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공간


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셈 측도 길이 넓이 부피 초부피
활용
유클리드 공간 · 측도론(힐베르트 공간 · Lp 공간) · 민코프스키 시공간 }}}}}}}}}


1. 개요2. 지리학의 공간3. 아리스토텔레스의 공간 이론4. 공간에 대한 리만의 이론5. 상대성 이론의 공간6. 공간의 차원7. 공간학8. 창작물
8.1. 예시

1. 개요

공간(空間, space)은 물질이 존재하고 여러 가지 현상이 일어나는 장소이다.

공간의 개념은 간단하게 설명할 수 있을 것 같지만 실제로 물리학적 입장에서 보면 전혀 간단하지 않다. 가장 간단한 질문인 '공간은 물리적 실체인가'라는 질문조차 완벽하게 대답할 수 없는 실정이다.

공간은 실수의 곱집합인 [math(\R^3)]로 묘사하는 경우가 많다. 애당초 실수. 좀 더 일반적으로 얘기하면, 벡터 공간 자체가 공간을 근사하기 위한 인간의 발명품이란 주장도 있다.

2. 지리학의 공간

지리학에서의 공간은 위에서 설명한 물리 개념 공간에서 연원한다. 재밌는 것은 지리학은 공간(space)과 장소(place)를 꽤나 구분하는 편인데, 통념화된 내용을 대략적으로 요약하자면 공간은 물리적으로 실재하는 설명 가능한 개념이고, 여기에 인간의 애착과 의식이 더해진 것이 장소라고 할 수 있다. 물론 기본 개념인만큼 인문지리학/사회지리학/자연지리학 등등의 세부 분과마다, 그리고 연구자들마다 계속 재개념화가 이루어지기도 한다.

3. 아리스토텔레스의 공간 이론

아리스토텔레스는 운동이 공간의 특성에 의존한다고 주장했다. 그는 천체론이라는 저서에서 무거운 물질은 지구 중심이라는 한 점으로 모이고 가벼운 물질은 지구 중심에서 멀어지는 방향으로 운동한다는 점에서 미루어 볼때 운동의 기준인 우주의 중심이 존재한다고 주장했다. 이러한 아리스토텔레스의 이론은 자유 낙하 운동의 보편성을 통해서 공간을 이해하는 일반 상대성 이론과도 통하는 면이 있다.

아리스토텔레스의 공간은 완전한 절대공간도 완전한 상대공간도 아니었다. 중세에는 아리스토텔레스가 절대공간을 주장했다고 해석하는 경우가 많았다. 하지만 우주의 중심이 지구의 중심이 된다고 가정하면 물체의 운동이 합리적으로 설명된다고 여겼다는 점에 주목하면 절대공간이 아닌 상대공간을 옹호했다고 볼 수도 있다.

스토아 학파는 아리스토텔레스의 이론을 독창적으로 재수용했다. 포시도니오스는 달의 인력에 의해 조수현상이 일어나는 것을 발견했고, 공간을 우주전체에 걸쳐 물리적 과정을 전파하는 대상으로 보는 등, 아리스토텔레스에 비해 공간의 실체성을 강조했다. 다만 스토아 학파도 아리스토텔레스와 마찬가지로 공간이 비등방적이라고 여겼다. 공간이 지구를 중심으로하는 비등방적 구조라는 이론은 15세기 쿠사의 니콜라스나 16세기 코페르니쿠스가 반박하기 전까지 지배적인 위치를 차지했다. 쿠사의 니콜라스는 아리스토텔레스에 반박하여 우주의 크기가 무한하다고 주장했고, 따라서 지구가 중심이 되어야 할 하등의 이유가 없다고 주장했다.

