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문서의 [[#|]] 부분}}}}}}1. 개요
자유 낙하는 오직 중력만이 물체에 작용하여 물체가 떨어지는 운동을 뜻한다.2. 분석
자유낙하실험에서 이 운동을 분석하기 앞서 [math(\dot{y})], [math(\ddot{y})]는 각각 지면에 대한 높이 [math(y)]의 시간에 대한 도함수(속도) [math({\rm d}y/{\rm d}t)], 이계도함수(가속도) [math({\rm d^{2}}y/{\rm d}t^2)]임을 밝힌다. 또한 직관적인 서술을 위해 연직 위 방향을 [math(+y)] 방향으로 둔다.2.1. 공기 저항이 없는 경우
질량 [math(m)]의 물체가 지면으로부터 [math(H)]의 높이에서 자유낙하를 했다고 생각해보자. 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않는다. 따라서 물체의 운동 방정식은[math(\displaystyle m\ddot{y}=-mg )]
이고, 초기 조건 [math(y(0)=H)], [math(\dot{y}(0)=0)]을 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} y(t)&=H-\frac{1}{2}gt^{2} \\ \dot{y}(t)&=-gt \end{aligned} )]
한편, 물체의 높이가 [math(y)]일 때까지 낙하 시간을 구하면,
[math(\displaystyle y=H-\frac{1}{2}gt^{2} \;\to\; t=\sqrt{\frac{2(H-y)}{g}} )]
이때 속력을 구해보면, 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl|\dot{y}\biggl( \sqrt{\frac{2(H-y)}{g}} \biggr)\biggr|=\sqrt{2g(H-y)} \end{aligned} )]
위에서 언급했듯 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않으므로 역학적 에너지 또한 보존된다. 따라서 초기 역학적 에너지는 중력 퍼텐셜 에너지인 [math(mgH)]이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle mgH=mgy+\frac{1}{2}m \dot{y}^{2} )]
2.2. 공기 저항이 있는 경우
진공에서의 물체의 가속 운동은 방해, 정확히 말하면 저항력을 받지 않아 정지 속도가 없지만, 실제 지구상에서의 낙하는 공기의 저항을 받게 된다.사실 아래의 두 풀이 또한 실제 상황을 단순화한 것이다. 왜냐하면 실제적으로 높이에 따라 대기의 밀도가 달라지므로 저항력이 높이에도 영향을 받기 때문이다.
2.2.1. 선형 공기 저항이 있는 경우
저항력이 속도에 비례하여 질량 [math(m)]의 물체가 지면으로부터 [math(H)]의 높이에서 자유 낙하할 때, 저항력 [math(-k\dot{y})](단, [math(k)]는 공기 저항 계수)를 받는다고 하자. 이때 물체의 운동 방정식은 다음과 같다.[math(\displaystyle m\ddot{y}=-mg-k\dot{y} )]
초기 조건 [math(y(0)=H)], [math(\dot{y}(0)=0)]을 이용하면 위의 미분방정식은 쉽게 풀리고, [math(k/m := \beta)]라 하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} y(t)&=H+\frac{g}{\beta^{2}}(1- \beta t -e^{-\beta t} ) \\ \dot{y}(t)&=-\frac{g}{\beta}(1-e^{-\beta t}) \end{aligned} )]
위의 식에서 알 수 있듯 [math(t \to \infty)]이면 일정한 속력 [math(g/\beta=mg/k)]로 수렴하는데 이 속력을 종단 속력(terminal speed)이라 하고, 종단 속력은 질량에 비례한다. 이 속력을 저항력에 대입하면, [math(k \dot{y}=mg)]로 중력의 크기와 같아지므로 종단 속력은 중력과 저항력이 평형을 이룰 때의 속력이다. 일반적으로 사람의 종단 속도는 자세에 따라 조금씩 다르나 [math(200\,{\rm km/h})]([math(53\,{\rm m/s})]) 정도이다.
2.2.2. 제곱형 공기 저항이 있는 경우
이번 문단에서는 제곱형 공기 저항이 작용하는 경우를 살펴보도록 하자. 물체의 운동 방정식은 위 문단과 유사하게[math(\displaystyle m\ddot{y}=-mg+k\dot{y}^{2} )]
단, 이번엔 저항력 부분의 부호가 [math(+)]가 되어야 함에 유의하자.[1] 초기 조건은 윗 문단과 동일하고, 방정식을 그냥 풀기 어렵기 때문에 우선 [math(\dot{y})]에 대하여 구하자. 위 미분방정식을 아래와 같이 쓰자.
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}\dot{y}}{{\rm d}t}=-g+\beta\dot{y}^{2} )]
변수 분리를 통해 이 방정식을 풀면
[math(\displaystyle \dot{y}(t)=-\sqrt{\frac{g}{\beta}} \tanh{(\sqrt{\beta g}t)} )]
변위 함수는 적분하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle y(t)=H-\frac{1}{\beta}\ln \circ \cosh{(\sqrt{\beta g}t)} )]
[math(\dot{y})]로부터 [math(t \to \infty)]일 때, 일정한 속력 [math(\sqrt{g/\beta}=\sqrt{mg/k})]로 접근하며, 이 종단 속력은 질량의 제곱근에 비례한다. 더욱이 이 속력을 [math(k\dot{y}^{2})]에 대입하면, 중력의 크기와 같다.
2.3. 동일 높이에서의 낙하 시간
공기저항이 없고, 동일한 높이에서 낙하하는 물체들은 위에서 보았듯이 낙하 시간 식에 질량 항이 없으므로, 동일한 시간에 낙하하게 된다. 이러한 사실은 1586년 시몬 스테빈의 실험을 통해 처음으로 입증되었다.이후 1591년경 갈릴레오 갈릴레이는 사고실험을 통해 이를 논리적으로 뒷받침했다. 만약 질량이 큰 물체가 더 빨리 떨어지고 질량이 작은 물체가 더 느리게 떨어진다고 가정하자. 이때 가벼운 물체와 무거운 물체를 끈으로 묶어 함께 떨어뜨리는 상황을 가정하자. 두 물체가 묶이면 전체 질량은 증가하므로, 아리스토텔레스의 논리대로라면 묶인 물체는 더 빨리 떨어져야 한다. 하지만 동시에, 더 가벼운 물체가 느리게 낙하하여 더 무거운 물체의 낙하를 지연시키므로, 묶인 물체는 본래 무거운 물체가 떨어지는 속도보다 느린 중간 속도로 떨어져야 하는 모순이 발생한다. 이러한 모순을 통해 갈릴레이는 질량에 상관없이 모든 물체가 동일한 속도로 낙하한다는 것을 논리적으로 증명했다.
3. 자유 낙하한 물체가 지면에서 받는 충격량
질량 [math(m)]인 물체가 높이 [math(h)]에서 떨어져 지면에 도달했을 때, 공기 저항이 없었고 물체가 다시 튀어오르지 않았다면, 중력 가속도가 [math(g)]일 때 물체가 받은 충격량은 [math(m\sqrt{2gh})]이다.4. 관련 문서
[1] 저항력은 물체의 진행 방향에 반대로 작용하여야 한다.