1. 개요
angular velocity · 角速度강체 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 얼마나 빠르게 도는지를 나타낸다.[1]
기호는 주로 [math(\omega)][2]를 쓰며 특히 각속도 텐서[3]일 경우에는 대문자인 [math(\Omega)][4]가 쓰인다. 단위는 SI 단위 체계로 [math(\rm rad/s)]로 나타낸다.
단, 원운동과 관련하여 선속도로 환산된 물리량에 쓰일 때에는 라디안 단위가 약분되어야 하기 때문에 [math(\omega/{\rm rad})]을 쓴다.[5] 이하 [math(\underline{~~})](언더 바)가 그어진 물리량은 각도 단위가 약분된 물리량, 즉 [math(\underline\omega = \omega/{\rm rad})], [math(\underline\alpha = \alpha/{\rm rad})] 등이다.
- [이에 대한 고찰]
- -----
[math(\omega/{\rm rad})]으로 표기해야하는 이유는 원에서 호의 길이를 구하는 엄밀한 관계식에서 간단하게 유도할 수 있다. 반지름이 [math(r)], 중심각이 [math(\theta)], 호의 길이가 [math(l)]이라고 했을 때 (원주)[math(\,:\,)](호의 길이)[math(\,=\,)](1회전)[math(\,:\,)](중심각)의 비례식 [math(2\pi r:l = 2\pi{\rm\,rad}:\theta)]를 풀면
그리고 선속도 [math(v)]는 [math(l)]의 시간에 대한 미분(순간 속도)이므로[math(\begin{aligned}l &= \frac{\cancel{2\pi}r\theta}{\cancel{2\pi}{\rm\,rad}} \\ &= r\theta/{\rm rad} \\ &\therefore \theta/{\rm rad} = \frac lr\end{aligned})]
이런 표기가 낯설게 보이는 이유는, 수학에서 단위는 그저 물리량에 붙어서 따라다닐 뿐 수치에 아무런 영향을 주지 않는 관계로 보통 단위를 다 뗀 수치에 대해서만 논하기 때문이다. 그러나 도량형학, 혹은 물리학 관점에서 보면 [math(\theta = l/r)]에서 [math(\theta)]는 엄연히 '각도'로서의 물리량이므로 [math(\rm rad)]을 내포하며[6] [math(l/r)]은 단위까지 약분되어 순수하게 수치만을 가지므로 양변의 단위 관계[7]가 맞지 않아 정확하지 않은 표기이다. (물리량)[math(=)](수치)[math(\times)](단위) 관계에 있음을 상기하자. 즉 퍼센트와 같이 무차원 물리량이라 하더라도 단위는 반드시 내포한다. 따라서 위와 같이 쓰거나 [math(\theta = \cfrac lr{\rm\,rad})]처럼 [math(\rm rad)]을 이항해준 표기가 도량형학 및 물리학적으로 올바른 표기이다.[8] 거꾸로 [math(l = r\theta)]라고 썼을 때, [math(\theta)]는 [math(\rm rad)]을 내포하고 있으므로, 이 수식이 올바른 수식이라면 이를테면 [math(r)]이 [math(\rm cm)] 단위로 표기된다고 치면 [math(l)]의 단위는 [math(\rm cm{\cdot}rad)]이 되겠지만, 실제로는 그렇게 쓰지 않는다는 사실만 봐도 엄밀한 표기가 아니라는 것을 알 수 있으며 이는 [math(v = r\omega)]에서도 마찬가지이다. 라디안 단위가 분명히 존재했던 [math(\omega)]에 [math(r)]을 곱해서 선속도로 나타내는데 단위에 [math(\rm rad)]을 쓰지 않는 이유도 [math(v = r\omega/{\rm rad})]으로 매끄럽게 설명할 수 있다. 구심가속도 역시 [math(a = r(\omega/{\rm rad})^2)]로 나타내는 것이 정확한 표기이며 [math(r)]이 가령 [math(\rm m)] 단위이고 [math(\omega/{\rm rad})]은[math(\begin{aligned}v &= \frac{{\rm d}l}{{\rm d}t} \\ &= \frac{{\rm d}(r\theta/{\rm rad})}{{\rm d}t} \\ &= r\frac{{\rm d}\theta/{\rm rad}}{{\rm d}t} \\ &= r\omega/{\rm rad}\end{aligned})]
가 되기 때문에 역시 단위에 [math(\rm rad)]이 포함되지 않는 [math(\rm m/s^2)]이 되는 것을 알 수 있다.[math(\cfrac{\rm\cancel{rad}/s}{\rm\cancel{rad}} = {\rm 1/s})]
여담이지만 삼각함수의 정의역 역시 단위가 없는 수치가 들어가야 하기 때문에 [math(\theta/{\rm rad})]으로 쓰는 것이 올바른 표기이다. 무한급수를 비롯하여 [math(\sin\theta\approx\theta)]와 같은 근사식에서 좌변은 단위가 없는 수치이지만 우변은 단위를 내포하는 식이 되기 때문이다. 혹은 전미분식 [math({\rm d}(\sin\theta) = \cos\theta{\rm\,d}\theta)]도 마찬가지인데 우변은 단위가 없는 삼각함수와 [math(\rm rad)] 단위가 내포된 [math({\rm d}\theta)]의 곱이지만 좌변의 [math({\rm d}(\sin\theta))]는 단위가 없어 좌우변의 단위 관계가 맞지 않게 된다.