4. 공간에 대한 리만의 이론

1854년 베른하르트 리만은 물리적 공간을 위상수학적 다양체(manifold)와 계량(metric)으로 분리하여 해석하는 혁신적인 해석을 제시하였다. 리만은 이전의 학자들과 달리 물리적 공간을 선험적으로 주어진 것이 아닌 수학적으로 분석 가능한 대상으로 보았으며 물리적 공간에 의존하지 않는 순수수학적인 방법으로 공간의 개념을 재구성했다. 임마누엘 칸트는 순수이성비판에서 공간을 선험적이라 보았다. 하지만 요한 헤르바르트를 비롯한 신칸트주의자들은 형이상학을 거부했다. 리만의 이론에는 그러한 신칸트주의의 영향이 들어가 있다.[1] 리만은 물리적 공간에 대한 이해를 위해 다양체의 개념을 가져왔다. 그리고 다양체와 물리적 공간을 연결시키는 계량이라는 방법을 고안하였다. 리만의 계량은 내적의 개념을 다차원 다양체로 더욱 일반화시킨 것이며 1828년에 가우스가 접공간에서의 내적으로 곡면이 유일하게 결정됨을 증명한 것에 영향을 받아 탄생한 개념이다.

리만은 공간이 다양체와 계량으로 표현된다면 계량은 실험적으로 관측가능할 것이라고 보았고 그러한 공간의 세부사항이 어떤지 밝히는건 실험가들의 역할이라고 보았다. 리만은 공간의 휘어짐에 지대한 관심을 가졌기에 리만이 오래 살았다면 일반 상대성 이론을 스스로 발견했을 것이라는 추측도 있다.

리만이 정리한 공간의 개념은 다음과 같이 단계적으로 더욱 일반화 할 수 있다.
수학적 개념 구조 동치관계
준 리만 다양체 계량(metric), 좌표근방계(atlas), 위상구조(topology) 등거리 변환(isometry)
다양체 좌표근방계, 위상구조 미분동형사상(diffeomorphism)
위상공간 위상구조 위상동형사상(homeomorphism)
집합 (없음) 일대일 대응

5. 상대성 이론의 공간

물리학에서 시간과 공간은 물리현상을 기술하고 궁극적으로 물리법칙을 세우는 기준이 된다. 각각의 관찰자는 저마다의 기준으로 시간과 공간의 틀을 세우지만, 어떤 하나의 물리 현상은 모든 관찰자가 공통으로 경험하게 된다. 상대성 원리는 물리법칙이 특정 관계(등속도 운동)를 갖는 좌표계 사이에서 모두 동일하게 기술된다는 갈릴레이의 정리이다. 따라서, 물리법칙의 구체적인 형태를 기준으로 시간과 공간의 변환 관계를 유도해낼 수 있다. 고전 역학은 상식적인 갈릴레이 변환, 즉 모든 관찰자에 있어서 시간은 공통이고 두 점 사이의 거리는 동일하다는 변환 관계를 잘 따른다.

하지만 이후 발전된 전자기학의 법칙은 갈릴레이 변환을 적용하면 상대성 원리가 적용되지 않는다. 이는 한편으로 절대 정지한 공간의 존재를 증명하는 것처럼 보였다. 그러나 전자기파의 속력과 관련한 일련의 실험은 전자기학의 법칙이 상대성 원리를 따른다는 것을 보여주었다. 로런츠는 갈릴레이 변환을 대체하는 로런츠 변환을 고안했는데, 여기에서는 시간과 공간의 변환 관계가 복잡하다.

이것의 물리적 의미는 아인슈타인이 특수 상대성 이론을 발표하면서 해명되었다. 아인슈타인은 소위 조작주의(operationalism)의 방법(이 말은 상대성 이론 이후 정립되었다.)으로, 시간과 공간을 측정의 문제로 환원시켰다. 상대성이론의 시간과 공간은 유기적으로 얽혀 있는데, 민코프스키는 이 둘이 하나의 4차원 공간, 즉 시공간을 이루어 쌍곡 기하학을 따른다는 것을 보였다. 여기에서도 개별 관찰자들의 공간은 유클리드 기하학을 따른다. 하지만 아인슈타인은 이후 중력을 다루기 위해 리만의 기하학을 바탕으로 한 일반 상대성 이론을 제창하였는데, 이곳에서 중력은 4차원 시공간을 구부러뜨리는 방식으로 작용하기 때문에 유클리드 기하학은 본질적으로 깨지게 된다.

