| 정다면체 Regular Polyhedron | |
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| 정다면체중 하나인 정십이면체의 모습. |
1. 개요
正十二面體, Regular dodecahedron[1]한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 총 열두 개의 정오각형 면으로 이루어진 다면체.
정십이면체 120개를 한 모서리에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 4차원 도형인 정백이십포체를 만들 수 있다. 물론 4차원 방향으로 접어야 하므로 현실에서는 불가능하다.
2. 정십이면체에 대한 정보
| 단위/특성 | 개수 | 비고 |
| 슐레플리 기호 | {5,3} | |
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 20 | |
| 모서리(edge), 1차원) | 30 | |
| 면(face, 2차원) | 12 | 정오각형 |
| 쌍대 | 정이십면체 {3,5} | |
| 포함 관계 또는 다른 이름 |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정십이면체가 있을 때
외접구의 반지름 =[math(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a)]= [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\varphi a)][2]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a)][3]
총 모서리 길이(total edge length) = [math(30a)]
겉넓이(surface area) = [math(3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)]
부피(volume) = [math(\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3)]≈7.6631a3
2.1. 다른 정다면체들과의 관계
- 정십이면체는 정이십면체와 쌍대(Dual)[4] 도형이다.[5]
- 정십이면체의 20개 꼭지점들 중 서로 이웃하지 않은 8개의 꼭지점을 골라 이으면 정육면체가 된다.
- 정십이면체의 20개의 꼭지점들로 4개의 꼭지점을 적절하게 골라 이으면 정사면체도 만들 수 있다.
3. 현실에서의 예시
- 황철석[6]
- 정십이면체 주사위[7]
- 메가밍크스
- 로마12면체 : # 12면체형태로 모서리에 작은 구가 붙어있고 면은 뚫려 있어 안을 볼수 있는 고대유물. 관련문헌이 없어 용도는 불명이다.
4. 창작물에서의 예시
- 커맨드 앤 컨커 타이베리안 선[8]
- 콘택트(영화)[9]
- 오버워치의 돌격 영웅 시그마의 기본 무기
- 레전드히어로 삼국전의 등장 악역 장각의 다크 펜타곤
5. 기타
플라톤은 다섯 개의 정다면체를 사원소설에 대입하려 하였는데, 이들 중 정십이면체는 우주를 상징한다고 하였다. 이에 대해 정십이면체가 천상세계를 이루는 제 5원소인 에테르를 상징한다고 해석하기도 하였다.[1] 복수는 regular dodecahedra[2] 여기에서 φ는 황금비이다. [math(\displaystyle(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}))][3] [math(\dfrac{\varphi^2}{2 \sqrt{3-\varphi}}a)][4] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[5] 정십이면체는 한 꼭지점에 세 개의 정오각형이 만나기 때문에 {5, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 다섯 개 만나는 도형인 정이십면체{3, 5}와 쌍대 도형이다.[6] 정십이면체형 결정은 정육면체형 결정이 적당히 성장하면 만들어지므로, 자연의 황철석에서 가끔 발견할 수 있다.[7] 도라에몽에도 나온 적이 있다.[8] 필드에 종종 나타나는 크레이트의 모양이 정십이면체이다. 타이베리움 워 이후의 타이베리움 사가 시리즈에서는 깎은 정사면체로 대체된다.[9] 주인공 애로웨이 박사가 탑승하는 워프게이트의 캡슐이 정십이면체의 모서리로 둘러싸여 있다.