일상에서는 분당 회전수로 [math(\rm rpm)][9]을 많이 쓴다.
2. 정의
각 문서의 각 변위 문단에서 도출된| [math(\begin{aligned}{\rm d}{\bf l} &= {\rm d}\bm{\underline\theta\times\bf r} \\ &= {\rm d}\bm{\theta\times\bf r}/{\rm rad}\end{aligned})] |
| [math(\dfrac{{\rm d}\bf l}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm d}\bm\theta}{{\rm d}t}\bm\times{\bf r}/{\rm rad})] |
| [math(\dfrac{{\rm d}\bm\theta}{{\rm d}t} \equiv \bm\omega)] |
| [math(\begin{aligned} \bf\dot l &= \bm{\omega\times\bf r}/{\rm rad} \\ &= \bm{\underline\omega\times\bf r}\end{aligned})] |
3. 유사 벡터 여부
일반적인 벡터, 특히 물리학에서는 변위 벡터와 같이 반사에 대하여 부호가 반대되지 않는 벡터와 달리 부호가 반대되는 벡터를 유사 벡터(pseudovector)라 한다.각속도 또한 유사 벡터인데, 이것은 아래와 같이 쉽게 보일 수 있다.
일반적인 벡터의 경우 (a)와 같이 반전시켜도 달라지지 않으나 각속도 벡터의 경우 (b)와 같이 부호가 반대가 된다. 따라서 각속도는 유사 벡터이다.
4. 각가속도
각가속도(angular acceleration, 角加速度)는 강체의 회전 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 각속도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다.기호로는 주로 [math(\alpha)]를 쓰며, 단위는 SI 단위 체계로 [math(\rm rad/s^2)]로 나타낸다. 역시 선속도와 관련한 물리량에 쓰일 때에는 [math(\rm rad)] 단위가 약분된 [math(\alpha/{\rm rad})]을 쓰기 때문에[10] 이 경우 단위가 [math(\rm s^{-2})], 즉 초 제곱의 역수로 표기된다.
각가속도는 각속도의 시간 미분으로 주어진다.
| [math(\bm\alpha \equiv \dfrac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t}=\dfrac{{\rm d^2}\bm\theta}{{\rm d}t^2} )] |
각가속도는 곧 각속도의 변화량이므로 한 축을 기준으로 회전하는 물체의 경우 각가속도와 각속도는 평행하다. 그러나 팽이와 같이 세차 운동이 일어나는 경우엔 그렇다고 말할 수 없다.