상대성 이론은 지난 100여 년 간 수많은 검증을 통과한, 명백히 기존 물리학에 비해 설명력이 우월한 이론이다. 이후 상대성 이론에서의 시간과 공간에 대한 해석 문제는 (1) 시공간은 물리적 실체이다 (2) 시공간은 수학적 장치에 불과하다 (3) 그냥 계산이나 하라! 등의 견해로 갈린다.

6. 공간의 차원

공간의 차원은 생물학을 비롯하여 물리법칙에 큰 영향을 준다.

2차원 이하의 생명체는 지능을 가질 수 없다고 여겨진다. 3차원에선 뉴런이 임의의 수의 뉴런과 연결될 수 있지만 2차원에선 신경이 교차할 수 없으므로 이는 불가능하다.

가우스 법칙에 따라 2차원 이하에선 거리가 커질때 퍼텐셜이 발산한다. 때문에 행성의 궤도는 언제나 속박되어있으며 원자의 이온화도 불가능하다.

[math(n)]차원 공간에서 각운동량 [math(l)]을 가지고 궤도를 도는 물체의 유효 퍼텐셜은 다음의 꼴을 가지고 있다.

[math(\displaystyle V(r) =\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}-\frac{\alpha}{r^{n-2}} )]

3차원에선 유효퍼텐셜이 아래로 볼록하기 때문에 근일점과 원일점 사이를 오가는 안정한 궤도가 가능하다. 4차원에서 천체는 원궤도만 가능하며 타원궤도는 불가능하다. 5차원 이상은 유효퍼텐셜이 위로 볼록하기 때문에 천체는 궤도를 이루지 못한다

디랙 방정식을 고려했을 때 4차원 이상에선 안정한 수소 원자 모형이 존재하지 않는다.[2]

짝수차원에선 파동이 0~c 의 다양한 속도로 전파되어 다른 시간에 생긴 파동이 동시에 도달하는 문제가 생긴다. 홀수 중에서도 1,3차원에서만 파동이 파원의 진폭에 정확히 비례하는 방식으로 전달된다.[3]

7. 공간학

공간학(spatial studies)은 공간에 대해 탐구하는 분과학문 혹은 학제간 연구의 개념이다. 공간연구라고 번역되기도 한다.

위상, 기하학적 또는 지리적 속성을 사용하여 개체를 연구하는 모든 형식 기술인 '공간분석(Spatial analysis)'과도 밀접하게 관련되지만 완전히 동일하지는 않다.

미국의 레들랜즈 대학교(University of Redlands) 등 몇몇 대학에서는 특정하여 전공이나 연구소로 분과학문화되어 있지만, 더 넓게보아 보통은 지리학, 사회학, 문화학, 인문학(특히 철학), 물리학이나 지질학을 중심으로 하는 자연과학, 매체학, 영상학, 건축학, 도시계획학, 도시공학, 경제학, 기타 사회과학 등등 넓고 다양한 분과의 사람들이 참여하여 공동으로 발전시키는 경향이 있다.

다만 전통적으로 공간 문제를 보다 천착해온 지리학자들은 공간학이라는 묶음을 거부하기도 한다. 물론 언어권마다, 그리고 학자나 연구자들마다 입장은 조금씩 다르다. 한국에서는 일본에서 유학한 건축학 계열의 연구자들이 공간학이란 단어를 사용하기도 하고, 로컬리티 연구나 문화 연구 진영에서 공간학이라고 부르기도 한다.

