.1. 크라메르 공식
위에서 해가[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{dp-bq}{ad-bc} \\ y&=\frac{aq-cp}{ad-bc} \end{aligned} )]
인데, 이것을 행렬식을 이용하면 쉽게 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{\begin{vmatrix}
p & b \\
q & d\\
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d\\
\end{vmatrix}} \\ y&=\frac{\begin{vmatrix}
a & p \\
c & q\\
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d\\
\end{vmatrix}} \end{aligned} )]
분자의 경우 분모와 같게 쓰고, [math(x)]의 경우 첫 번째 열을 [math(P)]로 바꾸고, [math(y)]의 경우에는 두 번째 열을 [math(P)]로 바꾼다.
이것을 크라메르 공식이라 한다.
3.4.2. 특수한 방정식 꼴
연립일차방정식[math(\displaystyle \begin{cases}
\begin{aligned} ax+by&=0 \\ cx+dy&=0 \end{aligned}
\end{cases} )]
은 행렬 꼴로
[math(\displaystyle \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\end{bmatrix} )]
로 바꿀 수 있는데, 이 방정식이 [math((x,\,y)=(0,\,0))]을 제외한 해를 가지려면 영년 방정식
[math(\displaystyle \begin{vmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{vmatrix}=0 )]
이어야 한다.
이것은 쉽게 기하학적 의미를 살펴보면, 그렇게 돼야 함을 알 수 있다.
우선 식의 형태를 보면, 두 식은 직선을 나타내며, 원점을 지나는 직선이다.
따라서 일반적인 경우에는 원점이 교점이 되니, 연립방정식의 해는 [math((x,\,y)=(0,\,0))]이 돼야 할 것이다. 그러나, 두 직선이 일치하면, 방정식은 해당 해 뿐만 아니라 다른 해를 갖는다.
그것을 만족하려면 결국 [math(ad-bc=0)]이어야 하는 것이다.
4. 일반화
삼원 연립일차방정식 부터는 행렬로 푸는 것이 훨씬 쉽다.4.1. 해법
4.1.1. 가우스 소거법
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[가우스 소거법#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[가우스 소거법#|]][[가우스 소거법#|]] 부분을4.1.2. 크라메르 공식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[크라메르 공식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[크라메르 공식#|]][[크라메르 공식#|]] 부분을5. 연립일차방정식의 해가 정해질 조건
모든 연립일차방정식은 행렬로 표현할 수 있으며, 계수 행렬을 [math(A)], 확대 행렬을 [math(A|P)]라 하자.이때, 다음이 성립한다.
- [math(\operatorname{rank}{(A)}<\operatorname{rank}{(A|P)})]이면 연립방정식은 해를 갖지 않는다.
- [math(\operatorname{rank}{(A)}=\operatorname{rank}{(A|P)}=n)]이면 연립방정식은 근이 하나 존재한다.
- [math(\operatorname{rank}{(A)}=\operatorname{rank}{(A|P)}<n)]이면 연립방정식은 무수히 많은 해가 존재한다.
[math(n)]은 미지수의 개수이다.
따라서 두 번째 조건이 만족할 때, 해는 하나로 결정된다.