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자유 낙하는 오직 중력만이 물체에 작용하여 물체가 떨어지는 운동을 뜻한다.2. 분석
자유낙하실험에서 이 운동을 분석하기 앞서 [math(\dot{y})], [math(\ddot{y})]는 각각 지면에 대한 높이 [math(y)]의 시간에 대한 도함수(속도) [math({\rm d}y/{\rm d}t)], 이계도함수(가속도) [math({\rm d^{2}}y/{\rm d}t^2)]임을 밝힌다. 또한 직관적인 서술을 위해 연직 위 방향을 [math(+y)] 방향으로 둔다.2.1. 공기 저항이 없는 경우
질량 [math(m)]의 물체가 지면으로부터 [math(H)]의 높이에서 자유낙하를 했다고 생각해보자. 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않는다. 따라서 물체의 운동 방정식은[math(\displaystyle m\ddot{y}=-mg )]
이고, 초기 조건 [math(y(0)=H)], [math(\dot{y}(0)=0)]을 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} y(t)&=H-\frac{1}{2}gt^{2} \\ \dot{y}(t)&=-gt \end{aligned} )]
한편, 물체의 높이가 [math(y)]일 때까지 낙하 시간을 구하면,
[math(\displaystyle y=H-\frac{1}{2}gt^{2} \;\to\; t=\sqrt{\frac{2(H-y)}{g}} )]
이때 속력을 구해보면, 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl|\dot{y}\biggl( \sqrt{\frac{2(H-y)}{g}} \biggr)\biggr|=\sqrt{2g(H-y)} \end{aligned} )]
위에서 언급했듯 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않으므로 역학적 에너지 또한 보존된다. 따라서 초기 역학적 에너지는 중력 퍼텐셜 에너지인 [math(mgH)]이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle mgH=mgy+\frac{1}{2}m \dot{y}^{2} )]
2.2. 공기 저항이 있는 경우
진공에서의 물체의 가속 운동은 방해, 정확히 말하면 저항력을 받지 않아 정지 속도가 없지만, 실제 지구상에서의 낙하는 공기의 저항을 받게 된다.사실 아래의 두 풀이 또한 실제 상황을 단순화한 것이다. 왜냐하면 실제적으로 높이에 따라 대기의 밀도가 달라지므로 저항력이 높이에도 영향을 받기 때문이다.
2.2.1. 선형 공기 저항이 있는 경우
저항력이 속도에 비례하여 질량 [math(m)]의 물체가 지면으로부터 [math(H)]의 높이에서 자유 낙하할 때, 저항력 [math(-k\dot{y})](단, [math(k)]는 공기 저항 계수)를 받는다고 하자. 이때 물체의 운동 방정식은 다음과 같다.[math(\displaystyle m\ddot{y}=-mg-k\dot{y} )]
초기 조건 [math(y(0)=H)], [math(\dot{y}(0)=0)]을 이용하면 위의 미분방정식은 쉽게 풀리고, [math(k/m := \beta)]라 하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} y(t)&=H+\frac{g}{\beta^{2}}(1- \beta t -e^{-\beta t} ) \\ \dot{y}(t)&=-\frac{g}{\beta}(1-e^{-\beta t}) \end{aligned} )]
위의 식에서 알 수 있듯 [math(t \to \infty)]이면 일정한 속력 [math(g/\beta=mg/k)]로 수렴하는데 이 속력을 종단 속력(terminal speed)이라 하고, 종단 속력은 질량에 비례한다. 이 속력을 저항력에 대입하면, [math(k \dot{y}=mg)]로 중력의 크기와 같아지므로 종단 속력은 중력과 저항력이 평형을 이룰 때의 속력이다. 일반적으로 사람의 종단 속도는 자세에 따라 조금씩 다르나 [math(200\,{\rm km/h})]([math(53\,{\rm m/s})]) 정도이다.
2.2.2. 제곱형 공기 저항이 있는 경우
이번 문단에서는 제곱형 공기 저항이 작용하는 경우를 살펴보도록 하자. 물체의 운동 방정식은 위 문단과 유사하게[math(\displaystyle m\ddot{y}=-mg+k\dot{y}^{2} )]
단, 이번엔 저항력 부분의 부호가 [math(+)]가 되어야 함에 유의하자.[1] 초기 조건은 윗 문단과 동일하고, 방정식을 그냥 풀기 어렵기 때문에 우선 [math(\dot{y})]에 대하여 구하자. 위 미분방정식을 아래와 같이 쓰자.
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}\dot{y}}{{\rm d}t}=-g+\beta\dot{y}^{2} )]
변수 분리를 통해 이 방정식을 풀면
[math(\displaystyle \dot{y}(t)=-\sqrt{\frac{g}{\beta}} \tanh{(\sqrt{\beta g}t)} )]
변위 함수는 적분하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle y(t)=H-\frac{1}{\beta}\ln \circ \cosh{(\sqrt{\beta g}t)} )]
[math(\dot{y})]로부터 [math(t \to \infty)]일 때, 일정한 속력 [math(\sqrt{g/\beta}=\sqrt{mg/k})]로 접근하며, 이 종단 속력은 질량의 제곱근에 비례한다. 더욱이 이 속력을 [math(k\dot{y}^{2})]에 대입하면, 중력의 크기와 같다.