공간학이라는 말은 학문 외적으로도 종종 쓰이는데, 예를 들면 건축디자인 분야의 대중서인 "카페의 공간학"과 같이 일부러 개념화하지 않은 용어로 사용되기도 한다.[4]

8. 창작물

능력자 배틀물에서는 시간과 대비되는 힘으로 공간을 조종하는 공간 조작의 힘을 가진 초능력자도 존재한다. 혹은 공간 자체를 베어서 방어를 무시하고 완전한 절삭력을 가지는 무기가 나오기도 한다. 물론 성능이 성능이니만큼 특수기능으로 붙어있고 사용시 대가가 큰게 대부분이다. 공간 절단 외에도 자기만의 아공간을 만들어서 물건이나 사람을 보관하고, 공간 장벽이라는 매우 단단하거나 공격을 소멸&흡수하는 방어벽을 생성시킬 수 있다. 그리고 포탈을 생성해서 상대의 공격을 빗나가게 하거나 반사 할 수도 있다. 공간이라는 상위 개념을 다루는 능력인 만큼 힘의 차이를 무시하며 공격&방어를 한다.

8.1. 예시

[1] Scholz, E., Riemann's vision of a new approach to geometry. In 1830–1930: A Century of Geometry (pp. 22-34). Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/3-540-55408-4_50 (1992)[2] F. Caruso et al., Does Dirac equation for a generalized Coulomb-like potential in D+1 dimensional flat space–time admit any solution for D≥4?, Annals of Physics 359, pp. 73-79 (2015)[3] I. M. Freeman, Why is Space Three-Dimensional? Based on W. Büchel: “Warum hat der Raum drei Dimensionen?,” Physikalische Blätter 19, 12, pp. 547–549 (December 1963), American Journal of Physics 37, 1222 (1969); Kevin Brown의 웹사이트 참고[4] 다만 이 책이 나온 일본에서는 건축학 계열에서 학술적으로도 주로 이 용어를 사용한다. 일본건축학회가 펴낸 공간학[5] 공간계 초상능력자가 들면 특수기능인 레드 레이를 사용할 수 있다. 검날이 열리고 내부 구조가 노출되며 붉은 기운이 검을 덮는데, 이 상태에선 공간을 자를 수 있다. 다만 사용자에게 부하를 엄청나게 줘서 사용자였던 릭은 레드 레이 한번 쓰고 수명이 왕창 깎였다. 이후 검은 부러진 채로 붕괴하는 괴수 둥지에 버려져 영영 분실되었다.[6] 시공간 전이버그 사용 시[7] 이쪽은 루키푸구스에 새겨진 12가지의 별자리를 통해 예시에 나온 대부분의 공간능력을 다룰 수 있다.[8] 기본적으론 시간 능력자지만 공간 왜곡도 된다.[9] 거리를 조종하는 정도의 능력을 가지고 있다.[10] 시간 능력을 이용해 공간을 다룬다.[11] 시린은 제 2율자로 공간의 율자이며 허수 공간을 생성해 시베리아를 궤멸시키려 한 적이 있고, 키아나는 여왕강림 영상에서 네겐트로피의 타이탄들이 쏜 포를 포탈을 열어 다른 공간으로 빨아들인 후 다시 포탈을 열어 되돌려준다.[12] 4명의 집정관 중 공간의 집정관이다.[13] 티나의 위상력 특성이 허수공간을 제어하는 능력이지만 각종 총화기를 메인으로 다루며, 이를 수납하거나 소환, 공간도약을 하는 등, 허수공간은 보조수단으로 쓰인다.[14] 정확히는 웜홀을 만드는 능력이다.[15] 초재생능력도 동시에 가지고 있다.[16] 단 잭 느와르와 방랑하는 탁발승은 첫 번째 수호자인 베크렐의 힘이 반진 반지를 착용해서 능력을 얻게 된 것이다.

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