5. 회전 좌표계에서
고정 좌표계와 물체와 함께 회전하는 회전 좌표계를 고려하자. 이 회전 좌표계에서 봤을 때, 어떤 벡터 [math(\bf Q)]가 존재한다고 생각하자. 회전 좌표계의 기저를 [math({\bf e}_j)]라 할 때 이 벡터의 시간 미분을 고려해보자. 고정 좌표계에서| [math(\begin{aligned}\biggl( \frac{{\rm d}\bf Q}{{\rm d}t} \biggr)_{\sf fixed} &= \frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum_i Q_i {\bf e}_i \\ &= \sum_i (\dot Q_i{\bf e}_i + Q_i{\bf\dot e}_i) \\ &= \biggl( \frac{{\rm d}\bf Q}{{\rm d}t} \biggr)_{\sf rotating} + \sum_i Q_i{\bf\dot e}_i \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\bf\dot e}_i &= \sum_j \lambda_{ji}{\bf e}_j \\ &= \lambda_{1i}{\bf e}_1 + \lambda_{2i}{\bf e}_2 + \lambda_{3i}{\bf e}_3 \\ &= \begin{pmatrix}\lambda_{1i} \\ \lambda_{2i} \\ \lambda_{3i}\end{pmatrix}\end{aligned})] |
한편, [math({\bf e}_i\bm\cdot {\bf e}_j = \delta_{ij})](단, [math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타이다.)에서 양변을 시간 미분하면
| [math({\bf\dot e}_i \bm\cdot{\bf e}_j + {\bf e}_i \bm\cdot{\bf\dot e}_j = 0)] |
| [math(\begin{aligned} \sum_k \lambda_{ki}{\bf e}_k\bm\cdot{\bf e}_j + \sum_k\lambda_{kj} {\bf e}_i \bm\cdot {\bf e}_k &= \sum_k \lambda_{ki}\delta_{kj} + \sum_k \lambda_{kj} \delta_{ik} \\ &= \lambda_{ji}+\lambda_{ij} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \underline\omega{\bf e\bm\times Q} &= \underline\omega\begin{vmatrix}\bf\hat x & \bf\hat y & \bf\hat z \\ e_1 & e_2 & e_3 \\ Q_1 & Q_2 & Q_3 \end{vmatrix} \\ &= \underline\omega\begin{pmatrix} e_2Q_3 - e_3Q_2 \\ e_3Q_1 - e_1Q_3 \\ e_1Q_2 - e_2Q_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}0 & -\underline\omega e_3 & \underline\omega e_2 \\ \underline\omega e_3 & 0 & -\underline\omega e_1 \\ -\underline\omega e_2 & \underline\omega e_1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix} \end{aligned})] |
| [math(\bm\lambda = \begin{bmatrix} 0 & -\lambda_3 & \lambda_2 \\ \lambda_3 & 0 & -\lambda_1 \\ -\lambda_2 & \lambda_1 & 0 \end{bmatrix})] |
| [math(\displaystyle \lambda_{ji} = \sum_k \varepsilon_{ijk}\lambda_k)] |
| [math(\displaystyle{\bf\dot e}_i =\sum_{jk} \varepsilon_{ijk}\lambda_k {\bf e}_j)] |
| [math(\begin{aligned} \sum_i Q_i {\bf\dot e}_i &= \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk}Q_i \lambda_k {\bf e}_j \\ &= \sum_j \biggl[ \sum_{ik} \varepsilon_{jki}\lambda_kQ_i \biggr] {\bf e}_j \\ &= \sum_j [\bm{\lambda\times \bf Q}]_j{\bf e}_j \\ &= \bm{\lambda\times\bf Q} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d}{\bf Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\sf fixed} = \biggl( \frac{{\rm d}{\bf Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\sf rotating} + \bm{\lambda\times\bf Q} \end{aligned})] |
이제 남은 것은 [math(\bm\lambda)]를 결정하는 것이다. 이를 위해 [math(\bf Q)]가 임의의 벡터라는 점에 착안하여 그것을 위치 벡터 [math(\bf r)]로 설정하자.
| [math(\begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t} \biggr)_{\sf fixed} = \biggl( \frac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t} \biggr)_{\sf rotating} + \bm{\lambda\times\bf r} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \therefore \biggl( \frac{{\rm d}\bf Q}{{\rm d}t} \biggr)_{\sf fixed} = \biggl( \frac{{\rm d}\bf Q}{{\rm d}t} \biggr)_{\sf rotating} + \bm{\underline\omega\times\bf Q} \end{aligned})] |
이 논의는 비관성 좌표계를 논할 때 다시 나온다.
6. 다른 물리량과의 관계
6.1. 회전 운동 에너지
강체의 운동 에너지는 질량 중심의 병진 운동 에너지와 질량 중심 주위로의 회전 운동 에너지의 합으로 쓸 수 있다. 이때, 회전 운동 에너지는| [math(\displaystyle T_{\sf rotating} = \sum_j \frac12m_j(\bm{\underline\omega\times\bf r}_j)^2)] |
이것은 관성 텐서 [math(\sf\pmb I)]를 도입하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
| [math(\begin{aligned} T_{\sf rotating} &= \frac12\bm\omega^T{\sf\pmb I}\bm\omega \\ &= \sum_{ij}\frac12 I_{ij} \omega_i\omega_j \end{aligned})] |
논의를 축을 중심으로 회전하는 강체에 대해 국한 시키면,
| [math(\begin{aligned} T_{\sf rotating} = \frac12 I\omega^2 \end{aligned})] |
6.2. 각운동량
마찬 가지로 관성 텐서 [math(\sf\pmb I)]를 도입하여 다음과 같이 쓸 수 있다.| [math(\begin{aligned} {\bf L} &= {\sf\pmb I} \bm\omega \\ &= \sum_j I_{ij}\omega_j \end{aligned})] |
관성 주축을 회전 축을 하게 되거나 어떤 축을 중심으로 회전하는 강체는 관성 모멘트 [math(I)]를 도입하여
| [math({\bf L} = I\bm\omega)] |
7. 관련 문서
[1] 달리 '회전력'이라고도 한다.[2] 다만 [math(\omega)]는 전기·전자공학 등에서 각주파수를 표기할 때도 사용되므로 문맥으로 구별해야 한다. 또한 수학의 삼차방정식의 원시근과도 구별해야한다.[3] 보통 2차 텐서인 행렬의 형태로 표기한다.[4] 입체각을 나타내는 기호로도 쓰인다. 전기저항의 단위(옴)를 표기할 때도 쓰이며, 오메가 상수라는 특수한 거듭제곱식의 실근으로도 쓰인다.[5] 사실 이 사항은 똑같은 기호와 단위를 쓰는 각진동수에서도 마찬가지이다. 양자화된 에너지식 [math(E = \hbar\omega)]도 역시 [math(E = \hbar\omega/{\rm rad})]으로 표기하는 게 좀 더 정확한 표기이다.[6] [math(\pi)]가 호도법을 대표하는 상수라 [math(\rm rad)] 정도 안 써줬다고 별 문제가 없는 것 아니냐고 생각할 수 있지만, 애석하게도 [math(\pi)]는 입체각 [math(\Omega)]에서도 등장하고, 입체각 역시 무차원량이지만 스테라디안([math(\rm sr)])이라는 단위를 갖는다. 어떤 한 점에서 모든 공간으로 등방하게 방사될 때 그 입체각은 [math(4\pi{\rm\,sr})]이기 때문에 한 점을 기준으로 공간의 [math(1/4)]만큼 벌어진 입체각은 [math(\pi{\rm\,sr})]이 된다. 평면각과 입체각의 구별을 위해 [math(\rm rad)]은 물론 [math(\rm sr)]도 생략하면 안 된다. 단, 입체각도 본 문서에서 서술한 바와 마찬가지로 '입체각의 수치'만 필요한 경우 [math(\rm sr)]을 약분한 물리량이 종종 쓰이곤 한다.[7] 차원 관계가 아니다. [math(\theta)]는 단위가 있고 [math(\dfrac lr)]은 단위가 없다.[8] 이렇게 표기하면 가령 호의 길이 [math(l)]이 [math(l=\pi r)]일 때 중심각 [math(\theta)]는 [math(\theta = \dfrac{\pi r}r{\rm\,rad} = \pi{\rm\,rad})]로 [math(\rm rad)]이 명시된 계산이 가능하다.[9] Revolution Per Minute, [math(1\,{\rm rpm}=\dfrac{\pi}{30}\,{\rm rad/s})][10] 선속도가 호의 시간 미분이었듯, 선가속도는 선속도의 시간 미분이기 때문이다. 즉 [math(a = \cfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \cfrac{{\rm d}{\left(r\dfrac\omega{\rm rad}\right)}}{{\rm d}t} = r\cfrac\alpha{\rm rad})]이다. 각가속도는 선가속도를 반지름으로 나눈 것이므로 [math(\alpha/{\rm rad})]이 남는다.[11] 이는 해당 물리량의 이름이 '각'운동량인 것과도 관계가 깊고, 양자역학에서 각운동량이 [math(\hbar)]의 배수로 나타나는 것 역시 자연스럽게 설명이 된다. 개요의 각주에서 언급된 관계식과의 일관성을 고려하면 정확히는 [math(\hbar/{\rm rad})]의 배수로 나타나는 것인데, 표기의 편의성을 위해 [math(\hbar = \cfrac h{2\pi{\rm\,rad}})], [math(\check h = \cfrac h{2\pi} = \hbar{\rm\,rad})]으로 재정의된 상수를 이용하자고 주장하는 학자도 있다.